44用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式

1、 溫故知新：溫故知新： 1、在函數(shù)、在函數(shù)y=2x中，函數(shù)中，函數(shù)y隨自變量隨自變量x的增大的增大 而而_。 2、已知一次函數(shù)、已知一次函數(shù)y=kx+5過點(diǎn)過點(diǎn)P（1，2），則），則k=_。 3、已知一次函數(shù)、已知一次函數(shù)y=2x+4的圖像經(jīng)過點(diǎn)（的圖像經(jīng)過點(diǎn)（m，8），則），則m _。 4、一次函數(shù)、一次函數(shù)y=2x+1的圖象經(jīng)過第的圖象經(jīng)過第 象限，象限，y隨著隨著 x的增大而的增大而 ; y=2x 1圖象經(jīng)過第圖象經(jīng)過第 象限，象限，y 隨著隨著x的增大而的增大而。 5、若一次函數(shù)、若一次函數(shù)y=x+b的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn)A（1，-1），則），則 b=_ 增大增大 3 2 一、二、四一、

2、二、四 減小減小 一、三、四一、三、四 增大增大 -2 在y=kx+b（k0）中有兩個系數(shù)k、b,要確定一條 直線，需要兩個點(diǎn)，那么已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，能否求 出一次函數(shù)表達(dá)式呢？ 如圖如圖4-14，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過P（0，- -1）， Q（1，1）兩點(diǎn)兩點(diǎn). 怎樣確定這個一次函數(shù)的表達(dá)式呢？怎樣確定這個一次函數(shù)的表達(dá)式呢？ 探究探究 圖圖4-14 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的一般形式是因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的一般形式是y=kx+b（k，b為常數(shù)，為常數(shù)， k0），要求出一次函數(shù)的表達(dá)式，關(guān)鍵是要確定要求出一次函數(shù)的表達(dá)式，關(guān)鍵是要確定k和和b 的值的值（即待定的系數(shù)即待定的系數(shù)）. 因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

3、P（0，- -1） 和和Q（1，1）都在該函數(shù)圖象上，都在該函數(shù)圖象上， 因因 此它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足此它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足y=kx+b ， 將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入該式中，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入該式中， 得到一個關(guān)于得到一個關(guān)于k，b的二元一次方程組：的二元一次方程組： k0 + b = - -1， k + b = 1. 解得解得 k=2， b=- -1. 所以，這個一次函數(shù)的表達(dá)式為所以，這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y = 2x- - 1. 像這樣，通過像這樣，通過先設(shè)定先設(shè)定函數(shù)函數(shù)表達(dá)式表達(dá)式（確定函數(shù)模型），（確定函數(shù)模型）， 再再根據(jù)條件根據(jù)條件確定確定表達(dá)式中的表達(dá)式中的未知系數(shù)未知系數(shù)，從而，從而求出求出

4、函數(shù)函數(shù) 的的表達(dá)式表達(dá)式的方法，稱為的方法，稱為待定系數(shù)法待定系數(shù)法. 解：設(shè)這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b。因?yàn)?y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,5)與(-4,-9)， 所以 1 2 b k 例例1. 1. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3(3，5)5) 與與(-4,-9),(-4,-9),求這個一次函數(shù)的表達(dá)式。求這個一次函數(shù)的表達(dá)式。 解得 這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-1. 先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式, 再根據(jù)條件確定解 析式中未知數(shù),從而 具體寫出這個式子 的方法,叫做待定系 數(shù)法. 94 53 bk bk 應(yīng)應(yīng) 用用 舉舉 例例 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般

5、步驟 函數(shù)解 析 y=kx+b 滿足條 件的兩 定點(diǎn) (x1,y1)與 (x2,y2) 一次 函數(shù) 的圖 象 選取 解出 畫出 選取 歸歸 納納 1、設(shè)設(shè)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b 2、代代將點(diǎn)的坐標(biāo)代入將點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b中，中， 列出關(guān)于列出關(guān)于k、b的方程（或方程組）的方程（或方程組） 3、求求解方程（或方程組），求解方程（或方程組），求k、b 4、寫寫把求出的把求出的k、b的值代回到表達(dá)的值代回到表達(dá) 式中即可式中即可. 練習(xí)：練習(xí)：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,5)(3,5)與與 （4 4，9 9）. .求這個一次函數(shù)的表達(dá)式求這個一次函數(shù)

6、的表達(dá)式 解：設(shè)這個一次函數(shù)的表達(dá)式為解：設(shè)這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b. y=kx+b的圖象過點(diǎn)（的圖象過點(diǎn)（3，5）與（）與（-4，-9）. 3k+b=5 -4k+b=-9 解得解得 k=2 b=-1 這個一次函數(shù)的表達(dá)式為這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-1 變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y=kx+by=kx+b，當(dāng)，當(dāng)x=1x=1 時，時，y=1y=1；當(dāng)；當(dāng)x=2x=2時，時，y=3.y=3.求這個一次函數(shù)求這個一次函數(shù) 的表達(dá)式的表達(dá)式 解：解： k+b=1 2k+b=3 解得解得 k=2 b=-1 這個一次函數(shù)的表達(dá)式為這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-1 當(dāng)當(dāng)x

7、=1x=1時，時，y=1y=1；當(dāng)；當(dāng)x=2x=2時，時，y=3.y=3. 例例2.已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖的圖象如圖 所示，求函數(shù)表達(dá)式所示，求函數(shù)表達(dá)式 , 3-0 , 0 b bk 解得解得： . 3 , 3 b k 這個函數(shù)的表達(dá)式為這個函數(shù)的表達(dá)式為y=-3x-3. 解：由圖象可知，圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）和（0，-3） 兩點(diǎn)，代入到y(tǒng)=kx+b中，得 拓 展 舉 例 分析 從圖象上可以看出，它與x軸交于點(diǎn)（-1，0）， 與y軸交于點(diǎn)（0，-3），代入關(guān)系式中，求出k、b即可 練習(xí) ：求下圖中直線的函數(shù)表達(dá)式 3 1 o y=kx+b的圖象過點(diǎn)（的圖象過點(diǎn)（0，3

8、）與（）與（1，0）. b=3 k+b=0 解得解得 k=-3 b=3 這個一次函數(shù)的表達(dá)式為這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-3x+3 y x 解：解：設(shè)這個一設(shè)這個一 次函數(shù)的表達(dá)式為次函數(shù)的表達(dá)式為 y=kx+b. 練習(xí)：小明將練習(xí)：小明將父母給的零用錢按每月相等的數(shù)額父母給的零用錢按每月相等的數(shù)額 存放在儲蓄盒內(nèi)，準(zhǔn)備捐給希望工程，盒內(nèi)錢數(shù)存放在儲蓄盒內(nèi)，準(zhǔn)備捐給希望工程，盒內(nèi)錢數(shù) y(元元)與存錢月數(shù)與存錢月數(shù)x(月月)之間的關(guān)系如圖所示，之間的關(guān)系如圖所示， 根據(jù)下圖回答下列問題：根據(jù)下圖回答下列問題： (1)求出求出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。的函數(shù)表達(dá)式。 (2)根據(jù)關(guān)系式計算，小明根

9、據(jù)關(guān)系式計算，小明 經(jīng)過幾個月才能存夠經(jīng)過幾個月才能存夠200元？元？ 例3.判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C （4，2）是否在同一條直線上 解得： .2 , 1 b k 過A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2 當(dāng)x=4時，y=4-2=2 點(diǎn)C（4，2）在直線y=x-2上 三點(diǎn)A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上 , 20 , 13 b bk 解：設(shè)過A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b 由題意可知， 分析分析 由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過這兩由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過這兩 點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立

10、，點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立， 說明在此直線上；若不成立，說明不在此直線上說明在此直線上；若不成立，說明不在此直線上 變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：小明根據(jù)某個一次函數(shù)關(guān)系式小明根據(jù)某個一次函數(shù)關(guān)系式 填寫了下表填寫了下表: x-101 y24 其中有一格不慎被墨汁遮住了其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，該想想看，該 空格里原來填的數(shù)是多少？解釋你的理由?？崭窭镌瓉硖畹臄?shù)是多少？解釋你的理由。 b=2 k+b=4 y=2x+2x=-1時時y=0 當(dāng)當(dāng)x=x=0 0時，時，y=y=1 1，當(dāng)，當(dāng)x=x=1 1時，時，y=y=0 0. . k=2 b=2 解：設(shè)這個一次函數(shù)的解

11、析式為解：設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b. 設(shè)正比例函數(shù)表達(dá)式是設(shè)正比例函數(shù)表達(dá)式是 y=kx,y=kx, 把把 x =x =- -4, y =2 4, y =2 代入代入 2 = -4k 所求的函數(shù)表達(dá)式是所求的函數(shù)表達(dá)式是 y= y= - - 2 x 解得解得 k= - 2 1 例：例：已知正比例函數(shù)當(dāng)自變量已知正比例函數(shù)當(dāng)自變量x等于等于 - 4時，時， 函數(shù)函數(shù)y的值等于的值等于2。求正比例函數(shù)的表達(dá)式。求正比例函數(shù)的表達(dá)式 設(shè)設(shè) 代代 求求 寫寫 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議一議議議 要確定正比例函數(shù)的表達(dá)式需要幾件？要確定正比

12、例函數(shù)的表達(dá)式需要幾件？. 練習(xí)：正比例函數(shù)的圖象練習(xí)：正比例函數(shù)的圖象 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，求，求 函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的表達(dá)式. o y x A B B 綜合訓(xùn)練：綜合訓(xùn)練：已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y=kx+b 的圖的圖 象過象過點(diǎn)點(diǎn)A A( (3,0).).與與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)B B，若，若 AOBAOB的面積為的面積為6 6，求這個一次函數(shù)的，求這個一次函數(shù)的 解析式解析式 y=kx+b的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn)A（3，0）. OA=3，S= OAOB= 3OB=6 2 1 2 1 OB=4， B點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4） （0,-4）. 當(dāng)當(dāng)B點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4）時，則

13、時，則 y=kx+4 當(dāng)當(dāng)B點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-4）時，則時，則 y=kx-4 0=3k+4， k= - y= - x+4 3 4 3 4 0=3k+4， k= y= x-4 3 4 3 4 一次函數(shù)一次函數(shù)解析式解析式 y= - x+4 或或 y= x-4 3 4 3 4 用用C, ,F分別表示攝氏溫度與華氏溫度，由于攝分別表示攝氏溫度與華氏溫度，由于攝 氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān)氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān) 系，因此可以設(shè)系，因此可以設(shè) C = kF + b， 解解 由已知條件，得由已知條件，得 212k + b =100， 32k + b = 0 . 解

14、得解得k,b. 5160 99 因此攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系式為因此攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系式為 CF 5160 99 例例1 1. .溫度的度量有兩種：攝氏溫度和華氏溫度溫度的度量有兩種：攝氏溫度和華氏溫度.水的水的 沸點(diǎn)溫度是沸點(diǎn)溫度是100，用華氏溫度度量為，用華氏溫度度量為212 ；水的；水的 冰點(diǎn)溫度是冰點(diǎn)溫度是0，用華氏溫度度量為，用華氏溫度度量為32 .已知攝氏已知攝氏 溫度與華氏溫度的關(guān)近似地為一次函數(shù)關(guān)系，你能溫度與華氏溫度的關(guān)近似地為一次函數(shù)關(guān)系，你能 不能想出一個辦法方便地把華氏溫度換算成攝度？不能想出一個辦法方便地把華氏溫度換算成攝度？ 求出了攝氏溫度與華氏溫度

15、的函數(shù)關(guān)系式后，可以方便地把求出了攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系式后，可以方便地把 任何一個華氏溫度換算成攝氏溫度任何一個華氏溫度換算成攝氏溫度. 某種拖拉機(jī)的油箱可儲油40L，加滿油并開 始工作后，油箱中的剩余油量y（L）與工 作時間x（h） 之間為一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù) 圖象如圖4-15所示. （1）求）求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；的函數(shù)表達(dá)式； （2）一箱油可供拖拉機(jī)工作幾小時？）一箱油可供拖拉機(jī)工作幾小時？ 例例2 圖圖4-15 解得解得k,b. 540 所以所以 y = - -5x + 40. （1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； （1） 解解 設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y = k

16、x + b ，由于，由于 點(diǎn)點(diǎn)P （2，30）， Q（6，10）都在一次都在一次 函數(shù)圖象上，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式，得函數(shù)圖象上，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式，得 2k + b =30， 6k + b =10. （2）一箱油可供拖拉機(jī)工作幾小時？）一箱油可供拖拉機(jī)工作幾小時？ （2）解解 當(dāng)剩余油量為當(dāng)剩余油量為0時，時， 即即y=0 時，時， 有有 - -5x + 40 = 0， 解得解得 x = 8. 所以一箱油可供拖拉機(jī)工作所以一箱油可供拖拉機(jī)工作8 h 思考思考: : 1. y與與x的關(guān)系式形式是的關(guān)系式形式是_,關(guān)鍵關(guān)鍵 是確定是確定_和和_ 2.y與與 x的對應(yīng)關(guān)系有的對應(yīng)關(guān)系有_對（

17、填數(shù)字）對（填數(shù)字） 分別是當(dāng)分別是當(dāng)x=_ 時時y=_ 當(dāng)當(dāng)x=_ 時時y=_ y=kx+b k b 2 0 6 47.2 設(shè)設(shè)所求函數(shù)的表達(dá)式為所求函數(shù)的表達(dá)式為 _, 解解： y=kx+b 解解得得： k0.3 b6 4.某地長途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜某地長途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜 帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定，則需要帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定，則需要 購買行李票，行李票費(fèi)用購買行李票，行李票費(fèi)用y（元）是行李重量（元）是行李重量 x(公斤）的一次函數(shù)，圖象如圖所示公斤）的一次函數(shù)，圖象如圖所示 求求：（：（1）從圖中可以獲取哪些信息）從圖中可以獲取哪些信息 （2）旅客

18、最多可免費(fèi)攜帶行李的公斤）旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的公斤 數(shù)數(shù). x (公斤) Y(元) 10 8060 6 A 解：解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式是設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b 因?yàn)橐驗(yàn)?當(dāng)當(dāng)x=60時，時，y=6; 當(dāng)當(dāng)x=80時，時，y=10 所以所以 10=80k+b 6=60k+b 解得解得: k=1/5 b=-6 故所求一次函數(shù)關(guān)系式是故所求一次函數(shù)關(guān)系式是y=1/5x-6 當(dāng)當(dāng) y=0 時，時，1/5x-6=0, 故故x=30 所以旅客最多可免費(fèi)攜帶所以旅客最多可免費(fèi)攜帶30公斤的行李公斤的行李 x (公斤) Y(元) 10 8060 6 A 練習(xí)練習(xí) 1. 把溫度把溫度84華氏度換算成攝

19、氏溫度華氏度換算成攝氏溫度. 解解由攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系得由攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系得 5160 84 99 C 解得解得 C28.9( () ) 因此，把溫度因此，把溫度84華氏度換算成攝氏溫華氏度換算成攝氏溫 度約為度約為28.9度度. 2. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)A(-1，3)， B(2，-5)，求這個函數(shù)的解析式. 解解設(shè)設(shè)y=kx+b，圖象經(jīng)過兩點(diǎn)圖象經(jīng)過兩點(diǎn)A(-1，3)，B(2， -5) 因此因此 - -k + b = 3， 2k + b = - -5. 因此所求一次函數(shù)的解析式為因此所求一次函數(shù)的解析式為 解得解得 k= ，b= . 1 3 8 3 - - y

20、= x + . 8 3 - - 1 3 3. 酒精的體積隨溫度的升高而增大，體積與溫度 之間 在一定范圍內(nèi)近似于一次函數(shù)關(guān)系，現(xiàn)測得 一定量的酒精在0 時的體積為5.250 L，在40 時的體積為5.481 L，求這些酒精在10 和30 時的體積各是多少？ 因此所求一次函數(shù)的表達(dá)式為因此所求一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=0.005775x+5.250. 解得解得 k=0.005775，b= 5.250 . 解解設(shè)體積與溫度之間的函數(shù)關(guān)系為設(shè)體積與溫度之間的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，由已知得：，由已知得： k0 + b = 5.250 ， k40 + b = 5.481. 在在10 ，即，即x=10時，

21、時， 體積體積y=0.00577510 +5.250=5.30775( (L).). 在在30 ，即，即x=30時，時， 體積體積y=0.00577530 +5.250=5.42325( (L).). 答：答：這些酒精在這些酒精在10 和和30 時的體積各是時的體積各是5.30775L 和和5.42325L. 中考中考 試題試題 例例 百舸競渡，激情飛揚(yáng)，端午節(jié)期間，某地舉行龍舟比賽.甲、乙兩 支龍舟隊在比賽時路程y(米)與時間x(分)之間的函數(shù)圖象如圖.根據(jù)圖象 回答下列問題： （1）1.8分鐘時，哪支龍舟隊處于領(lǐng)先位置？ （2）在這次龍舟賽中，哪支龍舟隊先到達(dá)終點(diǎn)？提前多少時間到達(dá)？ （3

22、）求乙隊加速后，路程y(米)與時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系式. 300 O 1234 600 1050 150 54.5 乙乙 甲甲 y( (米米) ) x( (分分) ) （1）（）（2）觀察圖象可得）觀察圖象可得.（3）用待定系數(shù)法解）用待定系數(shù)法解. 分析分析 解解 由圖象可知，由圖象可知， （1）1.8分鐘時甲龍舟隊處于領(lǐng)先位置分鐘時甲龍舟隊處于領(lǐng)先位置. . （2）在這次龍舟賽中，）在這次龍舟賽中， 乙龍舟隊先到達(dá)終點(diǎn)，比甲提前乙龍舟隊先到達(dá)終點(diǎn)，比甲提前0.5分鐘分鐘. . （3）設(shè)乙隊加速后，）設(shè)乙隊加速后， y與與x的關(guān)系式為：的關(guān)系式為：y=kx+b. 將將( (2，300) )、( (4.5，1050）分別代入上式，）分別代入上式， 解得解得 y = 300 x- -300( (2x4.5) ) 2 + =300 4.5 + =1050 . k b k b , , =300 = 300 . k b- - , , 、正比例函數(shù)、正比例函數(shù) y=kx 的圖象過點(diǎn)（，），的圖象過點(diǎn)（，）， 則則 k= ， 該函數(shù)解析式為該函數(shù)解析式為 . 、如圖，是、如圖，是函數(shù)圖象，函數(shù)圖象， 它的解析式是它的解析式是。 2 y=2x y x 正比例正比例 x 2 1 y 3 -1 x y 3