油罐標(biāo)尺刻度的設(shè)計(jì)

1、數(shù)學(xué)建模論文油罐標(biāo)尺刻度的設(shè)計(jì) 班級： 姓名： 學(xué)號： 電話： QQ： 油罐標(biāo)尺刻度的設(shè)計(jì)摘要通過對油罐的理想化處理，本文將問題分成兩個步驟，在步驟一中，建立了兩個模型：解析模型和數(shù)值解法模型；在步驟二中，建立了兩個模型：插值模型和二分逼近模型。在步驟一中，本文通過數(shù)據(jù)說明了數(shù)值解法對于復(fù)雜問題的精確逼近，可以替代解析方法。在步驟二中，比較兩個模型三種方法，找出了它們的不同適用條件。關(guān)鍵詞：插值法 二分逼近法 標(biāo)尺設(shè)計(jì) 解析法 數(shù)值精度一、 問題重述為了貯存汽油、柴油，經(jīng)常使用大量的儲油罐。油罐由中間的一個圓柱體和兩邊兩個圓錐體拼接而成，上端有一注油孔（如圖所示）。由于經(jīng)常注油和取油，有時很難

2、知道油罐中剩油的數(shù)量，這就給儲油量的統(tǒng)計(jì)帶來很大困難。顯然將剩油取出計(jì)量是不現(xiàn)實(shí)的。希望設(shè)計(jì)一個精細(xì)的標(biāo)尺：工人們只需將該標(biāo)尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據(jù)標(biāo)尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。二、 問題分析本題中，要求設(shè)計(jì)出一個精細(xì)的標(biāo)尺。通常，刻度尺用來測量比較簡單的幾何體的某一維度。這里要測量油罐的剩油量，其實(shí)就是測量復(fù)雜幾何體的容積問題。同時要求把幾何體的容積轉(zhuǎn)化成一維上的刻度。在本文中，我采取兩種步驟：在步驟一，求出復(fù)雜幾何體在高度成等差數(shù)列時下的對應(yīng)體積；在步驟二，利用已經(jīng)求出的刻度處的油量，通過插值或二分逼近法求標(biāo)尺上對應(yīng)的剩油量體積。三、 模型假設(shè)在實(shí)際情況中，油罐

3、的外形并不一定十分地完美，圓錐體和圓柱體的結(jié)合處也不一定十分光滑。在此，為了便于計(jì)算和分析，特作如下假設(shè)：1、 油罐的外形由理想的圓錐體和圓柱體組合而成；2、 油罐的圓柱部分和圓柱部分的結(jié)合處無縫隙、十分平滑；3、 油罐處在水平面上；4、 測量油量時，標(biāo)尺粘帶的油量對總油量的影響忽略不計(jì)；四、 符號說明R：圓柱底面半徑和圓錐底面半徑L：圓柱長度A：圓錐高H：標(biāo)尺被油浸濕位置的高度V：油罐內(nèi)的油量Vc(H)：圓柱中的儲油量Vb(H)：圓錐中的儲油量S(H)：圓柱截面中儲油部分對應(yīng)的弓形區(qū)域面積：弓形對應(yīng)的圓心角一般（圖7.2）r ：該弓形的半徑h ：該弓形的高Q(H,x):：圓錐體底面平行且距底

4、面x處截面上表示儲油部分的弓形區(qū)域面積（圖7.3）H：將區(qū)間0,R作n等分，一份大小Hi：將區(qū)間0,R作n等分，相應(yīng)的第i個剖分點(diǎn)，i=0,1,2，nVi：Vb(H)在Hi處的值五、 模型建立通過對問題的分析，在模型的假設(shè)成立的條件下，為了解決該問題，我們將問題分為兩步解決。步驟一：將0,R區(qū)間，依精度需要分成n等份，得到剖分點(diǎn)=iH，i=1,2,3，n；其中H=.算出刻度位置處相應(yīng)的油量，（i=1,2,3，n）分別利用解析法和數(shù)值解法求得刻度位置處的相應(yīng)油量。步驟二：根據(jù)所需的各油量讀數(shù)在上一步驟中某一油量區(qū)間，通過插值或二分逼近法獲得相應(yīng)的刻度位置值。并比較兩種方法的優(yōu)劣。模型1.1（解析

5、方法）由立體幾何知識知剩油量由兩部分組成：總儲油量等于相應(yīng)圓柱的儲油量加兩倍的圓錐的儲油量。可記： 先求圓柱的儲油量。 圖1見圖1，可得，利用三角函數(shù)表達(dá)式可得推出：再求兩側(cè)圓錐體的儲油量。 圖2見圖2，可得推出和推出：進(jìn)而：借助數(shù)學(xué)軟件可進(jìn)一步求得：最后將（2）（3）帶入（1）得公式：模型1.2（模型1.1改進(jìn)，數(shù)值方法）由于上述模型中積分難以計(jì)算，故而使用數(shù)值方法。將上面求方法改動，用數(shù)值法求。 可得和推出平面與圓錐面相交的截面面積為而，求導(dǎo)：且為了進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將0,R區(qū)間等分成n份，得到剖分點(diǎn)=iH，（i=1,2,3，n）；其中H=.在處相應(yīng)的油量，（i=1,2,3，n）由導(dǎo)數(shù)的定義，

6、在處，用差商代替微商，即：此后問題既可轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程組，由數(shù)學(xué)軟件解決。由于，要由油量函數(shù)的解析表達(dá)式（3）來反求反函數(shù)H的顯示表示是不可能的。為此我建立模型2.1和模型2.2。模型2.1（插值法）將0,R區(qū)間，依精度需要分成n等份，得到剖分點(diǎn)=iH，i=1,2,3，n；其中H=.算出刻度位置處相應(yīng)的油量，（i=1,2,3，n），現(xiàn)在要解決的是：當(dāng)油量給出時，如何確定相應(yīng)的標(biāo)尺刻度位置H.這是在求V(H)=V*的根?？梢圆捎萌缦聝煞N插值方法。線性插值設(shè)，在此區(qū)間上用線性函數(shù)近似H(V),則有利用matlab編程求得對應(yīng)點(diǎn)的標(biāo)尺刻度位置見表1二次插值缺點(diǎn)：插值點(diǎn)需要三個在邊界處，取不到足夠點(diǎn)。利

7、用matlab編程求得對應(yīng)點(diǎn)的標(biāo)尺刻度位置見表1模型2.2（二分逼近法）對于給定的，從函數(shù)在等分點(diǎn)的值，先估計(jì)的范圍。假設(shè)，取。由第一步求得，與比較。若則，反之。依次重復(fù)上述步驟，直至。此時可取求出對應(yīng)的標(biāo)尺刻度值如下表：表1vH(線性插值法）H(二次插值法）H(二分逼近法）000012.973002596869132e-01 2.302023822139394e-01 2.281250000000000e-012 3.890764026732845e-01 3.609183341904665e-01 3.611328125000000e-013 4.808525456596553e-01 4

8、.714724916159404e-01 4.703125000000000e-014 5.726286886460265e-01 5.714536843480886e-01 5.716796874999999e-015 6.644048316323974e-01 6.649064230022632e-01 6.652343749999999e-016 7.561809746187683e-017.540370335678355e-01 7.541015625000000e-017 8.479571176051395e-01 8.402706570914312e-01 8.4082031250

9、00000e-018 9.397332605915101e-0193220793888950495e-01 9.246826171874998e-018.9012 9.993399184008047e-01 119 1.008001312799149 1.009838111190761 1.009287109375000101.088326016805105 1.091794250219317 1.09162597656250011 1.175991952011015 1.176575823906903 1.17578125000000012 1.263657887216925e+0 1.26

10、3311661782924e+00 1.262890625000000e+0013 1.351323822422835e+01.353186187053666e+00 1.351562500000000e+0014 1.438989757628745e+0 1.447737923017295e+00 1.447607421875000e+0015 1.526655692834655e+01.549408508187343e+00 1.548828125000000e+0016 1.614321628040566e+0 1.662809762485798e+0 1.662695312500000

11、e+017 1.701987563246475e+01.799722898514539e+0 1.799609375000000e+018（v18=17.8024)2.00000000000002.0000000000002.000000000000六、 模型分析為了根據(jù)復(fù)合幾何體設(shè)計(jì)測量剩油量的標(biāo)尺，分為如下步驟：把區(qū)間0,R依精度需要分成n等份，得到剖分點(diǎn)Ho=0,Hi=i*H，i=1,2,3,n,其中，H=R/H,利用求體積公式分別運(yùn)用解析法和數(shù)值解法求出刻度位處的對應(yīng)油量。根據(jù)所需的各油量讀數(shù)所在上一步驟中的某一油量區(qū)間，通過線性插值法、二次插值法以及二分法求解獲得相應(yīng)的刻度位置值。對

12、于步驟一，解析法和數(shù)值解法給出的結(jié)果相差不大，見表2表2線性插值法二次插值法二分逼近法hh0123457.478789498561727e-017.482524186764148e-010.7000.7000.725 00.737 50.743 80.746 90.8000.750 00.750 00.750 00.750 00.750 00.7500.725 00.737 50.743 80.746 90.748 45.952 85.668 85.810 45.881 55.917 15.934 90.018 80.265 20.123 60.052 50.016 99.3750e-04但是

13、數(shù)值解法可以避免較為復(fù)雜的公式推導(dǎo)和積分運(yùn)算，適合推廣。對于步驟二，我采用v=5.934(m3)來比較線性插值法、二次插值法和二分逼近法的優(yōu)劣。通過觀察表2，可以看出線性插值法較之另外的兩種方法具有算法簡單，易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但誤差也相對較大，在表1也有體現(xiàn)，當(dāng)運(yùn)算數(shù)據(jù)較少、對數(shù)據(jù)精度沒有過分要求時，采用此算法較為省時；通過對表和表的分析，可以看出，二次插值法，相對于二分逼近法迭代次數(shù)少，相對于線性插值法逼近結(jié)果效果好，但對點(diǎn)的要求會多一個，當(dāng)在邊界時，無法直接用此法求出對應(yīng)值，還應(yīng)尋找其他方法來求邊界的解。通過對表和表的分析，可以看出，二分逼近法在犧牲算法復(fù)雜性換取逼近精度，雖然運(yùn)行次數(shù)較多，也只是七八次。而且，二分逼近法根據(jù)誤差要求，可以在理論上實(shí)現(xiàn)無限逼近，使得精度可以達(dá)到足夠高。七、 模型推廣在實(shí)際問題中，油罐可能由一圓柱側(cè)面兩端拼接相同球冠組成。那么就可以采用模型1.2中的分析處理方法，來處理球冠中剩油量的問題。八、 結(jié)論通過解決油罐標(biāo)尺刻度設(shè)