D8_6空間直線

1、第六節(jié) 一、空間直線的方程一、空間直線的方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 空間直線及其方程 第八章 一、空間直線的方程一、空間直線的方程 x y z o 0 1111 DzCyBxA 0 2222 DzCyBxA 1 2 L 因此其一般式方程為 1 1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線， 注意：通過空間一直線 L 的平面有無窮多個，因此 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方程組稱為空間直線的一般式方程. 空間直線的一般式方程表示不唯一. ),( 0000 zyxM 2. 對稱式方程對稱式方程 故有 說明說明: 某些分母為零時, 其

2、分子也理解為零. m xx 0 0 0 yy xx 設(shè)直線上的動點為 則 ),(zyxM n yy 0 p zz 0 此式稱為直線的對稱式方程對稱式方程(也稱為點向式方程點向式方程) 直線方程為 s 已知直線上一點),( 0000 zyxM ),(zyxM 例如, 當(dāng),0, 0時pnm 和它的方向向量 , ),(pnms sMM/ 0 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 平行于已知直線的非零向量叫做該直線的方向向量. 3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程 由直線的對稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 得 t p zz n yy m xx 000 tmxx 0 tnyy 0 tpzz 0 機(jī)動 目錄 上頁

3、下頁 返回 結(jié)束 稱為直線的參數(shù)式方程. 設(shè) 例例1 1.用對稱式及參數(shù)式表示直線 解解: :先在直線上找一點. 0432 01 zyx zyx 63 2 zy zy 再求直線的方向向量 2,0zy 令 x = 1, 解方程組 ,得 交已知直線的兩平面的法向量為 是直線上一點 .)2,0, 1(故 .s , ) 1, 1, 1 ( 1 n)3, 1,2( 2 n 21 ns,ns 21 nns 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 應(yīng)有一個自由變 量 故所給直線的對稱式方程為 參數(shù)式方程為 tz ty tx 32 41 t 4 1x 1 y 3 2 z 解題思路解題思路: 先找直線上一點; 再找

4、直線的方向向量. )3, 1,4( 21 nns 312 111 kji 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 L 1 L 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足 21 , LL設(shè)直線 兩直線的方向向量的夾角(通常取銳角)叫做兩直線的 的方向向量分別為 212121 ppnnmm 2 1 2 1 2 1 pnm 2 2 2 2 2 2 pnm ),(, ),( 22221111 pnmspnms 21 21 cos ss ss 1 s 2 s 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 夾角. 特別有特別有: 21 ) 1(LL 21 /)2(L

5、L 0 212121 ppnnmm 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 21 ss 21 /ss 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. . 求以下兩直線的夾角 解解: 直線 直線 二直線夾角 的余弦為 1 13 : 141 xyz L ； 02 02 : 2 zx yx L cos 2 2 從而 4 的方向向量為 1 L 的方向向量為 2 L) 1,2,2( ) 1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 ) 1()2(2 ) 1,4, 1 ( 1 s 201 011 2 kji s 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角 線所夾銳角 稱

6、為直線與平面間的夾角; L 2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時, 設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為 則直線與平面夾角 滿足 . 2 222222 CBApnm pCnBmA 直線和它在平面上的投影直 ),(pnms ),(CBAn ),cos(sinns ns ns s n 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (,) 2 sn 特別有特別有: : L) 1( /)2(L0pCnBmA p C n B m A ns/ ns 解解: : 取已知平面的法向量 421 zyx 則直線的對稱式方程為 0432zyx 垂直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132 )

7、 1,3,2(n n 例例3. 求過點(1,2 , 4) 且與平面 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 空間直線方程空間直線方程 一般式 對稱式 參數(shù)式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA tpzz tnyy tmxx 0 0 0 p zz n yy m xx 000 )0( 222 pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx L ： 直線 0 212121 ppnnmm , 2 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx L ： 2 1 2 1 2 1 p p n n m

8、m 2. 線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系 直線 夾角公式: ),( 1111 pnms ),( 2222 pnms 0 21 ss 21 LL 21 / LL0 21 ss 21 21 cos ss ss 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 L 1 L , 0DzCyBxA C p B n A m 平面 : L L / 夾角公式： 0CpBnAm sin , p zz n yy m xx 3. 線與面間的關(guān)系線與面間的關(guān)系 直線 L : ),(CBAn ),(pnms 0 ns 0ns ns ns L 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 點 的距離為 DzCyBxA 000 222 CB

9、A 到平面 :A x+B y+C z+D = 0 ),( 0000 zyxM d 0 M 1 M n n nMM d 01 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 相關(guān)的幾個問題相關(guān)的幾個問題 kji ),( 0000 zyxM到直線 的距離 p zz n yy m xx L 111 : 為 (2) 點 222 1 pnm 010101 zzyyxx pnm d s sMM d 10 ),(pnms ),( 1111 zyxM ),( 0000 zyxM L 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 01 0101 1 sinsin M Ms dM MM Ms ss (3) 過直線 0 0 : 2

10、222 1111 DzCyBxA DzCyBxA L 的平面束 )( 1111 DzCyBxA 0)( 2222 DzCyBxA 方程 0, 21 不全為 1 2 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 雜例雜例 例例1. 求與兩平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交線 提示提示: 所求直線的方向向量可取為 利用點向式可得方程 4 3x ) 1,3,4( 401 512 3 2 y 1 5 z 平行, 且 過點 (3 , 2 , 5) 的直線方程. 21 nns kji 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 4 1 3 1 2 zyx 例例2. 求直線與平面 062zyx

11、的交點 . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程 代入平面方程得 1t 從而確定交點為（1，2，2）. tz ty tx 24 3 2 t 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求過點( 2 , 1 , 3 ) 且與直線 12 1 3 1 zyx 垂直相交的直線方程. 提示提示: 先求二直線交點 P. 0)3() 1(2)2(3zyx 化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點 ),( 7 3 7 13 7 2 P 最后利用兩點式得所求直線方程 4 3 1 1 2 2 zyx 的平面的法向量為故其方程為 ),(312 ),(011 ),(123 過已知點且垂直于已知直線 , )

12、1,2,3( P 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求直線 01 01 zyx zyx 在平面 上的投影直線方程. 提示提示：過已知直線的平面束方程 從中選擇 01)1(1)1 (1)1 ( 得 0 01 zyx zy這是投影平面 0)1()1()1 ()1 (zyx 0) 1(1zyxzyx 即 0zyx 使其與已知平面垂直： 從而得投影直線方程 , 1 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)一平面平行于已知直線 05 02 zyx zx 且垂直于已知平面,0347zyx求該平面法線的 的方向余弦. 提示提示: 已知平面的法向量 求出已知直線的方向向量 取所求平面的法向

13、量 , 51 3 cos 50 4 cos, 50 5 cos 1 nsn )4, 1,7( 1 n )2,1,1 (s 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 417 211 kji )4,5,3(2 所求為 例例6. 求過直線L: 04 05 zx zyx zyx84 且與平面 4 夾成角的平面方程. 提示提示: 過直線 L 的平面束方程 04)1 (5)1 (zyx 其法向量為 已知平面的法向量為 選擇使 4 3 . 012720zyx從而得所求平面方程 n 1 n 4 012 1 1 4 cos nn nn .1,5,1 1 n L 8,4, 1n 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思路

14、: 先求交點 例例7. 求過點) 1 , 1 , 1 ( 0 M, 1 2 : 1 xz xy L 且與兩直線 12 43 : 2 xz xy L都相交的直線 L. 提示提示: 21 ,LL將的方程化為參數(shù)方程 12 43:, 1 2: 21 tz ty tx L tz ty tx L L 1 L 2 L 0 M 1 M 2 M 設(shè) L 與它們的交點分別為 . ) 12,43,( 2222 tttM 再寫直線方程. ;, 21 MM ),1,2,( 1111 tttM 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2,0 21 tt )3,2,2(, ) 1,0,0( 21 MM 2 1 1 1 1 1

15、 : zyx L 210 ,MMM 1) 12( 1) 1( 1)43( 12 1 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t 三點共線 2010 /MMMM L 1 L 2 L 0 M 1 M 2 M 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P49 1, 2, 3, 4, 5，9, 10, 12 總習(xí)題八 習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1 ,2, 1(A , 1 1 23 1 : 1 zyx L i L設(shè)直線 解：解： , 2 上在因原點LO 12 : 2 z y x L相交,求此直線方程 . 的方向向量為 過 A 點及 的平 2 L 面的法向量為則所求直線的方向向量 方法方法1 利用叉積. ),2, 1( isi , n, 1 nss 所以 OAsn 2 121 112 kji kji333 一直線過點 且垂直于直線 又和直線 備用題備用題 n O A 2 L 2 s 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)所求直線與的交點為 5 1 2 2 3 1 zyx 12 0 0 0 z y x 0000 ,2yzyx 待求直線的方向向量 方法方法2 利用所求直線與L2 的交點 . 即 故所求直線方程為 2 L),( 000 zyxB 則有 2 L ) 1 , 2 , 1 (A nss 1 333 123 kji