平面幾何基本定理

1、平面幾何基本定理一平面幾何1 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 射影定理（歐幾里得定理）3 中線(xiàn)定理（巴布斯定理）設(shè)ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線(xiàn)長(zhǎng)：4 垂線(xiàn)定理：高線(xiàn)長(zhǎng)：5 角平分線(xiàn)定理：三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平分線(xiàn)定理）角平分線(xiàn)長(zhǎng)：（其中為周長(zhǎng)一半）6 正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）7 余弦定理：8 張

2、角定理：9 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）11 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角12 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線(xiàn)定理（割線(xiàn)定理）：切線(xiàn)長(zhǎng)定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ACBD，自對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)P向一邊作垂線(xiàn)，其延長(zhǎng)線(xiàn)必平分對(duì)邊14 點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，O的半徑為r，則d2r2就是點(diǎn)P對(duì)于O的冪過(guò)P任作一直線(xiàn)與O交于點(diǎn)A、B，

3、則PAPB= |d2r2|“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線(xiàn)垂直的一條直線(xiàn)，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線(xiàn)”這個(gè)結(jié)論這條直線(xiàn)稱(chēng)為兩圓的“根軸”三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為三圓的“根心”三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線(xiàn)交于一點(diǎn)15 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線(xiàn)之積等于兩組對(duì)邊乘積之和，即ACBD=ABCD+ADBC，(逆命題成立) （廣義托勒密定理）ABCD+ADBCACBD16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP

4、=QM 17 費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)18 拿破侖三角形：在任意ABC的外側(cè)，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線(xiàn)共點(diǎn)，并且AEBFCD，這個(gè)命題稱(chēng)為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1 、B1的圓心構(gòu)成的

5、外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內(nèi)側(cè)作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心 19 九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）：三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線(xiàn)的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半（2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線(xiàn)上,且恰為垂心與外

6、心連線(xiàn)的中點(diǎn) （3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切費(fèi)爾巴哈定理20 歐拉（Euler）線(xiàn)：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(xiàn)（歐拉線(xiàn)）上21 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R22Rr22 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和23 重心：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且各中線(xiàn)被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則；（2）設(shè)G為ABC的重心，則（3）設(shè)G為ABC的重心，過(guò)G作DEBC交AB于D，交AC于E

7、，過(guò)G作PFAC交AB于P，交BC于F，過(guò)G作HKAB交AC于K，交BC于H，則（4）設(shè)G為ABC的重心，則（P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最??； 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿(mǎn)足上述條件之一，則G為ABC的重心）24 垂心：三角形的三條高線(xiàn)的交點(diǎn)；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍（2）垂心H關(guān)于ABC的三邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心， 25 內(nèi)心：三角形的三條角分線(xiàn)的交點(diǎn)內(nèi)接圓圓心

8、，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然（2）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則（3）三角形一內(nèi)角平分線(xiàn)與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線(xiàn)交ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線(xiàn)段AK上的點(diǎn)且滿(mǎn)足KI=KB，則I為ABC的內(nèi)心（4）設(shè)I為ABC的內(nèi)心， 平分線(xiàn)交BC于D，交ABC外接圓于點(diǎn)K，則（5）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令；26 外心：三角形的三條中垂線(xiàn)的交點(diǎn)外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等（2）設(shè)O為ABC的外心，則或（3）；（4）銳角三

9、角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和27 旁心：一內(nèi)角平分線(xiàn)與兩外角平分線(xiàn)交點(diǎn)旁切圓圓心；設(shè)ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為旁心性質(zhì)：（1）（對(duì)于頂角B，C也有類(lèi)似的式子）（2）（3）設(shè)的連線(xiàn)交ABC的外接圓于D，則（對(duì)于有同樣的結(jié)論）（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圓半徑等于ABC的直徑為2R28 三角形面積公式，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，29 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系 30 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直

10、線(xiàn)的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 （逆定理也成立）31 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)ABC的A的外角平分線(xiàn)交邊CA于Q，C的平分線(xiàn)交邊AB于R，B的平分線(xiàn)交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)32 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過(guò)任意ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線(xiàn)，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)33 塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線(xiàn)交于一點(diǎn)的充要條件是=134 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于ABC的邊BC的直線(xiàn)與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的

11、中點(diǎn)M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，三角形的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線(xiàn)交于一點(diǎn)37 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)38 西摩松（Simson）定理：從ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線(xiàn)，（這條直線(xiàn)叫西摩松線(xiàn)Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理1：ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上

12、41 關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)，這些西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)42 史坦納定理：設(shè)ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于ABC的點(diǎn)P的西摩松線(xiàn)通過(guò)線(xiàn)段PH的中心43 史坦納定理的應(yīng)用定理：ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和ABC的垂心H同在一條（與西摩松線(xiàn)平行的）直線(xiàn)上這條直線(xiàn)被叫做點(diǎn)P關(guān)于ABC的鏡象線(xiàn)44 牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線(xiàn)這條直線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的牛頓線(xiàn) 45 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，及該圓的圓心，

13、三點(diǎn)共線(xiàn)46 笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)47 笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)48 波朗杰、騰下定理：設(shè)ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 49 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)

14、關(guān)于PQR的的西摩松線(xiàn)交于與前相同的一點(diǎn)50 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線(xiàn)的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線(xiàn)段的中點(diǎn)51 波朗杰、騰下定理推論3：考查ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于ABC的西摩松線(xiàn)，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線(xiàn)該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)52 波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線(xiàn)，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)5

15、3 卡諾定理：通過(guò)ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線(xiàn)PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)54 奧倍爾定理：通過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線(xiàn)，設(shè)它們與ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)55 清宮定理：設(shè)P、Q為ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D

16、、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)56 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線(xiàn)的兩點(diǎn)，如果OC2=OQOP 則稱(chēng)P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)）57 朗古來(lái)定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線(xiàn)，再?gòu)腜向這4條西摩松線(xiàn)引垂線(xiàn)，則四個(gè)垂足在同一條直線(xiàn)上 58 從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)處的外接圓的切線(xiàn)引垂線(xiàn)，這些垂線(xiàn)

17、交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心59 一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線(xiàn)所引的垂線(xiàn)都交于一點(diǎn)60 康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線(xiàn)所引的垂線(xiàn)共點(diǎn)61 康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松線(xiàn)的交點(diǎn)在同一直線(xiàn)上這條直線(xiàn)叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)62 康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于

18、四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)交于一點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)63 康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線(xiàn)上這條直線(xiàn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線(xiàn)64 費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切 65 莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線(xiàn)相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形這個(gè)三角形常被稱(chēng)作莫利正三角形66 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F

19、，則這三線(xiàn)共點(diǎn)67 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長(zhǎng)線(xiàn)的）交點(diǎn)共線(xiàn)68 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點(diǎn)P，位于將線(xiàn)段AB分成m：n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓69 庫(kù)立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓）圓周上有四點(diǎn)，過(guò)其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過(guò)這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓70 密格爾（Miquel）點(diǎn)： 若AE、AF、ED、FB四條直線(xiàn)相交于A、B、C、D、E、F六

20、點(diǎn)，構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是ABF、AED、BCE、DCF，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為密格爾點(diǎn)71 葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線(xiàn)共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為葛爾剛點(diǎn) 72 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點(diǎn)，過(guò)M向三邊作垂線(xiàn)，三個(gè)垂足形成的三角形的面積，其公式： 二集合 1.元素與集合的關(guān)系,.2.德摩根公式3.包含關(guān)系4.集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有1個(gè)；非空子集有 1個(gè)；非空的真子集有2個(gè).5.集合A中有M個(gè)元素，集合B中有N個(gè)元素，則可以構(gòu)造M*N個(gè)從集合A到集合B的映射；

21、6.容斥原理20 / 2120 / 2120第 頁(yè) 共 21 頁(yè)2021-7-15.三二次函數(shù)，二次方程1二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點(diǎn)式;(3)零點(diǎn)式.2解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式.3方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且.4閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng)a0時(shí)，若，則；，.(2)當(dāng)a0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期

22、T=5a；(6)，則的周期T=6a.六 指數(shù)與對(duì)數(shù)1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）.(2)（，且）.2根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.3有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.4指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 .5對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論 (,且,且, ).6對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a0，a1，M0，N0，則(1);(2) ;(3).7設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).8對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在

23、和上為增函數(shù).， (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù).推論:設(shè)，且，則（1）.（2）.9平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).七 數(shù)列1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)和公式為.2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)的和公式為或.3等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為；其前n項(xiàng)和公式為.4分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).八 三角函數(shù)1常見(jiàn)三角不等式（1）若，則.(2) 若，則.(3) .2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，.3正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù)

24、) 4和角與差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ).5半角正余切公式：6二倍角公式 .7最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集 角的變形：8三倍角公式 9三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，xR及函數(shù)，xR(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期；函數(shù)，(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期.10正弦定理.11余弦定理;.12面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).13在三角形中有下列恒等式： 14簡(jiǎn)單的三角方程的通解 . .特別地,有. .15三角形內(nèi)角和定理 在ABC中，有八 向量1實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：(a)=()a;(2)第一分配律：

25、(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) ab= ba （交換律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.3平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線(xiàn)的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底4向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).5a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a|b|cos6ab的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積7平面向量

26、的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.(2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則.(4)設(shè)a=，則a=.(5)設(shè)a=,b=，則ab=.8兩向量的夾角公式(a=,b=).9平面兩點(diǎn)間的距離公式 =(A，B).10向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則A|bb=a .ab(a0)ab=0.11線(xiàn)段的定比分公式 設(shè)，是線(xiàn)段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則（）.12三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,則ABC的重心的坐標(biāo)是.13點(diǎn)的平移公式 .注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.14“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn).(2

27、) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線(xiàn):按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.15三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.九 不等式1常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào))（2）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào))（3）（4）柯西不等式（5） .2極值定理已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)

28、積有最大值.推廣 已知，則有（1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；當(dāng)最小時(shí),最小.（2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最小；當(dāng)最小時(shí), 最大.3一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.；.4含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a 0時(shí)，有.或.75.無(wú)理不等式（1） .（2）.（3）.5指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí),; .(2)當(dāng)時(shí),;十 直線(xiàn)方程1斜率公式 （、）. k=tan(為直線(xiàn)傾斜角）2直線(xiàn)的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線(xiàn)在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式 ()(、 ().(4)截距式

29、(分別為直線(xiàn)的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).5兩條直線(xiàn)的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；兩直線(xiàn)垂直的充要條件是 ；即：6夾角公式 (1).(，,)(2).(,).直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l1與l2的夾角是.7到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l1到l2的角是.8四種常用直線(xiàn)系方程 (1)定點(diǎn)直線(xiàn)系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為(除直線(xiàn)),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為,其中是待定的系數(shù)(2)共點(diǎn)直線(xiàn)系方程：經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn),的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為(除)，其中是待定的系數(shù)(3)平行直線(xiàn)系方程：直線(xiàn)中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)

30、，表示平行直線(xiàn)系方程與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)系方程是()，是參變量(4)垂直直線(xiàn)系方程：與直線(xiàn) (A0，B0)垂直的直線(xiàn)系方程是,是參變量9點(diǎn)到直線(xiàn)的距離 (點(diǎn),直線(xiàn)：).10或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線(xiàn)，若A0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，若A0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，可記為“x 為正開(kāi)口對(duì)，X為負(fù)背靠背“。（正負(fù)指X的系數(shù)A，開(kāi)口對(duì)指”，背靠背指0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于十五 圓錐曲線(xiàn)共性問(wèn)題1兩個(gè)常見(jiàn)的曲線(xiàn)系方程(1)過(guò)曲線(xiàn),的交點(diǎn)的曲線(xiàn)系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線(xiàn)系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線(xiàn).5直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)公式

31、或（弦端點(diǎn)A由方程 消去y得到，,為直線(xiàn)的傾斜角，為直線(xiàn)的斜率）. 2涉及到曲線(xiàn)上的 點(diǎn)A，B及線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的關(guān)系時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法：，比如在橢圓中：3圓錐曲線(xiàn)的兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（1）曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是.（2）曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是.4“四線(xiàn)”一方程 對(duì)于一般的二次曲線(xiàn)，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.十六 立體幾何1證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線(xiàn)同與第三條直線(xiàn)平行；（3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2證明直線(xiàn)與平面的平行的思考途徑（

32、1）轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.4證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)與另一線(xiàn)的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)與形成射影的斜線(xiàn)垂直.5證明直線(xiàn)與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面內(nèi)任一直線(xiàn)垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面內(nèi)相交二直線(xiàn)垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面的一條垂線(xiàn)平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與兩個(gè)垂直平面的交線(xiàn)垂直.6證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）

33、轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：ab=ba(2)加法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(3)數(shù)乘分配律：(ab)=ab7.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)所表示的向量.8.共線(xiàn)向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b0 )，ab存在實(shí)數(shù)使a=b三點(diǎn)共線(xiàn).、共線(xiàn)且不共線(xiàn)且不共線(xiàn).9.共面向量定理 向量p與兩個(gè)不共線(xiàn)的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，

34、有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.10.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，滿(mǎn)足（），則當(dāng)時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面四點(diǎn)共面與、共面（平面ABC）.11.空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使pxaybzc推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則a，e=ae12.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)

35、a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；123.設(shè)A，B，則= .13空間的線(xiàn)線(xiàn)平行或垂直設(shè)，則；.125.夾角公式 設(shè)a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.14. 四面體的對(duì)棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線(xiàn)所成角=（其中（）為異面直線(xiàn)所成角，分別表示異面直線(xiàn)的方向向量）15.直線(xiàn)與平面所成角(為平面的法向量).16.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.17.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.18.二面角的平面

36、角或（，為平面，的法向量）.19.三余弦定理設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線(xiàn)，且BCAC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.20. 三射線(xiàn)定理若夾在平面角為的二面角間的線(xiàn)段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).21.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則 =.135.點(diǎn)到直線(xiàn)距離(點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)的方向向量a=，向量b=).22.異面直線(xiàn)間的距離 (是兩異面直線(xiàn)，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).137.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線(xiàn)，）.23.異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)距離公式 .（）.

37、(兩條異面直線(xiàn)a、b所成的角為，其公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度為h.在直線(xiàn)a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,). 139.三個(gè)向量和的平方公式 24. 長(zhǎng)度為的線(xiàn)段在三條兩兩互相垂直的直線(xiàn)上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的公式是其特例）.25. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).26. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是和,則.27作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線(xiàn)，則這三條交線(xiàn)交于一點(diǎn)或互相平行.28棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似

38、，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比29.歐拉定理(歐拉公式) (簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.30.球的半徑是R，則其體積,其表面積31.球的組合體 (1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng). (2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)

39、切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng). (3) 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.32柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.十七 排列組合1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）.2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.3排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.4排列恒等式 (1）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .5組合數(shù)公式 =(N*，且).6組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定.7組合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.

40、(6).(7). (8).(9).（）.8排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .9單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有種；某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類(lèi)問(wèn)題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空 個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有種排法.（4）兩組相同元素的

41、排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.10分配問(wèn)題（1）(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 .（5）(非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，件無(wú)記號(hào)的堆，且，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.（6）(非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，件無(wú)記號(hào)的堆，且，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.（7）(限定分組有歸屬問(wèn)題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，時(shí)，則無(wú)論，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.11 “錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為.推廣: 個(gè)元素與個(gè)