進(jìn)貨策略數(shù)學(xué)建模結(jié)課論文

1、數(shù)學(xué)建模結(jié)課論文題目：a 進(jìn)貨策略參賽隊(duì)員信息：論文題目：進(jìn)貨策略摘要：我們通過(guò)對(duì)附表1中數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)商品的出售具有一定的周期性質(zhì)。首先，我們利用泊松分布（a商品）和正態(tài)分布（b,c商品），找出商店缺貨零出的點(diǎn)及其頻率，進(jìn)而得出商店進(jìn)貨的周期。然后因?yàn)轭}中已知數(shù)據(jù)記錄偏多，故而我們以月為單位，將各類商品的出售數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和作圖（可簡(jiǎn)化題目）。接下來(lái)，我們?cè)偻ㄟ^(guò)傅里葉變化得出該數(shù)據(jù)中的幅頻最高的點(diǎn)，找出其幅頻最高的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期，驗(yàn)證正態(tài)分布中的周期。再接下來(lái)，運(yùn)用最直接的極大值和極小值的方法，得出周期，再去驗(yàn)證之前得到的周期的正確性。在問(wèn)題一中，通過(guò)一些圖形模擬和計(jì)算，得出a,b,c商品的進(jìn)

2、貨（缺貨）的周期大約是12天。所以就可以很容易的得出，該商店的進(jìn)貨策略和在825天內(nèi)進(jìn)了多少次貨。在問(wèn)題二中，我們通過(guò)泊松分布的得出a的日需求量為3.07件，由正態(tài)分布很容易得出b的平均值為4.5左右，c的平均值為7左右，即b,c的日需求量約為4.5和7。在問(wèn)題三中，通過(guò)程序，找出a,b,c中連續(xù)點(diǎn)或者是相鄰差值非常大的點(diǎn)，再?gòu)闹刑暨x出符合缺貨條件的點(diǎn)，從而算出，a的缺貨時(shí)間為93天，缺貨量為301件。b缺貨時(shí)間大約為62天，缺貨量大約286件。c缺貨時(shí)間大約為48天，缺貨量大約為339天。在問(wèn)題四中，通過(guò)計(jì)算，a在每個(gè)周期內(nèi)缺貨大約為4.36件，確定b在每個(gè)周期內(nèi)缺貨大約4.14件，c在每個(gè)

3、周期內(nèi)大約缺貨4.91件。由此，我們可以很容易得出當(dāng)周期為11天時(shí)，a,b,c三種商品的缺貨損失減半。關(guān)鍵詞：泊松分布 正態(tài)分布 傅里葉變換 假設(shè)檢驗(yàn)一 問(wèn)題重述1.1背景： 已知某商店取得了某物在該區(qū)域的市場(chǎng)經(jīng)銷權(quán)，銷售該物的三類產(chǎn)品，附表1給出了該店過(guò)去連續(xù)825天的三類產(chǎn)品銷售記錄。通過(guò)分析附表1，解決下述四個(gè)問(wèn)題。1.2 問(wèn)題描述：（1） 該店三類產(chǎn)品的進(jìn)貨策略是什么？800多天內(nèi)共進(jìn)了多少次貨？（2） 該三類產(chǎn)品在該區(qū)域的市場(chǎng)需求如何？（3） 分析現(xiàn)有進(jìn)貨策略下，該店的缺貨情況（包括缺貨時(shí)間及缺貨量）。（4） 如果現(xiàn)有進(jìn)貨策略已經(jīng)充分考慮了該店的產(chǎn)品存貯能力，如何改進(jìn)進(jìn)貨策略，將缺貨

4、損失減半，且進(jìn)貨次數(shù)盡可能少？二 問(wèn)題分析我們第一眼看到題目時(shí)，發(fā)現(xiàn)題目中附表的數(shù)據(jù)頗多，而且繪成圖之后沒(méi)有明顯的圖象趨勢(shì)，沒(méi)有明顯的特點(diǎn)。所以我們決定對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列的處理，包括傅里葉變換，頻率分布等處理，希望取得圖象深程度的理解，以便簡(jiǎn)化題目中的大量數(shù)據(jù)。在問(wèn)題（一）中，我們認(rèn)為這是一個(gè)固定周期的模型。只要通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，找出商家去購(gòu)買商品的大概周期，然后我們?cè)俳Y(jié)合數(shù)據(jù)中的一些特殊情況，就可以找出商家的進(jìn)貨方式了。然后我們用825除以周期，就可以得到商家在825天內(nèi)大概進(jìn)了多少次貨。在問(wèn)題（二）中，我們認(rèn)為如果找到了，a,b,c的本質(zhì)分布曲線，就可以通過(guò)求平均值或者正態(tài)分布平均值的方

5、法，得到居民對(duì)于a,b，c的日需求量。在問(wèn)題（三）中，我們認(rèn)為要分析缺貨情況，必須要在數(shù)據(jù)中找到哪些數(shù)據(jù)是斷貨或是缺貨的，然后我們?cè)谡页鋈必洉r(shí)間的基礎(chǔ)上，去得到缺貨量。在問(wèn)題（四）中，我們認(rèn)為只要找到在825天的缺貨量，再除以售賣周期，就可以得到在每個(gè)周期內(nèi)的缺貨數(shù)量。這樣就可以通過(guò)調(diào)整周期得到讓讓缺貨損失減半的方法。三 模型假設(shè)（一）商家是定期去采購(gòu)商品；（二）a,b,c商品儲(chǔ)存方式不能替代；（三）在商品無(wú)限充足的自然情況下，商品售出的數(shù)量大約呈正態(tài)分布。四 符號(hào)說(shuō)明p概率分布（泊松分布和正態(tài)分布）泊松分布中為平均值（方差）正態(tài)分布中的平均值2正態(tài)分布中的方差w傅里葉變換中的頻率p0標(biāo)準(zhǔn)曲線

6、與實(shí)際曲線在零點(diǎn)處的頻率差值pi，ni標(biāo)準(zhǔn)曲線與實(shí)際曲線在大于平均值（方差）處的頻率差值和對(duì)應(yīng)的頻數(shù)pi，ni實(shí)際曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線在小于平均值（方差）處的頻率差值和對(duì)應(yīng)的頻數(shù)t總的出售時(shí)間，即825天t總的缺貨時(shí)間t1缺貨（不斷貨）的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)圖形中的平均值（方差）五 模型的建立與求解 對(duì)于a商品：我們首先用matlab將b,c數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布處理數(shù)據(jù)，并作出圖象，見(jiàn)下圖（其中橫坐標(biāo)為出售數(shù)量，縱坐標(biāo)為頻率）： （一）泊松分布 泊松分布的概率分布函數(shù)為：其中 . 0是常數(shù),則稱x服從參數(shù)為的泊松分布,記作xp () 。泊松分布的參數(shù)是單位時(shí)間(或單位面積)內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率。泊松分布適合于描述

7、單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。且在泊松分布中，平均值和方差均為。（二)具體問(wèn)題分析在a商品的出售量的數(shù)據(jù)中，我們可以得到，a商品的出售數(shù)量平均值為2.76（圖中顯示為3.76），方差為3.07（圖中顯示為4.07）。我們?nèi)〔此煞植贾?3.07，得到標(biāo)準(zhǔn)的泊松分布函數(shù)。商品a的圖象與標(biāo)準(zhǔn)泊松分布圖象（為便于觀察，圖象向右平移一個(gè)單位）結(jié)合圖形和理論數(shù)據(jù)，我們可以很容易的看出，a的出售數(shù)量與頻率的分布圖象和泊松分布的圖象十分相近。在圖象中我們可以看出a的出售數(shù)量在零附近的概率非常高，我們認(rèn)為這是因?yàn)閍的缺貨時(shí)間非常長(zhǎng)，缺貨量非常大而產(chǎn)生的。對(duì)于b,c商品：（一）正態(tài)分布正態(tài)分布，是一種概率分布。公

8、式為：第一參數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作n（，2）。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律為取與鄰近的值的概率大，而取離越遠(yuǎn)的值的概率越??；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。（二）具體問(wèn)題分析我們首先用matlab將b,c數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并作出圖象，用matlab中的ttest函數(shù)，進(jìn)行擬合分析，得出圖象和正態(tài)分布的擬合度達(dá)到95%以上，幾乎可以認(rèn)為是正態(tài)分布。根據(jù)數(shù)據(jù)，我們得到b的出售數(shù)量平均值為4.62（圖中顯示5.62，以下數(shù)據(jù)相同），c的出售數(shù)量平均值為7.49。根據(jù)b商品的出售數(shù)據(jù)中，我們可以得到它的平均數(shù)和每個(gè)頻數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率。當(dāng)

9、我們?nèi)≌龖B(tài)分布中的的參數(shù)=4.5，并且= 2.4018時(shí)。就可以得到與b商品出售數(shù)量相對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布曲線。商品b的圖象與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖象（其中圖象橫坐標(biāo)為出售數(shù)量，縱坐標(biāo)為頻率。為便于觀察，圖象向右平移一個(gè)單位）：根據(jù)c商品的出售數(shù)據(jù)中，我們可以得到它的平均數(shù)和每個(gè)頻數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率。當(dāng)我們?nèi)≌龖B(tài)分布中的的參數(shù)=7，并且= 2.9120時(shí)。就可以得到與c商品出售數(shù)量相對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布曲線。商品c的圖象與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖象（其中圖象橫坐標(biāo)為出售數(shù)量，縱坐標(biāo)為頻率。為便于觀察，圖象向右平移一個(gè)單位）： 從圖象中可以明顯看出，b,c圖象很符合正態(tài)分布的關(guān)系。所以我們可以確信，b,c數(shù)據(jù)是一種正態(tài)分布模型。但

10、是我們可以在模型中明顯的看見(jiàn)，在零附近出的概率值明顯偏大。經(jīng)過(guò)我們的研究，探討可以確定，這是由于b,c的缺貨，導(dǎo)致了零處的概率偏大。在a,b,c模型確立之后，我們分析認(rèn)為，當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)連續(xù)的零或者是二天出售量差值非常大時(shí)，極有可能是缺貨（進(jìn)貨）的時(shí)間點(diǎn)。我們通過(guò)分析和計(jì)算機(jī)的篩選，找到了最符合缺貨（進(jìn)貨）的點(diǎn)，再通過(guò)對(duì)篩選出來(lái)的點(diǎn)的分析（見(jiàn)附錄），初步找出了缺貨（進(jìn)貨）的周期在12天左右。再接下來(lái)，我們通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)的方法，對(duì)周期進(jìn)行進(jìn)一步的確認(rèn)。（一） 傅里葉變換傅里葉表?yè)Q公式：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到

11、的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。（二） 具體問(wèn)題分析下面是以月為單位，對(duì)每月的總的出售數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，得出的一系列圖形（其中橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為傅里葉變換后的值，周期單位為月）：右邊是a的傅里葉變換圖形：下面是b的傅里葉變換圖形：下面是c的傅里葉變化圖形：從傅里葉變換的圖形中，我們可以明顯的發(fā)現(xiàn)，在頻率為15的點(diǎn)附近，傅里葉變換的值最高。轉(zhuǎn)化為該題中的具體數(shù)據(jù)即為：在周期為2*pi/15*28=11.7（天）為周期的數(shù)據(jù)最具有周期性。通過(guò)傅里葉變換我們可以在另一方面驗(yàn)證出，a,b,c數(shù)據(jù)的缺貨（進(jìn)貨）周期為12天是正確的。在接下來(lái)，我們?cè)俅瓮ㄟ^(guò)以周為

12、單位（源程序見(jiàn)附錄），做出a,b,c數(shù)據(jù)的圖形（其中橫坐標(biāo)為周，縱坐標(biāo)為以周為單位的出售數(shù)量）。a，b，c以周為單位的數(shù)據(jù)圖形： 我們?cè)俅芜\(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)的方式，通過(guò)觀察相鄰極大值和極小值的時(shí)間差值，再次找出b,c數(shù)據(jù)的大致周期。通過(guò)我們對(duì)這些數(shù)據(jù)的處理，再次找到b,c數(shù)據(jù)的周期，周期約為12天。而且對(duì)圖形的觀察，我們也可以得出，a,b,c的在一段時(shí)間內(nèi)，上升和下降趨勢(shì)十分接近。在a,b,c缺貨（進(jìn)貨）周期為12天的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步做出以12天為周期（源程序見(jiàn)附錄），a,b,c數(shù)據(jù)的分布圖象（橫坐標(biāo)為出售的數(shù)量，縱坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的頻數(shù)）： a以12天為單位的數(shù)據(jù)圖形：b以12天為單位的數(shù)據(jù)圖形：c以

13、12天為單位的數(shù)據(jù)圖形：在圖形上我們可以明顯的觀察到，b,c商品若以12天為周期，它們的出售數(shù)量都集中在一起，而且集中的非常明顯。圖形很明顯的闡述了，當(dāng)b,c以12天為周期缺貨（進(jìn)貨），出售數(shù)量是高度集中的，即12天是它的主要周期。通過(guò)以上方法，我們?cè)俳?jīng)過(guò)幾次驗(yàn)證，得出b,c的缺貨（進(jìn)貨）周期就是12天。在問(wèn)題（一）中： 對(duì)于a,b,c商品，我們通過(guò)上述的模型的建立與周期的確立，再結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)。我們可以得出，a,b,c商品的進(jìn)貨周期為12天，在某些時(shí)刻（暢銷的時(shí)候），還會(huì)縮短進(jìn)貨周期，并且允許缺貨。在825天內(nèi)，進(jìn)貨次數(shù)為：825/12=68.75（次），取整后，即大約進(jìn)貨69次左右。在問(wèn)題（

14、二）中，對(duì)于a商品，我們認(rèn)為它的出售曲線是一個(gè)泊松分布曲線，所以我們通過(guò)方差分析，得出方差為3.07，即a的日需求量大約是3.07。對(duì)于b,c商品，我們通過(guò)對(duì)正態(tài)分布模型的建立，得出b商品的出售數(shù)量平均值為4.5，c商品的出售數(shù)量平均值為7.那么我們就可以得出，b商品的日需求量為4.5，c商品的日需求量為7。在問(wèn)題（三）中，對(duì)于a,b,c商品，我們通過(guò)對(duì)圖形的擬合對(duì)比，找出缺貨的的時(shí)間和總的缺貨量。計(jì)算方法為：總的時(shí)間：t=p0*t+t1;總的缺貨量：q=(ni*pi-ni*pi)+p0*t*對(duì)于a商品我們計(jì)算出斷貨時(shí)間為31天，缺貨時(shí)間（不斷貨）62天，缺貨總時(shí)間為：93天，故a商品的缺貨量

15、：31*3.07（時(shí)間*方差）+206（缺貨（不斷貨）時(shí)的缺貨量）=301對(duì)于b商品，我們計(jì)算出斷貨時(shí)間為29天，缺貨時(shí)間（不斷貨）33天，缺貨總時(shí)間為：62（天），故b商品的缺貨量為：29*4.5（斷貨量=時(shí)間*平均值）+156（缺貨（不斷貨）時(shí)的缺貨量）=286（總的缺貨量）對(duì)于c商品，我們計(jì)算出出斷貨時(shí)間為17天，缺貨（不斷貨）31天，總的缺貨時(shí)間為：48天，故c商品的缺貨量為：17*7（斷貨量=時(shí)間*平均值）+220（缺貨（不斷貨）時(shí)的的缺貨量）=339（總的缺貨量）在問(wèn)題（四）中，對(duì)于a商品，周期為12，共進(jìn)貨69次，總的缺貨量為301件，所以在每個(gè)周期內(nèi)缺貨4.36（件），結(jié)合方差

16、為3.07，我們可以得出當(dāng)進(jìn)貨周期為11天的時(shí)候，a的商品損失率就已經(jīng)減半了。 對(duì)于b商品，周期為12，共進(jìn)貨69次，總的缺貨量為286件，所以在每個(gè)周期內(nèi)缺貨量為：286/69=4.14（件），結(jié)合平均值為4.5，我們可以得出當(dāng)進(jìn)貨周期為11天的時(shí)候，b商品的損失率就接近零了，符合題意。 對(duì)于c商品，周期為12天，共進(jìn)貨69次，總的缺貨量為339件，所以在每個(gè)周期內(nèi)缺貨量為：339/69=4.91（件），結(jié)合平均值為7，我們可以得出當(dāng)進(jìn)貨周期為11天的時(shí)候，c商品的損失率就接近零了，符合題意。 總結(jié)以上，我們可以得出，當(dāng)進(jìn)貨周期改為11天的時(shí)候，能夠?qū),b,c的商品損失率減半。六 模型的檢

17、驗(yàn)七 模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析模型的優(yōu)點(diǎn)： 我們的模型對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)具有非常高的擬合度，所以在處理問(wèn)題的時(shí)候具有很強(qiáng)的依據(jù)性，而且得出的數(shù)據(jù)說(shuō)服力很強(qiáng)。模型的缺點(diǎn)： 模型仍然只能從經(jīng)驗(yàn)層面上粗糙的推出進(jìn)貨量和缺貨量，缺少一個(gè)基于動(dòng)力系統(tǒng)的銷貨-缺貨模型，不能精確的推導(dǎo)出缺貨量和缺貨天數(shù)，另外計(jì)算周期的話傅里葉的突出峰也不明顯，這有可能與突然缺貨有關(guān)，即當(dāng)嚴(yán)重缺貨時(shí)老板有可能進(jìn)貨，另外，沒(méi)有給出季度之類的周期數(shù)據(jù)也是個(gè)缺點(diǎn)。 八 模型的推廣與改進(jìn)推廣：a的泊松分布模型適用于銷量不太多的離散型商品，例如消耗性的香皂，鋼筆類型的商品，而不適合剛性需求比較大的商品，比如說(shuō)食物，衛(wèi)生紙之類的。同樣不適合的連續(xù)性商

18、品如大米之類的也不能使用泊松分布。b,c的正態(tài)分布模型適用于銷量較穩(wěn)定的離散型商品，通過(guò)該正態(tài)分布模型可以適用于缺貨的商家來(lái)調(diào)整自己的進(jìn)貨策略。改進(jìn)：因?yàn)樯唐反蠖嘤兄芷谛砸蛩貋?lái)考慮，而本文的售出天數(shù)沒(méi)有給季節(jié)，所以如果給定具體的季節(jié)的話，模型還可以從季節(jié)方面考慮來(lái)調(diào)整其進(jìn)貨量。九 參考文獻(xiàn)1 魏宗舒等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程m . 高等教育出版社.1983. 10.2 趙榮春. 數(shù)字圖象處理導(dǎo)論m. 西安: 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 1995. 25-73.zhao rong-chun. digital image processing guide m. xian: northwestern po

19、lytechnical university press, 1995. 25-73.十 附錄附表i銷售量序號(hào)abc145821051334884458566136267723582110946510397112511123971313614021015012161591736418354192572028102124132216923558241122522102655102738112813329364306713312363218533210534336354593626103736133852939412104006641416421764343244310745125464064750

20、948106494410502485117652106535211543575530105630657208583665936660431561451362321163133643506514066475672386814669344701497122772398735437454975341576445772757827979357802388134682729833658422128546486235872568806989225903689134692349932469444119587159603997031982410991751002491014671024661030471042

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