等腰三角形三線合一典型題型[1]

1、v1.0可編輯可修改等腰三角形三線合一11姓名abc / bcd且點(diǎn) e在ad上。例1:如圖，四邊形 abc由,ab/ dq be ce分別平分/求證：bc=ab+d c變 1:如圖，ab/ cd / a= 90,ab= 2, bc= 3, cd= 1e是ad邊中點(diǎn)。求證：cel bee變2:如圖，四邊形 abcd3, ad/ bc e是cdh一點(diǎn)，且 ae be分別平分/ bad /abc(1)求證：aebe；(2)求證：e是cd的中點(diǎn)；(3)求證：adbcabv1.0可編輯可修改、 一 ，一.一 , ，. . 一， ，、 、 一 一 ,、變3: abc是等腰直角二角形，/ bac=90 ,

2、ab=ac.若d為bc的中點(diǎn)，過 d作dml dn分別交 arbdc若dml dn分別和ba ac延長線交于 m 問dm dn有何數(shù)量關(guān)系。(1)已知：如圖，ab=ac e為ab上一點(diǎn)，f是ac延長線上一點(diǎn)，且 be=cf ef交bc于點(diǎn)d.求證：de=df22v1.0可編輯可修改(2)已知：如圖，ab=ac e為ab上一點(diǎn)，f是ac延長線上一點(diǎn)，且， ef交bc于點(diǎn)d,且d為ef的中點(diǎn). 求證：be=cf利用面積法證明線段之間的和差關(guān)系1、如圖，在 abc, ab=ac p 為底邊 bc 上的一點(diǎn)，pdl ab 于 d, ph ac 于 e, ?cf !ab于f,那么pd+pew cf相等嗎

3、33v1.0可編輯可修改變1:若p點(diǎn)在直線bc上運(yùn)動，其他條件不變，則 pd、pe與cf的關(guān)系又怎樣，請你作 圖，證明。44v1.0可編輯可修改551、已知等腰三角形的兩邊長分別為 4、9,則它的周長為()a 17 b 22 c 17 或 22 d 13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1.在 abc中，ab=ac z 1= / abc z 2= / acb bd與ce相交于點(diǎn) o,如圖，/ boc勺大小22與/a的大小有什么關(guān)系若/ 1 = 1/abc / 2=- /acr則/ bocw/ a大小關(guān)系如何33會用等腰三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算與亍例2.如圖，等腰三角形 abc中，a正明ab=ac 一

4、腰上的中線bd?將這個(gè)等b ； -若/ 1 = 1/abc /2=2/acb，則/ bod/a大小關(guān)系如何nna腰二角形周長分成 15和6兩部分，：利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3.如圖，p是等邊三角形 abc內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié) pa pb、pc,連zcq(1)觀察并猜想 ap與cq之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.求這個(gè)三角形的腰長及底邊長.q?以 bp為邊作/ pbq=60 ,且 bq=bpv1.0可編輯可修改(2)若pa pb: pc=3: 4: 5,連結(jié)pq試判斷 pqc勺形狀，并說明理由.1、等腰三角形底邊長為 5cm,腰上的中線把三角形周長分為差是3cm的兩部分，則腰長為(a、2cm

5、b 、8cm c2cm或8cm d 、不能確定662、已知 ad為 abc的高,ab=ac abc周長為20cm, adc勺周長為14cm,求ad的長。例3、如圖，已知 bc=3, / abc和/ acb的平分線相交于點(diǎn) q oe/ ab, of/ ag 求 oef的周長。例4、如圖，已知等邊 abc中，d為ac上中點(diǎn)，延長 bc到e,使ce=cd連接de,試說明db=dea、5、等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為45,則這個(gè)三角形是(例6、(1)等腰三角形的腰長為10,底邊上的高為6,則底邊的長為(2)直角三角形的周長為12cm,斜邊白長為5cm,則其面積為(3)若直角三角形三邊為1, 2,

6、 c,貝u c二銳角三角形 b 、鈍角三角形c 、等邊三角形 d 、等腰直角三角形v1.0可編輯可修改例7、下列說法：若在 abc中a2+b2wc2,則 abc不是直角三角形；若 abc是直角三角形，/ c=9c0,則a2+b2=c2;若在 abc中，a2+b2=c：則/ c=9c0;若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個(gè)三角形是直角三角形。正確的有 （把你認(rèn)為正確的序號填在橫線上）。例8、正三角形 abc所在平面內(nèi)有一點(diǎn) 巳使彳pab pbc pca都是等腰三角形，則這樣的p點(diǎn)有（）（a） 1 個(gè)（b） 4 個(gè)（c） 7 個(gè)（d） 10 個(gè)9.四邊形abcw,ab=bc/abg/cd

7、a90。，be!ad于點(diǎn)e,且四邊形 abcd勺面積為8,則bea.b. 3c.2 2 d. 2/310.已知 abc為正三角形,p為其內(nèi)一點(diǎn)，且ap=4, bp=2,3cp=2,則 abc的邊長為77b(a)2店 (b) 2yj7(c)4(d)4 45013、如圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲p在邊框ac上(端點(diǎn)a c除外)另外兩邊距離之和為 d,等邊三角形abc的高為h則d與h的大小關(guān)系是(【解題方法指導(dǎo)】例1.已知，如圖，ab= ac= cr求證：/ b= 2/dv1.0可編輯可修改99例2.已知，如圖， abc是等邊三角形,ad（2005年蘇州）如圖，等腰三角形 abc的頂角為120 ,腰

8、長為10,則底邊上的高 ad=/a= 30 ,例2.已知，如圖，4abc中，zc= 90,ab的垂直平分線交ab于e,交ac于d,ad= 8,求cd的長。又bd與ce例3.已知，如圖， abc是等邊三角形，e是ab上一點(diǎn)，d是ac上一點(diǎn)，且 ae= cd,交于點(diǎn)f,試求/ bfe的度數(shù)。v1.0可編輯可修改10101.已知,如圖,2.已知,如圖,3.已知,如圖,ab= ag / abd= / acd 求證：db= dcd e 是 bc上兩點(diǎn)，ab= ac, ad= ae,求證：bd= ce abc中，de已知，如圖， abc中，ab= ag d是ab上一點(diǎn),e是ac延長線上一點(diǎn)， de交bc于

9、f,又bd= ce,求證：d已efv1.0可編輯可修改 e5. 已知，如圖，d是bc上一點(diǎn)， abg 4bde都是等邊三角形，求證：ad= ce11116. 已知，如圖， abc中，/ b= 90 , ac的垂直平分線交 ac于d,交bc于e,又/ 0= 15 , ec=10,求ab的長。例6、如圖11,在 abc中，/a= 90,ab= ac,d為bc邊中點(diǎn)，e、f分別在abac上，且dex df,求證：ae+ af是一個(gè)定值.證明：連接aqab= ac, d為 bc中點(diǎn)，ad bc, . / bac= 90 , ab= ag . b= / c= 45 , ./ bad= 45 , / ca

10、d= 45 ,ad= bd= cd . / edf= 90 , .ed / adf= 90 ,又由 adl bc 得 / bd曰 /ade= 90 ,/ bde= /adr在 bd訝口 adf中，/ b= / daf, bd= ad, / bde= / adr bd段 adf,v1.0可編輯可修改，be= af, . . a曰 af= a曰 be= ab （定值）.思考：四邊形aedf的面積是否也是定值呢為什么圖11例4、如圖9,已知 ad為4abc的高，e為ac上一點(diǎn)，be交ad于f,且有bf= ag fd= cd,你認(rèn)為be與ac之間有怎樣的位置關(guān)系你能證明它嗎證明：線段be! ac,理由

11、如下：ad bc,，/adb= z adc= 90 , ./ fb / bfd= 90 ,在 rtbdf和 rtadc中，bf= ac, fd= c口 rtabdf rtaadc ./ bfd= / c,/ fb / c= 90 , ./ bec= 180 (/ fb / q =180 -90 =90 ,即 bex ac.例 5、如圖 10,在 abc中，/ acb= 90 , ac= bq m是 ab上一點(diǎn)，求證： am 2 bm 2 2cm證明：過c作cd! ab于點(diǎn)d,. /acb= 90 , ac= bc cd ab,.z a= / b=45 , / acd= / bcd= 45.a=

12、 / acd / b=/ bcdad= bd, bd= cr 即 ad= bd= c口222- cdab,dm cd cm ,_22 、2、222、 am bm (ad dm ) (bd dm )2 (dm cd ) 2cm思考：請同學(xué)們試試用另外的方法來證明本題例1、如圖5,在 abc中，ab= ag點(diǎn) o在 abc內(nèi)，ob=oq 求證：aql bc.證明：延長ao交bc于點(diǎn)d,1213v1.0可編輯可修改. ab= ac, ob= oc oa= oa.ab acobao / cao 即 / ba氏 / cad .ad，bc,即 aol bc.例2、如圖6,在等邊 abc中，d e分別在邊

13、bg ba的延長線上，且 ae= br 求證：ce= de.證明：過 e作ef，cd于點(diǎn)f,.abc是等邊三角形，b= 60，/ bef= 30 ,be= 2bf,即 ba+ ae= bc+ bd= 2bc+ cd= 2 （bo cf）,cd= 2cf,.-.cf= df,在cef和adef中，cf= df, / cfe= z dfe= 90 , ef= ef, . cem def 1- ce= de.pd ab于點(diǎn)d, pe! ac于點(diǎn)e,求例3、如圖7,已知在 abc中，ab= ac, p為底邊bc上任意一點(diǎn),證：pa pe是一個(gè)定值解：連接ap,過點(diǎn)c作cf! ab于點(diǎn)f,abcpac1

14、-ab cf21 - ac pe2，s pab-ab211得：一ab cf ab pd221-ab pd , 2-ab 2s abc s pab s pac，1314即，pd pe cf （定值）說明：本例的結(jié)論可用文字語言敘述為：等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高拓展：如果點(diǎn)p不是在邊bc上，而是在bc的延長線上，其它條件保持不變，那么pd與pe之間又有怎 樣的關(guān)系呢解：連接ap,過點(diǎn)c作cf! ab于點(diǎn)f,（如圖8）,11由 s abc -ab cf , s pab -ab pd , 22c1_1s pac-acpe ab pe ,pac22s abcs pabspac，一1

15、一11得：一abcf-ab pd-abpe,222v1.0可編輯可修改即,pd pe cf (定值).即，當(dāng)點(diǎn)p在bc延長線上時(shí)，pd與pe之差為一定值.基礎(chǔ)訓(xùn)練：1、填空題：(1)等腰三角形中，如果底邊長為 6, 一腰長為8,那么周長是 。(2)如果等腰三角形有一邊長是 6,另一邊長是8,那么它的周長是 ;如果等腰三角形的兩邊長分別是4、8,那么它的周長是 。(3)等腰三角形的對稱軸最多有 條。2、填空題：(1)如果 abc是等腰三角形，那么它的邊長(或周長)可以是()a、三條邊長分別是 5, 5, 11 b 、三條邊長分別是 4, 4, 8c、周長為14,其中兩邊長分別是 4, 5 d、周

16、長為24,其中兩邊長分別是 6, 12(2)等腰三角形一邊長為 2,周長為5,那么它的腰長為()a、3 b、2 c、 d 、2或3、已知等腰三角形的腰長是底邊的3倍，周長為35cm,求等腰三角形各邊的長。4、已知：如圖，ad平分/ bac ab=ac請你說明 dbc是等腰三角形。5、已知等腰三角形的底邊和一腰長是方程組 x+2y=4的解,求這個(gè)三角形的各邊長。(1)等腰三角形的頂角平分線、 、互相重合。(2)等腰三角形有一個(gè)角是120。，那么其他兩個(gè)角的度數(shù)是 和。(3) abc中，/ a=z b=2/ c,那么/ c=。(4)在等腰三角形中，設(shè)底角為 x ,頂角為v ,則用含x的代數(shù)式表示v

17、,得丫=；用含y的代數(shù)式表示x,得x=2、選擇題:1414v1.0可編輯可修改(1)等腰三角形的一個(gè)外角為140 ,那么底角等于()a、40b、100c、70 d、40 或 70(2)等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于()a、頂角 b 、底角 c 、頂角的一半 d、底角的一半(3)在等腰三角形 abc中，/ a與/ b度數(shù)之比為5 ： 2,則/ a的度數(shù)是()a、100b、75c 、150 d、75 或 100(4)等腰三角形 abc中，ab=ac ad是角平分線，貝u ” adbc,bd=dc/ b=z c,/ bad=/ cad中，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()a、4 b 、3 c、2 d 、13、如圖，已知 abc中，d在 bc上，ab=ad=dc z c=20 ,求/ bad15154、如圖，已知 abc中，點(diǎn) d e在bc上,ab=ac ad=ae請說明bd=ce勺理由。1、填空題:(1)在 abc中，/ a的相鄰?fù)饨鞘?10 ,要使 abc是等腰三角形，則/ b=(2)在一個(gè)三角形中，等角對 ;等邊對 。(3)如果等腰三角形底邊上的高線和腰上的高線相等，則它的各內(nèi)角的度數(shù)是則