常微分方程計(jì)算題及問(wèn)題詳解

1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、計(jì) 算 題（每題10 分）V2求解微分方程y 2xy二2xe 。試用逐次逼近法求方程dy =x y2通過(guò)點(diǎn)（0,0）的第三次近似解.dx求解方程y y-2y的通解dx=y,dt的通解dyy = 2x +yd求解微分方程 y 2 xy = 4xdy2試用逐次逼近法求方程X - y2通過(guò)點(diǎn)（1,0）的第二次近似解。dx求解方程y y-2y = 2e的通解dx_ x y求方程組dt的通解矽 + 4y d求解微分方程xy-、y=x試用逐次逼近法求方程史 =x - y2通過(guò)（o,o）的第三次近似解.dx求解方程y亠y -2 y

2、 = 4e 的通解怦=2x+3y求方程組 dt的通解徑 “x+2ydt y求解微分方程 x（y-y）=試用逐次逼近法求方程 dydx2 2=y x通過(guò)點(diǎn)（o,o）的第三次逼近解.求解方程y_ y-2y = -2e的通解求解方程y y 一 2y = 3e 的通解y-2X+y-ty-td - d d - d5 4- -dx-dtdx-dt17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、解微分方程 x(y2 - 1)dx y(x2 -1)dy=0試用逐次逼近法求方程魚(yú)二x-y2滿(mǎn)足初始條件y(0) = 0的近似解： dxo(x), i(x), 2(x), 3(x).一dy 2

3、2利用逐次逼近法，求方程y x適合初值條件y(0) = 1的近似解：dx0(x), i(x), 2(x)。證明解的存在唯一性定理中的第n次近似解n (x)與精確解 (x)有如下誤差估計(jì)式:I n(x)-;：(x)|MLn(n 1)!n卅XX。求初值問(wèn)題dy 22x- y2, y(-1)=0 在區(qū)域 R:|xT#1,|yp1的解的定義 dx區(qū)間，并求第二次近似解，給出在存在區(qū)間上解的誤差估計(jì)。yxcos dy =0xdydxy+2ix+y1丿dydxy _1 =01 -2x2 xy In ydx (x Tn y)dy 二 0 y- y2yln y + y xdy _ y2 _xdx 2xy29、

4、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、2 22xydx (xy )dy 二 0y3dx (y In x)dy 二 0 xxdx ydy ydx - xdy22 0i x2 y2x y(1 +ey)dx +ey U x dy = 0 I y丿dy x _ y 1dx 一 x y2 3 (x4 y4)dx -xy3dy 二 02 2(2xy -y)dx y y x dy =0y3y 1=0y，_ y y_ y =0y _2y_3y 10y =0y y = 0y-2y-y 2y =0y-y = 0y _4y 8y_8y 3y=0y _4y 6

5、y_4y y = 0y y2y 3y y =4 _ex、 、 、2 、 , , 1解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為2 3九淚1 = 0 ,特征根為 1-1, 2二,2Jx齊次方程的通解為y二Ge - C2e 2由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如屮二A Bex1的特解。將 *二A Bex代入已知方程，比較系數(shù)得A =4, B二-一6即 =4-6ex，因而，所求通解為y =C1ex C2e4 一 1ex646、y-2y 4y = (x 2)e3x解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為丸22九+ 4= 0特征根為 打,2=1岳,齊次方程的通解為y = eX(C1 cos, 3x C2 sin、., 3x)由

6、于3不是特征根，故已知方程有形如y1 -e3x(Ax B)110的特解。將 =ex(Ax B)代入已知方程，比較系數(shù)得A , B = 749即 也=孑1 x丄0，因此，已知方程的通解為174 9y = ex(G cos i 3x C2 sin、. 3x) e3x i1 x 10 。 749 丿47、x 6x 13x -e (t2 -5t 2)48、x - X 二 2t49、s 2as a s =e50、x _4x 4x = et e2t 151、y 4y 1 =052、y 3y 3y y 二 ejx-5)53、y 3y二 2sin x cosx54、x 2kx 2k2x 二 5k2 sin k

7、t (k = 0)55、y y 二sin xcosx56、y_2y 2y =ecosx解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九2 -2九+ 2= 0特征根為 殲2 =1i，齊次方程的通解為y二ex G cosx C2sinx由于-1 _i不是特征根，故已知方程有形如y1 - e( Acosx Bsi nx )11的特解。將 % =ef(Acosx + Bsinx)代入已知方程，得 A=-,B = 88因此，所求通解為57、58、59、60、61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、71、72、73、74、75、X=e Ci cosx C2Sin xe(cosx -sin x)y“_2y

8、 10y =ecos2xx x = sin at, a 022y 5y =cos xy 4y = xsin 2xy 2y =3 4sin 2xy_2y 2y =4excosxy 9y =18cos3x -30sin3 xx x = sin t - cos21x - 2x 2x =tet cost2 2求微分方程yy2 =0的通解。1 -y求y y xexcosx的通解。 x求微分方程y_ y . y2 =0的通解。x x求微分方程2xyy x( y) -對(duì)=0 的通解。求微分方程y 3y 2y sin x 的通解。求微分方程y_4y4y 二 Ae2x的通解。x2x求方程y - 4y 5y =e

9、 cscx的通解。 求微分方程x2y 2xy-2y =0的通解。求微分方程x2y 2xy-2y =x2 2的通解。利用代換y=將方程 ycosx-2ysinx SycosxreX化簡(jiǎn)，并求出原方程的 cosx通解?？?2x -4y 4e2t dt76、求下列線性微分方程組dt警=2x2y dt77、解下列微分方程組dx2 yi _ 2 y2dx(1)(2)的通解。dy 5y 4z78、dx笑=4y 5z dxdx3x 4y79、dtdV =5x 2ydt80、2X=4y -x3X -4V =2x -y計(jì)算題答案2c1(x)=2x 因此有 c(x)=x +c(31)所以原方程的通解為y=(x 2

10、+c)e-x2(11)2、解：按初始條件取y(x)三 o2x22,w 2xy2(x)二y。o x y1 (x)dx - 酉258w2x x xy3(x)二 yon x y2 (x)dx =L0 2 20 160W2%(x) =yJx yo (x)dx 二X511x44003、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為 yy-2y =02特征方程為 + -2=0解得，=1,-2 對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為Y =qex x2ex( 21)設(shè)方程的一個(gè)特征解為=Ae-x則 y11 =-Ae-x ,y21 =Ae-x代入解得A=-1/2從而yr = _-x(21)故方程的通解為y = Y +=x 丄_2x1_x=c1e +qe

11、一e24、解：它的系數(shù)矩陣是0們A =2 1 一(21)- 1特征方程|A-，E|021 丸或?yàn)?-10 +9=0( 21)特征根，1=1, 2=9原方程對(duì)應(yīng)于1 =1的一個(gè)特解為丫1=兇=-( 21)9t9t對(duì)應(yīng)于2=9的一個(gè)特解為 y1=e ,X1=e( 21)-t 丄2tx = c1e+ c2e二原方程組的通解為1 .2 2t( 21)y = -cie +2c2e5、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程y1+2xy=0的通解為y=ce-x (41)用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為y=c(x)e-x2(31)2 2 代入方程 y1 +2xy=4x 得 c1 (x)=4ex x 因此有 c(x)=2ex

12、+c 2 2所以原方程的通解為 y=(2ex +c)e-x (11)2xx則 y/x) = o xdx =6、解：取 y(x) =0, %(x) = y(x)x-y n(x)dxxFx2 1 門(mén)x53 x2 xx11y2(x)= lxdx + + / * 0L22丿2062430532因此，第二次近似解為V2(x)=xx + x +x112062430211 17、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為y y -20特征方程為2+，-2=0，得，=1,-2對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為Y =詔 c2e2x（ 21）設(shè)方程的一個(gè)特征解為 =Ae-x1-x 11-x則 y1 二-Ae , % = Ae代入解得A =-1，而y

13、-e-x （21）故方程的通解為 y = Y y Cie2 2 Qe-2x - e-x（ 21）8解:由方程解出2曰X 1xy,得 yp -2x 2p代入 dx =丄dy得dx = 些即 p = exC21故通解為y (x -1)-2 2c9、解:方程化為y-2y=2x3x2對(duì)應(yīng)的齊次方程 y- y=0的通解為x用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為 代入方程得2y=cx(41)2y=c(x)x2c1(x)=2x 因此有 c(x)=x +c(31)X20X -y n4(x)dx所以原方程的通解為y=(x 2+c)x2(11)10、解：取 y(x) =0, yn(x) =y(x)xx2y2（x）二

14、xdx =02因此，第三次近似解為5 x3 x2 xx11y 2(x)-+ +206243011解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為y11+y1-2y=0特征方程為兒+.，”-2=0解得.,=1,-2對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為Y=。冶+。20“（ 21）設(shè)方程的一個(gè)特征解為 y 1=Ae-x則 yi 1二-Ae-x ,yi 11 二Ae-x代入解得A=-2從而 y1=-2e-（ 21）故方程的通解為 y=Y+y 1=c1e214、解：取 y(x) =0,yn(x)二 y(x)0x- y n/x)dx+c2e2x-2e_x（ 21）0 1112、 解：它的系數(shù)矩陣是A= I也1 一亠 1特征方程|A hE|=021-

15、入或?yàn)?2-4 -5=0（ 21）特征根1=-1, 2=5原方程對(duì)應(yīng)于 1 =5的一個(gè)特解為y1=e5t,x1 =e5t（ 21）對(duì)應(yīng)于2=-1的一個(gè)特解為 y2= -e-t,x2=e-t（ 21）-t2tx = Gec2e.原方程組的通解為2t（ 21）y = _Ge +2qe1 x13、 解：方程化為y-yex對(duì)應(yīng)的齊次方程 y1 _ y = 0的通解為y = cex（41）用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為y二c（x）ex1代入方程得c1（x） 因此有c（x） = In |xc（31）x則 y1(x) = .x2dx3x_3所以原方程的通解為y二ex（ln |xc）（11）Xy2(x)

16、 = 0因此，第三次近似解為73X X+ 3y3（x）二15112x=+59535 2079 6315、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程特征方程為 對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為2+，-2=0 解得=1,-2丫二 c1ex c2e-2x( 21)x3% = Ae代入解得A =-2設(shè)方程的一個(gè)特征解為-X(21)從而3（y12故方程的通解為 y 二丫 y Cjex ge-（3/2）e-X216、 解：對(duì)應(yīng)的齊次方程特征方程為 + -2=0解得=1,-2對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為x -2xY=c 1e +C2e（ 21）設(shè)方程的一個(gè)特征解為y 1 =Ae-x代入解得A=-3/2從而 y1=-（3/2）e-x （ 21）故方程的

17、通解為 y=Y+y 1 =C1ex+C2e-2x-（3/2）e-x（ 21）17、解：化簡(jiǎn)有x2x -3y它的系數(shù)矩陣是A =O 2-y = x-2y特征方程|A- E| =或?yàn)椴?仁0（ 21）特征根為=原方程對(duì)應(yīng)于1 =-1的一個(gè)特解為y1=e-t,X1=e-t（ 21）對(duì)應(yīng)于2=1的一個(gè)特解為y2=et,X2=3et（ 21）42tx = c1ec2e原方程組的通解為12 2t（ 21）ly =Ge +2c2e18、解：因 M(x,y)=3x 2+6xy2,N(x,y)=6x 2y3+4y3.:M12 xy =Jr.y:x所以為全微分方程將其分組(3x2dx 4y3dy) (6xy2dx

18、 6yx2dy) = 0.原方程可寫(xiě)成dx3 y4 3x2y2 =019、解：0(x)二 y(o)=ox3y43x.方程的通解為i(x) =0 o (s -0)ds -20、x_申2(x) =0 + j八-j :0 L12丿-s -1 -.I2x3(x) = o o解：零次近似解為一次近似解為ssds1 215=一 Xx2 2020o(x)二 y (0今 1xds Jx2-lx52 20丄X816o111x44oo11(x) =1 亠 I (1 -s2)ds =1 x x3二次近似解為2(x)=1r：f、1 Ts3s2 dsx x2 十425x15-x763證：由：(x) =yo xof(s,

19、 (s)ds及迭代列o(x)二 y(0),n =1,2,|xoI : (x )一 k x|X +xxn(x)二 y。f(s, nj(s)dsxoI - (x )- k 1 x(由歸納法知，對(duì)任意H ； f Is ( s, ,MLk -(k 1)!：MLk(k 2)!n次近似解，)If Is xIk41dsxok 2|X -xo I估計(jì)式(1)成立。22、解：1)由存在唯一性定理知，解的定義區(qū)間為b22),M max | x - y(x,y)打31| x 1|_4y(x)三 y(-1) =0其中 | x 1| 乞 h0 = min (a,M1h。，即得解的定義區(qū)間為42)求初值問(wèn)題的二次近似解y

20、i(x)=則二次近似解為x_八222y2(x) = J_Js - %(s)ds=匚 s|=4。這里 a = 1,x 2 2丿s - yo (s)ds =3x 1+ -3s3 2 = 0 ,1, 2,3 =1,3,4 =0 (一重)，故所求通解為y 二 GC2XC4ex.42、解：特征方程為 =,0因式分解為（1）2（-2 *3） = 0特征根為,2 = -1 (二重)，g =1 士血，故所求通解為y = ex (G C2x) ex (C3 cos, 2x C4 sin、一 2x).43、 解：特征方程為4 -43 62 -4 T =0 ,即 C -1) = 0特征根為1 (四重)，故所求通解為

21、x23y =e (G C2x C3xC4x ).244、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九+1=0,特征根為 人,2=i，齊次方程的通解為y =Gcosx C2sinx由于-1不是特征根，故已知方程有形如y (Ax B)e11的特解。將y(Ax B)e代入已知方程，比較系數(shù)得A , B=-221即y1( 1)ex，因此，已知方程的通解為21 一y=Gcosx C2Si nx(x 1)e 。2145、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為2、 - 31 =0，特征根為 = -121 . x 齊次方程的通解為y =Ge C2e 2由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如比二A Bex1的特解。將y1 = A

22、 Bex代入已知方程，比較系數(shù)得A =4, B -6即 =4 - 6ex，因而，所求通解為2x1y = C1e 以 C2e 24 - ex。646、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為丸$ -2九+ 4 0特征根為 人,2 =1 J3i ，齊次方程的通解為y = ex(C1 cos. 3x C2 sin、3x)由于3不是特征根，故已知方程有形如y1 =e3x(Ax B)110的特解。將y1 =e3x(Ax B)代入已知方程，比較系數(shù)得A , B 749即 = gx 1 X丄0，因此，已知方程的通解為燈4 9丿y 二 eX(GcosC2sin1049247、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為人+6九+ 10

23、特征根為y =et (Gcos2t C2si n2t)由于1不是特征根，故已知方程有形如x1 -(At2 Bt - C)etX1 二At2(2A B)t (B C) etX 二At2(4A B)t (2A 2B C)e?A，20齊次方程的通解為的特解。求出(1)、(2)、(3)代入已知方程，比較系數(shù)得Xi丄t2 202 空 t 211 00te,因此，已知方程的通解為1 00048、解:B 二100211(1)(2)(3)292 1 1,C =一1000eJ3t(C1 cos2t C2Sin 2t) et t2 29tV201001000 丿對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為丸-1 = 0，特征根為妬=

24、1,入2,3故通解為t.3x =C1e C2 cos t C3sinI2由于1是一重特征根，所以已知非齊次方程有形如的特解。將xAtet代入已知方程，得為=Atd1A =-31x1te,因此，所求通解為3( 亦占)丄x=Ge + C2cos t+C3sint b22 2t 1 t-1tet。349、解:-a (二重)。對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為丸2 + 2a扎+ a2 = 0，特征根為 人,2s = (G C2 t)e 二a e的特解。若a -1，此時(shí)齊次方程的通解為過(guò) 由于1不是特征根，故已知方程有形如將q =Ad代入已知方程，得所以，a = -1時(shí)已知方程的通解為s = (GC2t)et(a

25、 1)2et1若a - 一1，此時(shí)齊次方程的通解為過(guò)(C1 C2 t)d由于1是二重特征根，故已知非齊次方程有形如s2= A2 te 的特解。11將S2 - At e代入已知方程，得A ，即s?t e22所以，a二-1時(shí)已知方程的通解為(C1 C2t 1t2)et2250、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九4扎+4= 0特征根為，=2 (二重)，故齊次方程的通解為x = (G C2t)e2t由于2是二重特征根，1和o不是特征根，故已知非齊次方程有形如x A Bet Ct2e2t1的特解。將x A Bet Ct2e2t代入已知方程，得A , B = 1, C二141t 12 2t即 X1e t e

26、 ，因此，所求通解為4 2(C1 C2t)e2t 1 et 1t2et。4 2251、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 4 = 0，特征根為 、=0,匕=-4，齊次方程的通解為y =G C2e*x因?yàn)?是一重特征根，故已知非齊次方程有形如yA= Ax1的特解。將y1 = Ax代入已知方程，得 A二-41所以，所求通解為y C2ex -。4(三重)，52、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為3 3 20，特征根為 - -1故通解為 y =(G C2x C3x2)e由于-1是三重特征根，所以已知非齊次方程有形如 = x(A Bx)e5 1的特解。將y1 =x3(A Bx)e心代入已知方程，得A , B =

27、-6 245 1即 =X3(x)e，因此，所求通解為6 242 x 13vy = (G C2x C3x )ex (x - 20)e 。2453、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為3 = 0，特征根為 1 =0, 2 = -3，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y =G C2ex由于二i不是特征根，所以已知方程有形如 = Acosx Bsinx7 1的特解。將 葉=Acosx Bsinx代入已知方程，得A, B = 1010因此，所求通解為X 71y =C. C2ecosxsin x 。10102 254、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為丸57、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九2扎+ 1 X 0特征根為 入1,2

28、=13i，齊次方程的通解為y = ex C1 cos3x C2sin3x由于_2i不是特征根，所以已知非齊次方程有形如y (Ax B)cos2x (Cx D)sin2 x+2kk+2k2=0，特征根為 打,2 = -k士ki，齊次方程的通解為x =e C1 coskt - C2sinkt由于_k i不是特征根，所以已知方程有形如x Acoskt Bsinkt的特解。將x Acoskt B sin kt代入已知方程，得 A = -2, B =1 因此，所求通解為_(kāi)ktx = e C1 coskt C2 sin kt ：;-2cos kt sin kt。55、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九2十1

29、= 0 ,特征根為 人,2 =i，1y =CjCOSx C2sinx 因?yàn)?si nx coxs sixn 22% = Acos2x Bsi n2x1A = 0, B =6齊次方程的通解為由于_2i不是特征根，故已知方程有形如的特解。將 =Acos2x Bsin2x代入已知方程，得因此，所求通解為1y = G cosx C2sin x sin 2x。6256、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為丸-2丸+2= Q特征根為 ,2=1i，齊次方程的通解為y = ex C| cosx C2sinx由于-1 _i不是特征根，故已知方程有形如 = e( Acosx Bsi nx )11的特解。將 % =e*(A

30、cosx + Bsinx)代入已知方程，得A=,B = 88因此，所求通解為X17y =ex C1 cosx C2sinxe*(cosx -sinx)。8的特解。將上式代入已知方程，得因此，所求通解為A亠B，C26338131169y =ex G cos3x C2Sin3x 2空V26388丿c1cos2 x x 13169 丿sin 2x。58、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九59、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為2九川，5，= Q特征根為 =0,，2 =+1=0，特征根為 打,2=i，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為x = G cost C2sintI) 若a =1，由于_i是一重特征根，故已知方程有形

31、如% =t(Acost + Bsi nt)1的特解。將 =t(Acost - Bsint)代入已知方程，得A , B = 021所以，a =1時(shí)所求通解為x =Gcost C2sinttcost o2II) 若a=1，此時(shí)已知方程有形如x2 =C cosat - D sin at1的特解。將x2二Ccosat - Dsinat代入已知方程，得C = 0, D21 - a1所以，a =1時(shí)所求通解為x=Gcost C2si nt si nat齊次方程的通解為而0是一重特征根,5xy 二 G C2e 2，因?yàn)?1 c o sx2c o sx =2_2i不是特征根，故已知方程有形如1 -a% = A

32、x B cos2x Csin2x的特解。將上式代入已知方程，得因此，所求通解為1041, C5164丄弓 11丄5yC2e 2 x - 一 cos2x sin 2x。104116460、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九2 + 4 =0，特征根為 人,2 =2i ,齊次方程的通解為y =Gcos2x C2 sin2x由于_2i是一重特征根，故已知方程有形如2 2= (Ax Bx)cos2x (CxDx)sin2 x11的特解。將上式代入已知方程，得A=.一， B=0, C =0, D 8 16因此，所求通解為1 2 1y =Ccos2x C2 sin2x x cos2xxsin 2x。8 16.2

33、 . .61、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為2 = 0，特征根為 -1 - -2,，2 = 0，齊次方程的通解為y C2由于0是一重特征根，_2i不是特征根，所以已知方程有形如% = Ax Bcos2x Csin2 x的特解。將上式代入已知方程，得因此，所求通解為A =3, B = -1, C =2 2y 二 Ge C23 1x (cos2x sin 2x)。2 262、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九22九+2=0特征根為 人,2=1i，齊次方程的通解為y = (G cosx C2sin x)ex由于1 _i是一重特征根，故已知方程有形如= xex(Acosx Bsinx)的特解。將y = xe

34、x(Acosx B sin x)上式代入已知方程，得A = 0, B = 2因此，所求通解為y = (C1 cosx C2sinx)ee 2xex sinx。63、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九2 +9 = 0 ,特征根為 人,2 =3i，齊次方程的通解為y =Gcos3x C2 sin3x因?yàn)開(kāi)3i是一重特征根，所以已知方程有形如 力=x(Acos3x Bsi n3x)的特解。將y = x(Acos3x Bsin3x)上式代入已知方程，得A = 5, B = 3因此，所求通解為y = G cos3x C2sin3x 5xcos3x 3xsin3x。264、 解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九十

35、1=0，特征根為 人,2=：，齊次方程的通解為x二G cost C2 sin t因?yàn)?i是一重特征根，而 -2i不是特征根，故已知方程有形如% =t(Acost + Bsi nt) +Ccos2t + Dsi n2t131的特解。將上式代入已知方程，得A,B=0, C ,D=023因此，所求通解為11x=Gcost C2Sinttcost sint。一365、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為九22九+2=Q特征根為人,2=1i ,齊次方程的通解為x二d(G cost - C2sint)因?yàn)? _i 一重特征根，故已知方程有形如2t2t% = (At Bt C)e cost 二(Dt Et F)e

36、sint11的特解。將上式代入已知方程，得A=Q, B ,C=Q, D ,E=Q, F=Q4 4因此，所求通解為t1tx=e(Gcost C2sint)te (cost tsint)。466、解:設(shè)y p (y ) y分解得p 二：Q和血dydp2由+p -Qdy1 -y+1積分之得p 1 -yII空=Z2y得dpp dy2 不p原方程化為 p些 2 p2dy 1 -y得解y二cdpdxp =c(1 - y)2dy2 = cdx (y -1$qxc2故方程的全部解為y+1c2xc2y = c.67、解：令y = p, y = p原方程化為1xp p 二 xe cosxx1dx.xp =exxe

37、 cosx eJdx x=x G +excosxdx二 Gx xex(sin x cosx)2dydx積分得到二Gx 1 xex( si x cos ) 22y二尹1 xexcosx 1ex(cosx -sinx)c2.2 L268、解：令y二ux貝U y u xu y=2uxu代入原方程得:2u xu-U -u U =Qx x化簡(jiǎn)得XU - -u解得 u =9X 故通解為y = (cjn x c2)x.69、解：（解法一）將原方程重新改寫(xiě)為由于（y y） = y y 、 令 u=yyxyy (y)2-yy、o-J.方程化為x=udx分離變量可得 u=cx即 yy=cx或者 ydy = qxdx兩邊積分 y2 = x2 c2.（解法二）由于方程兩端關(guān)于 y, y, y是二次齊次函數(shù)，故可作變換y 二 eu,y =eu u, y =eu(u u2)代入方程后得x eu euu u2 xeuu2 _eu eu u = 0消去e2u, xu 2x(u)2 u=0不顯含 u，令 u=p(x) u p (x )得到伯努利方程至-丄卩二-鳥(niǎo)卩2令V二p，v二_pNpdx