帶電粒子在邊界磁場中的運(yùn)動

1、 帶電粒子的垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中，做勻速圓周運(yùn)動帶電粒子的垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中，做勻速圓周運(yùn)動 mvrfm T r mrm r v mBqv 22 2 2 2 2 4 4 q mU BBq mE Bq p Bq mv r k 212 Bq m v r T 22 只與只與B B和帶電粒子（和帶電粒子（q q，m)m)有關(guān)，而有關(guān)，而 與與v v、r r無關(guān)（回旋加速器）無關(guān)（回旋加速器） q mU rqr mE qr p qr mv B k 212 P M v v O -q v P M v O -q v 利用利用vR 利用弦的中垂線利用弦的中垂線 兩條切線夾角的平分線過圓心兩條切線夾角的平分線過圓心

2、 幾何法求半徑幾何法求半徑（勾股定理、三角函數(shù)）勾股定理、三角函數(shù)） 向心力公式求半徑向心力公式求半徑（R= mv/qB） 帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動問題，綜合性帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動問題，綜合性 較強(qiáng)，解這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、較強(qiáng)，解這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、 圓周運(yùn)動的知識，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中圓周運(yùn)動的知識，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中 的圓及解析幾何知識的圓及解析幾何知識 但只要準(zhǔn)確地畫出軌跡圖，但只要準(zhǔn)確地畫出軌跡圖， 并靈活運(yùn)用幾何知識和物理規(guī)律，找到已知量與并靈活運(yùn)用幾何知識和物理規(guī)律，找到已知量與 軌道半徑軌道半徑r r、周期、周期T T的關(guān)系，的關(guān)

3、系，求出粒子在磁場中偏求出粒子在磁場中偏 轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動時間不太難。轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動時間不太難。 一帶電粒子在單直線邊界磁場中的運(yùn)動一帶電粒子在單直線邊界磁場中的運(yùn)動 如果垂直磁場邊界進(jìn)入，粒子作半圓運(yùn)動后垂直如果垂直磁場邊界進(jìn)入，粒子作半圓運(yùn)動后垂直 原邊界飛出；原邊界飛出； 如果與磁場邊界成夾角如果與磁場邊界成夾角進(jìn)入，仍以與磁場邊界進(jìn)入，仍以與磁場邊界 夾角夾角飛出（有兩種軌跡，圖中若兩軌跡共弦，則飛出（有兩種軌跡，圖中若兩軌跡共弦，則 1 12 2）。）。 O B A v v r r P MN B O 2 v v 22 6 6如圖如圖, ,在一水平放置的平板在一水平放置的

4、平板MNMN上方有勻強(qiáng)磁場上方有勻強(qiáng)磁場, ,磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小為的大小為B,B,磁場方向垂直于紙面向里磁場方向垂直于紙面向里, ,許多質(zhì)量為許多質(zhì)量為m,m,帶電量為帶電量為 +q+q的粒子的粒子, ,以相同的速率以相同的速率v v沿位于紙面內(nèi)的各個方向沿位于紙面內(nèi)的各個方向, ,由小孔由小孔O O 射入磁場區(qū)域射入磁場區(qū)域, ,不計(jì)重力不計(jì)重力, ,不計(jì)粒子間的相互影響不計(jì)粒子間的相互影響. .下列圖中陰下列圖中陰 影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域, ,其中其中R=mv/qB.R=mv/qB.哪個圖是哪個圖是 正確的正確的? ? MN B O 2R

5、 R2RM N O 2R R 2R M N O 2R 2R2RM N O R 2R2R M N O D. A. B. C. 解：解： 帶電量為帶電量為+q+q的粒子的粒子, ,以相同的速率以相同的速率v v沿位于紙面內(nèi)的各沿位于紙面內(nèi)的各 個方向個方向, ,由小孔由小孔O O射入磁場區(qū)域射入磁場區(qū)域, ,由由R=mv/qB,R=mv/qB,各個粒子在磁場各個粒子在磁場 中運(yùn)動的半徑均相同中運(yùn)動的半徑均相同, , 在磁場中運(yùn)動的軌跡圓圓心是在以在磁場中運(yùn)動的軌跡圓圓心是在以O(shè) O 為圓心、以為圓心、以R=mv/qBR=mv/qB為半徑的為半徑的1/21/2圓弧上圓弧上, ,如圖虛線示如圖虛線示:

6、 :各粒子各粒子 的運(yùn)動軌跡如圖實(shí)線示的運(yùn)動軌跡如圖實(shí)線示: :帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分 如圖斜線示如圖斜線示 2R R 2R M N O 7 7水平線水平線MNMN的下方存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的下方存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B B的勻的勻 強(qiáng)磁場，在強(qiáng)磁場，在MNMN線上某點(diǎn)線上某點(diǎn)O O的正下方與的正下方與O O點(diǎn)相距為點(diǎn)相距為L L的質(zhì)子源的質(zhì)子源S,S,可可 在紙面內(nèi)在紙面內(nèi)1801800 0范圍內(nèi)發(fā)射質(zhì)量為范圍內(nèi)發(fā)射質(zhì)量為m m、電量為、電量為e e、速度、速度v=BeL/mv=BeL/m的的 質(zhì)子，質(zhì)子的重力不計(jì)，試說明在質(zhì)子，質(zhì)子的

7、重力不計(jì)，試說明在MNMN線上多大范圍內(nèi)有質(zhì)子線上多大范圍內(nèi)有質(zhì)子 穿出。穿出。 O M N S B O點(diǎn)左右距離點(diǎn)左右距離O點(diǎn)點(diǎn)L的范圍內(nèi)有質(zhì)子穿出的范圍內(nèi)有質(zhì)子穿出 L eB m BeL m eB mv r OMN S B 速度較小時，作半圓運(yùn) 動后從原邊界飛出； 速度增加為某臨界值時， 粒子作部分圓周運(yùn)動其 軌跡與另一邊界相切； 速度較大時粒子作部分 周運(yùn)動后從另一邊界飛 出 S v v B P S v S QPQQ 圓心在過入射點(diǎn)跟跟速度圓心在過入射點(diǎn)跟跟速度 方向垂直的直線上方向垂直的直線上 圓心在過入射點(diǎn)跟邊界圓心在過入射點(diǎn)跟邊界 垂直的直線上垂直的直線上 圓心在磁場原邊界上圓心在

8、磁場原邊界上 量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài) 速度較小時，作圓 周運(yùn)動通過射入點(diǎn)； 速度增加為某臨界 時，粒子作圓周運(yùn) 動其軌跡與另一邊 界相切； 速度較大時粒子作 部分圓周運(yùn)動后從 另一邊界飛出 速度較小時，作圓弧 運(yùn)動后從原邊界飛出； 速度增加為某臨界值 時，粒子作部分圓周 運(yùn)動其軌跡與另一邊 界相切； 速度較大時粒子作部 分圓周運(yùn)動后從另一 邊界飛出 1 1如圖所示，一質(zhì)子和一如圖所示，一質(zhì)子和一粒子從粒子從a a點(diǎn)同時以相同的動點(diǎn)同時以相同的動 能沿垂直于磁場邊界，垂直于磁場的方向射入磁場寬能沿垂直于磁場邊界，垂直于磁場的方向射入磁場寬

9、 度為度為d d的有界磁場中，并都能從磁場的右邊界射出則的有界磁場中，并都能從磁場的右邊界射出則 A A、質(zhì)子和、質(zhì)子和粒子同時射出粒子同時射出 B B、質(zhì)子和、質(zhì)子和粒子從同一位置射出粒子從同一位置射出 C C、質(zhì)子和、質(zhì)子和粒子不同時射出粒子不同時射出 D D、質(zhì)子和、質(zhì)子和粒子從不同位置射出粒子從不同位置射出 a v 解：先分析兩者半徑是否相同 1 1 2 4 1 1 2 2 1 2 1 q q m m r r q m qB mE qB p r k 2 q m qB m qB m Tt 2 22 2 1 1 2 4 1 1 2 2 1 2 1 q q m m t t 再分析兩者運(yùn)動時間是

10、否相同 2在真空中寬的區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，質(zhì)量為，電量為在真空中寬的區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，質(zhì)量為，電量為e， 速率為的電子從邊界外側(cè)垂直射入磁場，入射方向與速率為的電子從邊界外側(cè)垂直射入磁場，入射方向與 夾角夾角，為了使電子能從磁場的另一側(cè)邊界射出，應(yīng)，為了使電子能從磁場的另一側(cè)邊界射出，應(yīng) 滿足的條件是：滿足的條件是： .veBd/m（1+sin） .veBd/m（1+cos） .v eBd/msin .v eBd/mcos )cos1 ( rd r v mqvB 2 )cos1 ( d m eB m eBr v B O v C F E D eB m eB m t )(2 2 3 3如圖所示，相互

11、平行的直線如圖所示，相互平行的直線M M、N N、P P、Q Q間存在垂直于紙面間存在垂直于紙面 的勻強(qiáng)磁場。某帶負(fù)電粒子由的勻強(qiáng)磁場。某帶負(fù)電粒子由O O點(diǎn)垂直于磁場方向射入，已知點(diǎn)垂直于磁場方向射入，已知 粒子速率一定，射入時速度方向與粒子速率一定，射入時速度方向與OMOM間夾角的范圍為間夾角的范圍為090090， 不計(jì)粒子的重力，則：不計(jì)粒子的重力，則： （1 1）.越大，粒子在磁場中運(yùn)動的時間？越大，粒子在磁場中運(yùn)動的時間？ (2).(2).越大，粒子在磁場中運(yùn)動的路徑？越大，粒子在磁場中運(yùn)動的路徑？ (3)(3)越大，粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心到越大，粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心到MN

12、MN的距離？的距離？ M P QN O 0 v o v B d ab c v B 量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切） 例2如圖所示，在正方形空腔正方形空腔的范圍內(nèi)，有方向垂直紙面向里的 勻強(qiáng)磁場電子從孔A沿平行于ab邊的方向，以各種不同的速率 射入磁場現(xiàn)在比較兩個電子的速率其中一個打在bc邊的中點(diǎn) M，設(shè)其速率為V1；另一個從c孔穿出，設(shè)其速率為V2，則 V1:V2=_ 4：5 矩形邊界分析半徑的兩種常見思路 O N O N 2、空間存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，圖中的正方形 為其邊界。一細(xì)束由兩種粒子組成的

13、粒子流沿垂直于磁場的 方向從O點(diǎn)入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質(zhì) 量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不計(jì) 重力。下列說法正確的是 A入射速度不同的粒子在磁場中的運(yùn)動時間一定不同 B 入射速度相同的粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡一定相同 C在磁場中運(yùn)動時間相同的粒子，其運(yùn)動軌跡一定相同 D在磁場中運(yùn)動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定 越大 Tt 360 相同比荷的粒子在相同的相同比荷的粒子在相同的 磁場中具有相同的周期。磁場中具有相同的周期。 O 3 3、穿過無限大雙邊界磁場：、穿過無限大雙邊界磁場： 例例3如圖，磁場垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為如圖，磁場垂直紙面向里，

14、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場上下邊，磁場上下邊 界間距為界間距為2L，左右無邊界。有一正離子（，左右無邊界。有一正離子（m，q）以）以角從正中射入角從正中射入 磁場，若離子不從上邊界射出磁場，求離子射入磁場時速度的范圍。磁場，若離子不從上邊界射出磁場，求離子射入磁場時速度的范圍。 自己作圖的時候，可以先作圓，后作邊界。自己作圖的時候，可以先作圓，后作邊界。 4、如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域、如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙內(nèi)充滿方向垂直紙 面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，在的勻強(qiáng)磁場，在ad邊中點(diǎn)邊中點(diǎn)O方向方向 垂直磁場射入一速度方向跟垂直磁場射入一

15、速度方向跟ad邊夾角邊夾角=300 、大小為、大小為v0的帶的帶 電粒子，已知粒子質(zhì)量為電粒子，已知粒子質(zhì)量為m、電量為、電量為q，ab邊足夠長，邊足夠長，ad邊邊 長為長為L，粒子的重力不計(jì)。求：粒子能從，粒子的重力不計(jì)。求：粒子能從ab邊上射出磁場的邊上射出磁場的 v0大小范圍。大小范圍。 V0 O a b c d )30sin1 ( 2 0 1 r L 3 1 L r m qBL m qBr v 3 1 1 Lr 2 m qBL m qBr v 2 2 m qBL v m qBL 3 V 0 O ab c d 300 600 B v v O O B v v O O rr r r 2 2

16、1.1.圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面的半徑為圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面的半徑為R R的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng) 度為度為B B，現(xiàn)有一電量為，現(xiàn)有一電量為q q、質(zhì)量為、質(zhì)量為m m的正離子從的正離子從a a點(diǎn)沿圓形區(qū)域點(diǎn)沿圓形區(qū)域 的直徑射入，設(shè)正離子射出磁場區(qū)域的方向與入射方向的夾的直徑射入，設(shè)正離子射出磁場區(qū)域的方向與入射方向的夾 角為角為60600 0，求此離子在磁場區(qū)域內(nèi)飛行的時間及射出的位置。，求此離子在磁場區(qū)域內(nèi)飛行的時間及射出的位置。 B v v 600 600 P(x y)y x qB m qB m Tt 3 2 6 1 360 60 0 0 RRx 2 1 60cos 0

17、RRy 2 3 60sin 0 ) 2 3 , 2 1 (RRP O x y oO 2 2在圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場從磁場邊緣在圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場從磁場邊緣A A點(diǎn)點(diǎn) 沿半徑方向射人一束速率不同的質(zhì)子，對這些質(zhì)子在磁場中的沿半徑方向射人一束速率不同的質(zhì)子，對這些質(zhì)子在磁場中的 運(yùn)動情況的分析中，正確的是：運(yùn)動情況的分析中，正確的是： A.運(yùn)動時間越長的，在磁場中通過的距離越長運(yùn)動時間越長的，在磁場中通過的距離越長 B.運(yùn)動時間越短的，其速率越大運(yùn)動時間越短的，其速率越大 C.磁場中偏轉(zhuǎn)角越小的，運(yùn)動時間越短磁場中偏轉(zhuǎn)角越小的，運(yùn)動時間越短 D.所有質(zhì)子在磁場中的運(yùn)動時

18、間都相等所有質(zhì)子在磁場中的運(yùn)動時間都相等 B 0 v A O1 O2 O3 O4 k qB m T 2 v qB mv r Tt 2 3.3.在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系xOyxOy中，有一半徑為中，有一半徑為R R的圓形磁場區(qū)域，磁感強(qiáng)的圓形磁場區(qū)域，磁感強(qiáng) 度為度為B B，磁場方向垂直，磁場方向垂直xOyxOy平面指向紙內(nèi)，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為平面指向紙內(nèi)，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為 （R R，0 0）。如圖所示，有一個質(zhì)量為）。如圖所示，有一個質(zhì)量為m m、帶電量為、帶電量為q q的離子，的離子， 由靜止經(jīng)勻強(qiáng)電場加速后從點(diǎn)（由靜止經(jīng)勻強(qiáng)電場加速后從點(diǎn)（0 0，R/2R/2）沿）沿x x軸正方向射入磁

19、軸正方向射入磁 場，離子從射入到射出磁場通過了該磁場的最大距離，不計(jì)重場，離子從射入到射出磁場通過了該磁場的最大距離，不計(jì)重 力影響。求：力影響。求： . .離子在磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間。離子在磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間。. .加速電場加速電場 的加速電壓。的加速電壓。 O R/2 R B x y O2 O1 r r 600 qB m qB m Tt 3 2 6 1 360 60 0 0 Rr2 m qBR m qBr v 2 2 2 1 mvqU m RqB U 22 2 4 4、圓心為、圓心為O O、半徑為、半徑為r r的圓形區(qū)域中有一個磁感強(qiáng)度為的圓形區(qū)域中有一個磁感強(qiáng)度為B B、方向、方向 為垂直

20、于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，與區(qū)域邊緣的最短距離為為垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，與區(qū)域邊緣的最短距離為L L的的 O O處有一豎直放置的熒屏處有一豎直放置的熒屏MNMN，今有一質(zhì)量為，今有一質(zhì)量為m m的電子以速率的電子以速率v v 從左側(cè)沿方向垂直射入磁場，越出磁場后打在熒光屏上從左側(cè)沿方向垂直射入磁場，越出磁場后打在熒光屏上 之之P P點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)，如圖所示，求O OP P的長度和電子通過磁場所用的時間的長度和電子通過磁場所用的時間 M N L A P B v B M N L A P B v B 1 R R 2 mv eBr R r ) 2 tan( 22222 )(2 tan)( rBev

21、m eBrmvrL rLPO 22222 2 2 ) 2 (tan1 ) 2 tan(2 tan rBevm eBrmv ) 2 arctan( 22222 rBevm eBrmv ) 2 arctan( 22222 rBevm eBrmv eB m v R t 5 5一勻磁場一勻磁場, ,磁場方向垂直于磁場方向垂直于xyxy平面平面, ,在在xyxy平面上平面上, ,磁場分布在磁場分布在 以以O(shè) O為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi). .一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為q q的帶電的帶電 粒子粒子, ,由原點(diǎn)由原點(diǎn)O O開始運(yùn)動開始運(yùn)動, ,初速為初速為v,v,方向沿

22、方向沿x x正方向正方向. .后來后來, ,粒子經(jīng)粒子經(jīng) 過過y y軸上的軸上的P P點(diǎn)點(diǎn), ,此時速度方向與此時速度方向與y y軸的夾角為軸的夾角為30300 0,P,P到到O O的距離為的距離為 L,L,如圖所示如圖所示. .不計(jì)重力的影響不計(jì)重力的影響. .求磁場的磁感強(qiáng)度求磁場的磁感強(qiáng)度B B的大小和的大小和xyxy 平面上磁場區(qū)域的半徑平面上磁場區(qū)域的半徑R.R. r r A R r v mqvB 2 rL3 qL mv qr mv B 3 LrR 3 3 30cos2 0 5 5如圖所示，一個質(zhì)量為如圖所示，一個質(zhì)量為m m、電量為、電量為q q的正離子，在小孔的正離子，在小孔S S處處 正對著圓心正對著圓心O O以速度以速度v v射入半徑為射入半徑為R R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存 在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B B。要使。要使 帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A A點(diǎn)射出，求正離子在點(diǎn)射出，求正離子在 磁場中運(yùn)