第5章數(shù)控裝置的插補與刀具補償

1、5.1 概述 5.2 評價插補算法的指標 5.3 插補方法的原理與分類 5.4 刀具半徑補償控制 第5章 數(shù)控裝置的插補與刀具補償 5.1 概述 （1）插補的基本概念 “插補”(Interpolation):根據(jù)給定進給速度和給定輪廓 線形的要求，在運動軌跡的起始點坐標和輪廓軌跡之間，由 數(shù)控系統(tǒng)計算出各個中間點的坐標，“插入”、“補上”運 動軌跡中間點的坐標值。 無論是普通數(shù)控(NC)系統(tǒng)，還是計算機數(shù)控(CNC)系統(tǒng)， 都必須有完成“插補”功能的部分，它是輪廓控制系統(tǒng)的本 質特征。能完成插補工作的裝置叫插補器。NC系統(tǒng)中插補 器由數(shù)字電路組成，稱為硬件插補，而在CNC系統(tǒng)中，插補 器功能由

2、軟件來實現(xiàn)，稱為軟件插補。 （2）對插補器的基本要求 插補是數(shù)控系統(tǒng)的主要功能，它直接影響數(shù)控機床 加工的質量和效率。對插補器的基本要求是： 插補所需的原始數(shù)據(jù)較少； 有較高的插補精度，插補結果沒有累計誤差，局部偏差 不能超過允許的誤差(一般應保證小于規(guī)定的分辨率)； 沿進給路線的進給速度恒定且符合加工要求； 硬件線路簡單可靠，軟件插補算法簡潔，計算速度快。 5.1 概述 5.2 評價插補算法的指標 評價插補算法的指標有以下幾個 ： 穩(wěn)定性指標 插補運算是一種迭代運算，存在著算法穩(wěn)定性問題。 插補算法穩(wěn)定的充必條件：在插補運算過程中，對計算誤 差和舍入誤差沒有累積效應。 插補算法穩(wěn)定是確保輪廓

3、精度要求的前提。 5.2 評價插補算法的指標 插補精度指標 插補精度用插補誤差來評價。插補誤差包括： 逼近誤差（指用線形逼近曲線時產生的誤差）; 計算誤差（指因計算字長限制產生的誤差）; 圓整誤差。 其中，逼近誤差和計算誤差與插補算法密切相關。應盡 量采用上述兩誤差較小的插補算法。一般要求上述三誤差的 綜合效應（軌跡誤差）不大于系統(tǒng)的最小運動指令或脈沖當 量值。 合成速度的均勻性指標 合成速度的均勻性：插補運算輸出的各軸進給率，經運 動合成的實際速度（F Fr r）與給定的進給速度（F F ）的符 合程度。 速度不均勻性系數(shù)： 合成速度均勻性系數(shù)應滿足：max 1 % 100% r FF F

4、5.2 評價插補算法的指標 插補算法要盡可能簡單，要便于編程 因為插補運算是實時性很強的運算，若算法太復 雜，計算機的每次插補運算時間必然加長，從而限制進 給速度指標和精度指標的提高。 5.2 評價插補算法的指標 5.3 插補方法的原理與分類 插補器的的分類 n插補工作可以由硬件電路或軟件程序完成，從而分為硬 件插補器和軟件插補器。 n從產生的數(shù)學模型來分有一次（直線）插補器，二次 （圓，拋物線等）插補器及高次曲線插補器等。 目前應用的插補方法分為基準脈沖插補和數(shù)據(jù)采 樣插補兩大類。 5.3.1 基準脈沖插補 基準脈沖插補又稱為行程標量插補或脈沖增量插補。 此算法的特點是每次插補結束時數(shù)控裝置

5、向每個運動坐標輸出 基準脈沖序列，每個脈沖代表了最小位移，脈沖序列的頻率代表了 坐標運動速度，而脈沖的數(shù)量表示位移量。其特點有： n每次插補的結果僅產生一個單位的行程增量。以一個一個脈沖 的方式輸出給步進電機。其基本思想是：用折線來逼近曲線（包括 直線）。 n插補速度與進給速度密切相關。因而進給速度指標難以提高， 當脈沖當量為10m時，采用該插補算法所能獲得的最高進給速度是 34m/min。 n脈沖增量插補的實現(xiàn)方法比較簡單。 基準脈沖插補方法有：逐點比較法；最小偏差法；數(shù)字 積分法；目標點跟蹤法；單步追綜法等。它們主要用早期的 采用步進電機驅動的數(shù)控系統(tǒng)。由于此算法難以滿足零件加 工的要求，

6、現(xiàn)在的數(shù)控系統(tǒng)已很少采用這類算法了。 (1)逐點比較法 插補原理 逐點比較插補法又稱代數(shù)運算法、醉步法，逐點比較法 以折線來逼近直線或圓弧曲線，它既可做直線插補，又可做 圓弧插補。 5.3.1 基準脈沖插補 （1）逐點比較法 控制工件與刀具之間每相對走一步完成四個工作節(jié)拍： n第一，偏差判別。判別加工點對規(guī)定幾何軌跡的偏離位置，然后 決定運動的走向。 n第二，進給?？刂颇匙鴺溯S進給一步，向規(guī)定的軌跡逼近，縮小 偏差。 n第三，偏差計算。計算新的加工點對規(guī)定軌跡的偏差，作為下一 步判別走向的依據(jù)。 n第四，終點判斷。判斷是否到達程序規(guī)定的加工終點？若到達終 點，則停止插補，否則再回到第一拍。如此

7、不斷地重復上述循環(huán) 過程，直到終點，就能加工出所要求的輪廓形狀。 5.3.1 基準脈沖插補 逐點比較法原理圖 偏差 判別 終點 判別 進給 輸出 偏差 計算 終點到 退出 5.3.1 基準脈沖插補 （1）逐點比較法直線插補 直線插補時，以直線起點為原點，給出終點坐 （xe,ye）,直線方程為 改寫為： （5-1） 直線插補時插補 偏差可能有三種情況 0 e e ee xx yy y xx y o x A(xa,ya) B(xb,yb) E(xe,ye) C(xc,yc) y 5.3.1 基準脈沖插補 以第一象限為例，插補點位于直線上方，下方和直線上。 n對位于直線上方的點A，則有 n對位于直線

8、上的點B，則有 n對位于直線下方的點C，則有 因此，可以取判別函數(shù)為： 0 ee yxxy 0 ee yxxy 0 ee yxxy ee Fyxxy F0時，應向+x方向走一步，才能接近直線; F0的情況。 5.3.1 基準脈沖插補 整個插補工作，從原點開始，走一步算一步，判別一次F， 再趨向直線，步步前進。設第一象限中的點（xi , yi）的F值 為Fi,j （5-3） 若沿+x方向走一步，即 （5-4） 若沿+y方向走一步，即 （5-5） 1 1, 1 (1) ii ijjeiei je xx Fy xxyFy 1 ,1, 1 (1) ii i jjeiei je yy Fyxx yFx

9、eiejji yxxyF , 5.3.1 基準脈沖插補 直線插補的終點判別方法： n每走一步判斷最大坐標的終點坐標值（絕對值）與該坐標 累計步數(shù)坐標值之差是否為零，若等于零，插補結束。 n把每個程序段中的總步數(shù)求出來，即n=xe+ye ,每走一步， 進行n-1，直到n=0時為止。 當F0時，沿+x方向走一步，然后計算新的偏差和終 點判別計算 （5-6) 當F0時，沿+方向走一步，則計算 (5-7) 1 e FFy nn 1 e FFx nn 5.3.1 基準脈沖插補 逐點比較法直線插補舉例 例例1 1 直線插補。設OA為第一象限的直線，其終點坐標xA=4， yA=5，用逐點法加工出直線OA。

10、5.3.1 基準脈沖插補 插補從直線起點開始，因為起點總是在直線上，所以 F00=0，下表列出了直線插補運算過程 5.3.1 基準脈沖插補 5.3.1 基準脈沖插補 逐點比較法直線插補 (2)圓弧插補 逐點比較法進行圓弧加工時（以第一象限逆圓加工為 例），一般以圓心為原點，給出圓弧起點坐標（xo,yo）和 終點坐標（xe,ye），如圖所示。 y x oo x y (xe,ye) F 0 (x0,y0) F 0 (xe,ye) 5.3.1 基準脈沖插補 設圓弧上任一點坐標為（x，y），則下式成立 選擇判別函數(shù)為： 其中為第一象限內任一點坐標。根據(jù)動點所在區(qū)域不同，有三種 情況 F0時，動點在圓弧

11、外; F0和F=0的情況合并在一起考慮，就可以實現(xiàn)第一象限逆時 針方向的圓弧插補。 當F0時，向-x走一步；當F0時，向+y走一步。 每走一步后，計算一次判別函數(shù)，作為下一步進給的判別標準， 同時進行一次終點判斷。 2222 00 ()()0 xyxy 2222 00 ()() ij Fxyxy 5.3.1 基準脈沖插補 F值可用遞推計算方法由加、減運算逐點得到。設已知動 點的F值為Fi,j ，則 動點在-x方向走一步后 (5-9) 動點在+ y方向走一步后 (5-10) 終點判斷可采用與直線插補相同的方法。 2222 00 ()() ij Fxyxy 2222 1,00 , (1)() 21

12、 ijij i ji Fxyxy Fx 2222 ,100 , (1)() 21 i jij i ji Fxyxy Fy 5.3.1 基準脈沖插補 歸納起來，F(xiàn)0時，向-x 方向走一步。其偏差計算，坐 標值計算和終點判別計算用下面公式 (5-11) F0時，向+y走一步。其偏差計算，坐標值計算和終點判 別計算公式如下 (5-12) 1, 1 1 21 1 1 ijiji ii jj FFx xx yy nn ,1, 1 1 21 1 1 ijiji ii jj FFy xx yy nn 5.3.1 基準脈沖插補 逐點比較法圓弧插補 5.3.1 基準脈沖插補 例例2 2 設第一象限逆圓AB，已知

13、起點A（4，0），終點B（0， 4）。試進行插補計算，并畫出插補軌跡。 逐點比較法圓弧插補計算過程逐點比較法圓弧插補計算過程 5.3.1 基準脈沖插補 根據(jù)表5-2作出的插補軌跡如圖5.5所示 78 6 5 4 3 2 1 A(0,4) (0,4) B Y X 0 5.3.1 基準脈沖插補 象限處理 1）直線插補的象限處理 直線插補運算公式 （5-2）（5-7）只適用于 第一象限，不能適用其它象 限的直線插補。對于第二、 三、四象限，取|x|和|y|代 替x、y即可，把第二、三、 四象限的直線就可以變換到 第-象限。 5.3.1 基準脈沖插補 2）圓弧插補的象限處理 在圓弧插補中，僅討 論了第

14、一象限的插補，實 際上圓弧所在的象限不同， 順逆不同，則插補公式和 運動點的走向均不同，因 而圓弧插補有八種情況， 表示在圖中。 5.3.1 基準脈沖插補 所謂圓弧過象限，即圓弧的起點和終點不在同一象限內，如 圖所示的AB，A1和B點的坐標的絕對值是一樣的，從A向B插補 時，走到A1就會停止。因此在編制加工零件程序時，就要求將 AB分成兩段： AB1和B1B。 O B1 A1 A B x y 5.3.1 基準脈沖插補 如果采用帶有正負號的代數(shù)坐標值進行插補運算，就可 以正確地解決終點判斷問題。用代數(shù)值進行插補計算的公式 如下 沿+x向走一步 (5-13) 沿-x向走一步 (5-14) 1, 1

15、 1 21 1 0 ? ijiji ii ei FFx xx xx 1, 1 1 21 1 0 ? ijiji ii ei FFx xx xx 5.3.1 基準脈沖插補 沿+y向走一步 (5-15) 沿-y向走一步 (5-16) ,1, 1 1 21 1 0 ? ijiji ii ei FFy yy yy ,1, 1 1 21 1 0 ? ijiji ii ei FFx yy yy 5.3.1 基準脈沖插補 由圖5.7可以看出 n式（5-13）適用于：第一象限、順圓、F0；第二象限、 順圓、F0；第三象限、逆圓、F0和第四象限、逆圓、 F0的情況。 n式（5-14）適用于：第一象限、逆圓、F0

16、；第二象限、 逆圓、F0；第三象限、順圓、F0和第四象限、順圓、 F0的情況。 n式（5-15）適用于：第一象限、逆圓、F0；第二象限、 順圓、F0；第三象限、順圓、F0和第四象限、逆圓、 F0的情況。 n式（5-16）適用于：第一象限、順圓、F0；第二象限、 逆圓、F0；第三象限、逆圓、F0和第四象限、順圓、 F0的情況。 5.3.1 基準脈沖插補 （2）數(shù)字積分插補法 數(shù)字積分插補法又稱為數(shù)字積分分析法（DDA），是利用 數(shù)字積分的方法，計算刀具沿各坐標軸的位移，使刀具沿著所 加工的軌跡運動。 DDA直線插補 1) 基本原理 如圖5.9所示，O e為第一象限直線，起點在原點，終點為 e(X

17、e,Ye),設進給速度是均勻的，則下式成立 式中k為比例系數(shù)。 在t時間內，X軸和Y軸方向上的微小位移增量X和Y 應為 / XeYe v Oe vXv Yk Xe Ye XvtkXt YvtkYt 5.3.1 基準脈沖插補 若取t=1，則坐 標軸的位移增量為 平面數(shù)字積分法 直線插補框圖，如圖 5.10所示。 e e XkX YkY 插補迭代 控制脈沖 t 軸溢出脈沖 軸溢出脈沖 Y X Y X Y積分累加器 X積分累加器 Y被積函數(shù)寄存器（Ye） X被積函數(shù)寄存器（Xe） 數(shù)字積分法直線插補框圖 5.3.1 基準脈沖插補 設積分累加器為n位，則累加器的容量為2n位，當計數(shù)至2n 時，必須發(fā)生

18、溢出。兩個坐標軸同步插補時，用溢出脈沖控制機 床的進給，就可走出所需的直線軌跡。 設經過m次累計后，X和Y 分別到達終點e (Xe,Ye)，則 （5-19) 由此可見，比例系數(shù)k和累加次數(shù)m之間的關系為 km =1 即 m =1/k k的數(shù)值與累加器容量有關。累加器的容量應大于各坐標軸 的最大坐標值，一般二者的位數(shù)相同，以保證每次累加最多只溢 出一個脈沖。 ee ee XkX m YkY m 5.3.1 基準脈沖插補 設累加器有n位，則 k =1/2n 故累加次數(shù) m =1/k=2n 上述關系表明，若累加器的位數(shù)為n，則整個插補過程 要進行2n次累加才能到達直線的終點，用于逐點比較法相 同的處

19、理方法，便可對不同象限的直線進行插補。 5.3.1 基準脈沖插補 2) 終點判別 數(shù)字積分法直線插補的終點判別條件應是m =2n。 直線插補完成m =2n次累加運算，即可達到直線的終點。 所以，只要設置一個位數(shù)為n位的終點計數(shù)器，用以記錄累加 次數(shù)，當計數(shù)器記滿2n數(shù)時，插補停止。 例例3 3 直線OA的起點為坐標原點，終點坐標為A（10，5）， 累加器和寄存器的位數(shù)均為四位，用數(shù)字積分法對直線 OA進行插補，并畫出插補軌跡。 解：解：該直線為第一象限直線，根據(jù)m=2n=24=16，插補累加次 數(shù)為16。插補計算過程見表5-3，插補軌跡見圖5.11所示 5.3.1 基準脈沖插補 表表5-3 數(shù)

20、字積分法直線插補計算過程數(shù)字積分法直線插補計算過程 5.3.1 基準脈沖插補 5.3.1 基準脈沖插補 DDA直線插補 DDA圓弧插補 1) 基本原理 圓弧的起點A（XA， YA），終點為B（XB， YB），半徑為R，加工時 保證沿圓弧切線方向的進給 速度v給定。P（Xi，Yi） 為動點，則下式成立： 即/ XiYi v RvYvXk , XiYi vkYvkX 5.3.1 基準脈沖插補 設在t時間間隔內，X、Y坐標軸方向的位移增量分別為 X和Y，并考慮到對于第一象限逆圓弧，X 坐標軸的位移量 為負值，Y坐標軸的位移量為正值，因此 （5-21） 若取t=1，則坐標軸的位移量為 （5-22） i

21、 i XkY t YkXt i i XkY YkX 5.3.1基準脈沖插補 插補迭代 控制脈沖 t 軸溢出脈沖 軸溢出脈沖 Y X Y X Y積分累加器JRY X積分累加器JRX Y被積函數(shù)寄存器JVX X被積函數(shù)寄存器JVX 5.3.1基準脈沖插補 數(shù)字積分法圓弧插補原理框圖 圓弧插補與直線插補的區(qū)別在于： A. 圓弧插補坐標值X、Y存入寄存器JVX和JVY的對應關系與直 線插補時正好相反，即在JVX中存入Y值，在JVY中存入X值； B. 存入的坐標值不同，直線插補時積存的是終點坐標，是常數(shù)； 而圓弧插補時寄存的是動點坐標，是變量。 其它象限圓弧插補可用同樣方法推導。 2) 終點判斷 可以采

22、用兩個終點判別計數(shù)器，各軸分別判別終點，進 給一步減1，計數(shù)器減為0時該軸停止進給。兩軸都到達終點 后，停止插補。 5.3.1基準脈沖插補 例4 已知一圓弧的圓心在原點，起點坐標為A（5，0），終 點坐標為 （0，5），采用三位二進制寄存器和累加器， 用數(shù)字積分法對圓弧進行插補并畫出插補軌跡。 解：解：該圓弧為第一象限逆圓弧。累加器的容量為23=8，因此， 當計數(shù)至8時，溢出脈沖。其插補計算過程見表所示。 5.3.1基準脈沖插補 數(shù)字積分法圓弧插補計算過程 5.3.1基準脈沖插補 5.3.1 基準脈沖插補 DDA圓弧插補 5.3.1 基準脈沖插補 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 數(shù)據(jù)采樣插補又稱為時間

23、標量插補或數(shù)字增量插補。 這類插補算法的特點是數(shù)控裝置產生的不是單個脈沖， 而是標準二進制數(shù)字。插補運算分兩步完成： n第一步為粗插補，它是用若干條微小直線段來逼近給 定曲線，每一微小直線段的長度L都相等，每一微小直線段 的長度L與進給速度F和插補周期T有關，即L=FT。 n第二步為精插補，它是在粗插補算出的每一微小直線 段的基礎上再作“數(shù)據(jù)點的密化”工作。這一步相當于對 直線的脈沖增量插補。 精插補的特點特點有： （1）插補程序以一定的時間間隔定時(插補周期)運行，在每個 周期內根據(jù)進給速度計算出各坐標軸在下一插補周期內的 位移增量（數(shù)字量）。其基本思想是：用直線段（內接弦 線，內外均差弦線

24、，切線）來逼近曲線（包括直線）。 （2）插補運算速度與進給速度無嚴格的關系。因而采用這類插 補算法時，可達到較高的進給速度（一般可達10m/min 以上）。 （3）數(shù)字增量插補的實現(xiàn)算法較脈沖增量插補復雜，它對計算 機的運算速度有一定的要求，不過現(xiàn)在的計算機均能滿足 要求。 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 數(shù)據(jù)采樣插補的基本原理 數(shù)據(jù)采樣插補是根據(jù)編程的進給速度，將輪廓曲線分割為插 補采樣周期的進給步長。 數(shù)據(jù)采樣插補的核心問題是計算出插補周期的瞬時進給量。 對于直線插補，用插補所形成的步長子線段逼近給定直線， 與給定直線重合。在圓弧插補時，用切線、弦線和割線逼近圓弧， 常用的是弦線或割線。 5.3.

25、2數(shù)據(jù)采樣插補 插補周期與采樣周期 插補周期T對插補誤差及更高速運行有影響。 插補周期與插補運算時間有密切關系，一旦選定了插補算法， 則完成該算法的時間也就確定了。插補周期T必須大于插補 運算時間與完成其它實時任務所需時間之和。 插補周期與位置反饋采樣周期有一定的關系，插補周期和采 樣周期可以相同，也可以不同。如果不同，則選插補周期是 采樣周期的整數(shù)倍。 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 在直線插補時，插補所形 成的每個小直線段與給定直線 重合，不會造成軌跡誤差。 在圓弧插補時，用內接弦線或 內外差弦線來逼近圓弧，如圖 所示。這種逼近必然會造成軌 跡誤差，對內接弦線，最大半 徑誤差er與角步距的關系為

26、(1 cos )cos1 22 r r e er r 或 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 插補精度及其與插補周期、速度的關系 若er為允許的最大半徑誤差，則最大允許角步距 （5-24） 對于半徑為r的圓弧的內外均差弦線，在直線段中點處 的圓弧內側，產生一個半徑偏差eri，在半徑為ra的圓上的 交點處向圓弧r外產生一個偏差era。當eri=era=er時，得到 的內外均差弦線的最大允許角步距為 （5-255-25） m a x m a x 2 a r c c o s (1) c o s1 2 r r e r e r * m ax * m ax * m axm ax 1 2 arccos() 1 1 co

27、s 2 1 (1cos/ 2) /(1cos/ 2) r r r r r e r e r e r e r er 或 從 而 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 式（5-24）、（5-25）中的 和 可用冪級數(shù)展開 式表達 由于 得 max cos 2 * max cos 2 24 maxmax max ()() 22 cos11 22!4! r e r maxmax max * 24 *1()() 22 cos1 22!4! 1 r r e r e r 4 () 2 1 4 !384 4 max * max 2 2(/1) 1/ r r er er 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 可見內外均差弦線的允許最大角步距

28、 比內接弦線的 大 倍，但這種方法費用較貴，一般寧愿采用內接弦線的逼近 方法。 用輪廓進給步長l代替弧長，可有 （5-26） 而 （5-27） 式中 T插補周期； V刀具移動速度。 將 式中 用冪級數(shù)展開式表達，得 max * max 2 / l r lTV (1cos) 2 r er cos 2 24 24 cos 2 (/ 2)(/ 2) 11 2!4! (/ 2) (1) 84! r err r r 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 將式（5-26）、（5-27）代入上式，得 （5-28） 由式5-28可以看出，在圓弧插補時，插補周期T分別與 精度er、半徑r和速度V有關。如果以弦線誤差作為最大允

29、許 的半徑誤差，要得到盡可能大的速度，則插補周期要盡可能 的?。划攅r給定，小半徑比大半徑的插補周期小（小半徑， 曲率大，要求輪廓步長?。捎诓逖a周期對速度影響率比 半徑對速度增加的影響率大，因此，小半徑可以得到一個最 大允許軌跡速度。 2 2 11 88 r TVl e rr 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 (1)直線函數(shù)法 直線插補 如圖，在x-y平面插補加工直線OP。終點P的坐標分量 分別為xe和ye，OP與x軸夾角為，插補進給步長為l，則 cos e e xl y yx x 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 圓弧插補 在圖5.17中，順圓上的點B是繼A點之后的插補瞬時點， 其坐標分別為A（xi，yi）

30、、B（xi+1，yi+1）。所謂插補， 在這里是指由已加工點A求出下一點B，實質上是求在一個 插補周期的時間內，x軸和y軸的進給增量x和y。圖中弦 AB正式圓弧插補時每周期的進給步長l。AP是A點的切線， M是弦的中點，OMAB，MEAF，E為AF的中點。圓 心角具有下面的關系 式中 進給步長l對應的角增量，稱為角步距。 i+1i 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 如圖 因為 OAAP 所以 則 因為AP為切線，所以 在MOD中， i AOCPAF AOCPAF APAOB i 11 B 22 1 PAF+ BAP= 2 i 1 () 2 DHHM tg OCCD i 1 cos 1 2 () 1 2

31、sin 2 i i xl tgtg yl 將DH=xi，OC=yi， HM= 代入上式，則有 （6-29） 111 cossin 222 lx CDly和 （5-29） 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 關鍵是x、y的求解。在式 （5-29）中， 和 都是未知 數(shù)，難以求解，所以采用了近似 算法，用 來代替，即 又因為 由此可以推出（xi，yi）與x、y的關系式： （5-30） 上式充分反映了圓弧上任意相鄰的兩插補點坐標之間的 關系。只要找到計算x（y）的恰當方法，就可以求出新的 插補點坐標 FBx tg FAy 11 cos 22 11 sin 22 ii ii xxxl x y yyyl 1 1 i

32、i ii xxx yyy cossin cos45sin45 和 11 coscos45 22 11 sinsin45 22 ii ii xlx tg yly 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 從而造成了 的偏差， 在處，且進給速度較 大時偏差大。如圖5.18所示，由于近似計算 ，使 角成為 （在045間， ）,使 變大，因而影 響到x之值，使之為x 0tg tg cosxlAF 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 cos 但是這種偏差不會使插補點離開圓弧軌跡，這是由式（5-30） 保證的。因為圓弧上任意相鄰兩點必滿足 （5-31） 反言之，若平面上任意兩點只要其坐標及增量滿足上式，則兩點 必在同一圓弧上。因此，當

33、已知xi、yi和x時，若按式（5-31）求 出y，那么這樣確定的B點一定在圓弧上。采用近似計算引起的 偏差僅僅是xx, yy, ABAB, 即ll。這種算法能 夠保證圓弧插補每一插補點位于圓弧上，它僅造成每次插補進給量l 的微小變化，實際進給速度的變化小于指令進給速度的1%，這種變 化在加工中是允許的，完全可以認為插補的速度是均勻的。 1 () 2 1 2 i i xxx y yx 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 在圓弧插補中誤差主要表現(xiàn)在半徑的絕對誤差上。該誤差 取決于進給速度的大小，進給速度越高，則一個插補周期進給 的弦長越長，誤差就越大。為此，當加工的圓弧半徑確定后， 為了使徑向絕對誤差不致過大

34、，對進給速度要有一個限制。 由公式（5-28）可以求出 式中 最大徑向誤差； 圓弧半徑。 當 時，插補周期T=8ms，則進給速度 式中 V進給速度，單位為mm/min。 8 r le r r e r r e1 8/450000 r Ve r Tr 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 （3）擴展DDA數(shù)據(jù)采樣插補 擴展DDA算法是在DDA積分法基礎上發(fā)展起來的， 它是將DDA切線逼近圓弧的方法改變?yōu)楦罹€逼近。 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 直線插補原理 假設要加工直線 OP，如圖所示，起點 是O，終點為P（xe， ye）。 根據(jù)進給速度的要求，在時間T內走完該直線段。刀具在 任一時刻t的位置，可由各坐標軸向速度分

35、量積分得到 將時間T用采樣周期t分割n個子區(qū)間（n取大于等于T/t 最接近的整數(shù)），由此可以得到直線的DDA插補公式 0 00 0 00 tt e x tt e y xx xV dtdt T yy yV dtdt T 0 11 0 11 nn e ii ii nn e ii ii xx xx n yy yy n 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 由上式可導出直線DDA插補的迭代公式 （5-32） 在直線插補中，每次迭代形成一個子線段，其斜率等于 給定直線的斜率，即 11 11 iii iii xxx yyy 00 / ee yyxxy xnn 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 輪廓步長在坐標軸上的分量x和y的大小

36、取決于編程速 度值，表達式為 （5-33） 式中 V編程的進給速度，mm/min； FRN進給速率數(shù)，進給速度的一種表示方法； （直線長度） 采樣周期（ms）； 經時間換算的采樣周期。 0 0 22 00 0 0 22 00 () cos() ()() () sin() ()() e te ee e te ee V xxt xV tFRN xx xxyy V yyt yV tFRNyy xxyy 22 00 ()() ee VV FRN L xxyy t t 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 對于同一條直線來說，由于FRN和均為已知常數(shù)，因 此式中的FRN 可用常數(shù)表示，稱為步長系數(shù)。故式（6- 33）

37、可寫成 （5-） 式（5-34）在插補程序準備程序中完成，式（5-32）在 插補程序中完成。 t t d 0 0 () () de de xxx yyy 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 圓弧插補原理 擴展DDA插補 算法是將切線逼近 圓弧轉化為弦線 （準確說是割線） 逼近圓弧。用擴展 DDA插補算法加工 右圖 圓弧插補 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 現(xiàn)在來計算在采樣周期內輪廓進給步長l的坐標分量xi+1 和yi+1值，由此就可以得到一個采樣周期后所達到Ai+1點的 坐標位置。 由圖5.20可見，在直角OPAi中， （5-35） （5-36） s in i i xO P O AR c o s ii i A P

38、y O AR 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 設進給速度為V，則 。過B點作x軸的平行線 BS交y軸于S點，交AiP線段于S點。過點Ai+1作Ai+1N平行x 軸，交AiP 于N。從圖中還可以看出.直角OSB與直角 AN相似，從而有比例關系 （5-37） 式中 ； OS可通過直角AiS B先求出AiS，再由OS = AiP AiS得出，即 1 1 i ii NAO S A AO B 11 ii N Ax 1iit A AlV 1iit A AlV 1 sin 2 iii OSAPASyl 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 OB可通過直角OAiB求出 將以上各式都代人式(5-37)中.得 將式(5-35)代人并整

39、理，得 2222 1 () 2 ii OBABOAlR 1 22 1 s i n 2 1 () 2 i i yl x l lR 1 22 1 () 2 1 () 2 i i i x lyl R x lR 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 因為，將略去不計，則可得 若令 則 (5-38) lR 2 1 () 2 l 1 1 () 2 1 () 2 i ii titi xl xyl RR VV yx RR dtt V FRN R 1 1 () 2 ididi xyx 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 從直角OSB與直角AiNAi+1相似，還可得出 即 （5-39） 將 （由直角AiS B求出） 1 i ii ANS

40、B AAO B 1 i ii A NSSSB A AOB 1iit A AlV 22 1 () 2 O BlR 1 cos 2 i i y S BABl R i SSx 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 代入式（5-39），可求得 因為 ，將 略去不計，則可得 令 ，則 （5-40） 1 22 1 () 2 1 () 2 i i ii y l xl R yA N lR lR 2 1 () 2 l 1 1 () 2 iii ll yxy RR dt lV RR 1 1 () 2 ididi yxy 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 Ai+1點的坐標值，可用下式求得 （5-41） 式(5-38)、（5-40)和式(5

41、-41)為第一象限順圓插補 計算公式，依照此原理，不難得出其它象限及其走向的 擴展DDA圓弧插補計算公式。 111 111 iii iii xxx yyy 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 擴展DDA數(shù)據(jù)采樣插補 計算公式也可用下面方法推 導出來。 在圖5.21中，圓弧插補 動點坐標Pi (xi,yi)用角度參 量解析式給出，順圓插補恒 定的軌跡速度為V，插補周 期為，則每次插補的角步距 為 i d V R 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 因而每次插補運算的插補節(jié)點的角度值，故每次插補動點 坐標為 由三角函數(shù)公式 則 （5-42） 式（5-42）為一階遞推插補公式。 11 11 coscos() sinsin(

42、) iii iii xRR yRR 1 1 cos()cos cossin sin sin()sincoscos sin iiii iiii xRRR yRRR 1 1 cossin cossin iii iii xxy yyx 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 將式（5-42）中的三角函數(shù)用冪級數(shù)展開，進行二階近似，即 將上式代入式（5-42），且將 代入，得 (5-43) 2 1 cos1 2 sin d 2 1 2 2 1 2 1 (1) 2 1 2 1 (1) 2 1 2 iii idiid iii idiid xxy xxy yyx yyx 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 (5-44) 式（5-43)

43、和式(5-44)是二階近似的DDA算法。由此可看 出，由一階遞歸和二階近似的推導得出的結果與式(5-38)、式 (5-40)和式(5-41)是一致的。因此擴展DDA插補也可稱為一階 遞歸二階近似插補。 2 11 2 11 11 () 22 11 () 22 iiiiddididi iiiiddididi xxxyxyx yyyxyxy 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 由近似計算，可知插補點Ai+1不能落在圈弧上，總是在 圓的外側。插補線段是一條內差大，外差小的割線。因此擴 展DDA插補的徑向誤差er介于內接弦線和內外均差弦線(即割 線)的徑向誤差之間，即 式中 R 半徑； 步距角 擴展DDA插補需要進

44、行加減法和二次乘法運算，沒有超 越函數(shù)的計算，其有一定的簡單性和高速性。為了進一步簡 化插補運算，可用二階遞歸算法。 (1cos) /(1cos)(1cos) 222 r ReR 5.3.2數(shù)據(jù)采樣插補 5.4 刀具半徑補償控制 數(shù)控系統(tǒng)的刀具補償即垂直于刀具軌跡的位移，用來修 正刀具實際半徑或直徑與其程序規(guī)定的值之差。 數(shù)控系統(tǒng)對刀具的控制是以刀架參考點為基準的。零件 加工程序給出零件輪廓軌跡，如不作處理，則數(shù)控系統(tǒng)僅能 控制刀架的參考點實現(xiàn)加工軌跡，但實際上是要用刀具的尖 點實現(xiàn)加工的。這樣，需要在刀架的參考點與加工刀具的刀 尖之間進行位置偏置。這種位置偏置由兩部分組成： n刀具長度補償

45、n刀具半徑補償 不同類型的機床與刀具，需要考慮的刀具補償參數(shù)也不同。 對銑刀而言，只有刀具半徑補償； 對鉆頭而言，只有一坐標長度補償； 對車刀而言，卻需要兩坐標長度補場和刀具半徑補償。 銑刀 （b）鉆頭 （c）車刀 5.4 刀具半徑補償控制 5.4.1 刀具數(shù)據(jù) （1）刀具數(shù)據(jù): SIEMENS880數(shù)控系統(tǒng)中，刀具的幾何數(shù)據(jù)存儲于刀 具偏置號D后面： 長度 9999.999mm 半徑 999.999mm 輸入分辨率1m T編號 8位十進制數(shù) n在標準控制系統(tǒng)中，刀具補償數(shù)據(jù)塊分成10列(P0P9)。刀 具補償塊的格式由刀具類型(P1)標識。用戶可使用99個刀 具補償塊。 n刀具補償可用DI至

46、DXXX的十進制數(shù)調用，可用D0取消。 刀具類型定義如下: n類型0 刀具未定義 n類型19 車刀，刀尖位置 n類型10 僅有長度補償?shù)牡毒?如鉆頭) n類型20 具有半徑補償和一個長度補償?shù)牡毒?(如銑刀) n類型30 具有半徑補償和兩個長度補償?shù)牡毒?如角銑刀) n類型40 5軸長度補償?shù)你姷?5.4.1 刀具數(shù)據(jù) nP0為最多可達8位十進制 數(shù)的刀具號 nP1為上述刀具類型 5.4.1 刀具數(shù)據(jù) 刀具補償數(shù)據(jù)存儲結構 nP5P7為刀具的磨損數(shù)據(jù)， nP8，P9保留用于特殊用途。 nP2P3為刀具的幾何尺寸， 常用刀具的幾何尺寸 5.4.1 刀具數(shù)據(jù) P為理論刀尖，S為刀鼻圓弧中心， Rs

47、為刀鼻半徑，F(xiàn)為刀架參考點。 5.4.1 刀具數(shù)據(jù) 工件輪廓能 夠與采用刀鼻半 徑補償?shù)牡毒咂?置一起編程，輸 入長度補償指的 是理論刀尖“P” 的位置。刀鼻半 徑RS和切削點 P(刀鼻矢量)的位 置也必須送入數(shù) 控系統(tǒng)。 5.4.1 刀具數(shù)據(jù) 5.4.2 刀具半徑補償 (1)刀具半徑補償?shù)母拍?根據(jù)零件輪廓信 息和刀具半徑自動計 算中心軌跡，使其自 動偏移零件輪廓一個 刀具半徑值。這種偏 移計算稱為刀具半徑 補償。 A B C” C B A G41 刀具 G42 刀具 編程軌跡 刀具中心軌跡C (2)刀具半徑補償?shù)墓ぷ鬟^程 在切削零件輪廓過程中，刀具半徑補償分為三步： 刀具半徑補償建立依據(jù)G

48、41或G42使刀具中心在原來的編程 零件軌跡的基礎上伸長或縮短一個刀具半徑值 刀具半徑補償進行在刀具補償進行期間，刀具中心軌跡始終 偏離零件輪廓一個刀具半徑值的距離。 5.4.2 刀具半徑補償 刀具半徑補償取消 刀具撤離工件，回到起 刀點，取消刀具半徑補償。 5.4.2 刀具半徑補償 刀具半徑補償 刀具半徑補償功能的主要用途刀具半徑補償功能的主要用途 n實現(xiàn)根據(jù)編程軌跡對刀具中心軌跡的控制。可避免在加 工中由于刀具半徑的變化(如由于刀具損壞而換刀等原 因)而重新編程的麻煩。 n在刀具磨損或因換刀引起的刀具半徑變化時，通過修改 相應的偏置參數(shù)，不必重新編程； n在粗、精加工時，粗加工要為精加工預

49、留加工余量，粗、 精加工程序相同，通過修改偏置參數(shù)實現(xiàn)加工余量的預 留。 5.4.2 刀具半徑補償 在進行刀具半徑補償時，CNC系統(tǒng)自動完成兩方面的工作： 1） 根據(jù)刀具號H (D)確定半徑值r及其走向，使刀具沿零件的 加工輪廓偏移一個r值，即控制刀具中心沿零件加工輪廓 的等距曲線運動 2） 在零件輪廓的非光滑過渡的拐角處，CNC系統(tǒng)自動進行 尖角過渡。根據(jù)尖角過渡的方法不同，刀具半徑補償又可 分為B(Basic，基本的)刀具半徑補償和C (Complete，完 全的)刀具半徑補償 5.4.2 刀具半徑補償 （3）B功能刀具半徑補償 qB B刀補：刀補：有R2 法，比例法，該法對加工輪廓的連接

50、都是以 圓弧進行的。如圖示，其缺點是： 在外輪廓尖角加工時，由于輪廓尖角處，始終處于 切削狀態(tài)，尖角的加工工藝性差。 在內輪廓尖角加工時，由于C”點不易求得(受計算 能力的限制)編程人員必須在零件輪廓中插入一個半 徑大于刀具半徑的園弧，這樣才能避免產生過切。 這種刀補方法，無法滿足實際應用中的許多要求。因 此現(xiàn)在用得較少，而用得較多的是C刀補。 5.4.2 刀具半徑補償 B刀具半徑補償要求編程輪廓線之間以圓弧過渡 5.4.2 刀具半徑補償 直線B刀具半徑補償計算 如圖所示。被加工直線段的起點在坐標原點上，終點E 的坐標為(X，Y)，假定上一程序加工完后，刀具中心在O 點且坐標值己知。刀具半徑為

51、r，現(xiàn)在要計算的是刀具補償 后直線OE的終點坐標（X，Y）。 5.4.2 刀具半徑補償 設刀具補償矢量投影坐標為X和Y，則 由于 則有 XXX YYY XOEE EK 22 22 sin c o s rY Xr XY rX Yr XY 22 22 r Y XX XY r X YY XY (5-45) 5.4.2 刀具半徑補償 圓弧B刀具半徑補償計算 如下圖所示，設被加工圓弧的圓心在坐標原點，圓弧 半徑為R，圓弧起點為A（Xa，Ya），終點為E (Xe，Ye)， 刀具半徑為r。 5.4.2 刀具半徑補償 圓弧刀具半徑補償計算的目的，是要計算刀具中心軌跡 的終點E (Xe , Ye )和半徑R。因為E在半徑OE或 其延長線上，三角形OEP與OEP相似。根據(jù)相似 三角形定理，有 則有 ee ee XYRr XYR () () ee