曲線的凹凸性及曲率解析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 曲線的凹凸性及曲率解析曲線的凹凸性及曲率解析 問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? x y o A B C x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B a b B A 問題問題: 如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性? 第1頁/共32頁 定義定義 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上 任意一點的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)任意一點的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū) 間內(nèi)是間內(nèi)是凹凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于 其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在這其上任意一

2、點的切線的下方，則稱曲線在這 個區(qū)間內(nèi)是個區(qū)間內(nèi)是凸凸的的 x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B a b B A 一、（一）一、（一）曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點 第2頁/共32頁 x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B 遞增遞增)(x f a b B A 0 y 遞減遞減)(x f 0 y 第3頁/共32頁 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)內(nèi) 存在二階導(dǎo)數(shù)，存在二階導(dǎo)數(shù)， )(xf),(ba (2)(2)若時，恒有，則曲若時，恒有，則曲 線在內(nèi)線在內(nèi)凸的凸的 bxa 0)( x f )(xfy ),(ba ),(ba bxa0

3、)( x f )(xfy (1)(1)若時，恒有，則若時，恒有，則 曲線曲線 在內(nèi)在內(nèi)凹的凹的； 第4頁/共32頁 例例. 3 的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,3 2 xy ,6xy 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y 為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,( 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y 為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點點注意到注意到, 第5頁/共32頁 （二）曲線的拐點（二）曲線的拐點 第6頁/共32頁 求拐點的一般步驟：求拐點的一般步驟： 令，解出全部根，并求出所令，解出全部根，并求出所 有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點；有二階導(dǎo)

4、數(shù)不存在的點； 0)( x f )(x f 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)； 對步驟求出的每一個點，檢查其左、對步驟求出的每一個點，檢查其左、 右鄰近的的符號，如果異號則該點為曲右鄰近的的符號，如果異號則該點為曲 線的拐點；如果同號則該點不是曲線的拐點線的拐點；如果同號則該點不是曲線的拐點 )(x f 第7頁/共32頁 第8頁/共32頁 第9頁/共32頁 xxy2436 2 )(36 3 2 xx 143 34 xxy的凹凸區(qū)間及拐點 . 解解:1) 求 y ,1212 23 xxy 2) 求拐點可疑點坐標(biāo) 令 0 y 得,0 3 2 21 xx對應(yīng) 3) 列表判別 27 11 21 ,1

5、yy )0,( ),0( 3 2 ),(3 2 y x y 0 3 2 00 1 27 11 故該曲線在 )0,( ),(3 2 及上是凹的, 是凸的 , 點 ( 0 , 1 ) 及),( 27 11 3 2 均為拐點. 上在),0( 3 2 凹 凹 凸 3 2 ) 1 , 0( ),( 27 11 3 2 第10頁/共32頁 x o y l )(xfy ) ,(yxP 二、二、 漸近線漸近線 第11頁/共32頁 2021-7-1513 (1)垂直漸近線 lim( )() (lim( )() ( ) xa xa f x f x xa yf x 若 或 則直線 為曲線的 垂直漸近線. x y o

6、 )(xfy a ax 曲線漸近線的分類曲線漸近線的分類 第12頁/共32頁 x y o 2 2 xytan x y o 2 xycot 第13頁/共32頁 () lim( )(), ( ). x x f xA AyA yf x 若為常數(shù) 則直線是曲線 的水平漸近線 水水平平漸漸近近線線)2( 注意：注意：只有當(dāng)函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間時，只有當(dāng)函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間時， 其曲線才有可能存在水平漸近線其曲線才有可能存在水平漸近線 第14頁/共32頁 解解因為，所以是曲因為，所以是曲 線的水平漸近線線的水平漸近線 0y0 5 1 lim x x 又因為又因為5 5是的間斷點是的間斷點, ,且且 ，

7、所以是曲線的鉛垂?jié)u近線，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線 5 1 x y 5x 5 1 lim 5xx 例例 求曲線的水平漸近線求曲線的水平漸近線 和鉛垂?jié)u近線和鉛垂?jié)u近線. . 5 1 x y 第15頁/共32頁 例例 求曲線的水平漸近線和求曲線的水平漸近線和 鉛垂?jié)u近線鉛垂?jié)u近線. . 2 2 1 23 x x y 解解因為，所以因為，所以 是曲線的水平漸近線是曲線的水平漸近線 3y3 1 23 lim 2 2 x x y x 2 2 1 1 23 lim x x x 又因為又因為1 1和和-1-1是的間斷點，且是的間斷點，且 ，所以，所以 和是曲線的鉛垂?jié)u近線和是曲線的鉛垂?jié)u近線 2 2 1 23

8、 x x y 2 2 1 1 23 lim x x x 1x 1x 第16頁/共32頁 步驟步驟 : 1. 確定函數(shù))(xfy 的定義域 , 期性 ; 2. 求 , )(, )(xfxf 并求出 )(x f 及)(x f 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點 ; 4. 求漸近線 ; 5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 . 為 0 和不存 在 的點 ; 并考察其對稱性及周 第17頁/共32頁 2 23 3 1 xxy的圖形. 解解: 1) 定義域為, ),( 無對稱性及周期性. 2),2 2 xxy,22 xy ,0 y 令2,0 x得 ,0 y 令1x得 3) x y y y

9、012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2( 00 2 3 4 (極大)(拐點 ） 3 2 (極小) 4) x y 13 3 2 2 0 1231 第18頁/共32頁 )()(xfxf ， 第19頁/共32頁 第20頁/共32頁 2 x ey 2 1 12 o 1 1 x y 第21頁/共32頁 M N 1 N 1 1 MNMN N 1 N M 1 M 1 , 1, MNMN 四、平面曲線的曲率四、平面曲線的曲率- 曲線的彎曲程度彎曲程度決定于描述曲線在一點的彎曲程度描述曲線在一點的彎曲程度 s 第22頁/共32頁 在光滑弧上自點 M 取弧段 ,s對應(yīng)切線轉(zhuǎn)角, 定義弧段 上的平均曲率s

10、 s K M M s 點 M 處的曲率 s K s 0 lim sd d o x y 曲率曲率K 的計算公式的計算公式 2 3 )1( 2 y y K 第23頁/共32頁 解解: 如圖所示 , Rs s K s 0 lim R 1 可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ; R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 . s R M M 第24頁/共32頁 2 yaxbxc拋物線 例例上哪一點處的曲率最大？ 解：解：根據(jù)曲率的計算公式 2 3 )1( 2 y y K 由 2,yaxb2 ,ya 代入公式得 32 2 2 (1 (2) ) a K axb 若 a, b 給定，則 2

11、0axb 時，曲率 K 最大， 即,|2 | 2 b xKa a 即拋物線的頂點處曲率最大即拋物線的頂點處曲率最大 第25頁/共32頁 y xo T R P C D 設(shè) P 為曲線 C 上任一點 , 在點 在曲線 1 DPR K 把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點 P 處的 曲率圓曲率圓 ( 密切圓密切圓 ) , R 叫做曲率半徑曲率半徑, D 叫做曲率中心曲率中心. P 處作曲線的切線和法線, 的凹向一側(cè)法線上取點 D 使 0 lim s s R 1 P 第26頁/共32頁 第27頁/共32頁 第28頁/共32頁 1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別 Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞增 Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減 2.曲線凹凸與拐點的判別 Ixxf ,0)( 上向上凹在 曲線 I xfy)( Ixxf ,0)( + 拐點 連續(xù)曲線上的凹凸分界點 ( )yf x曲線 在I上向下凹 第29頁/共32頁 3. 連續(xù)函數(shù)的極值 (1) 極值可疑點 : 使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點 (2) 第一充分條件 )(x f 過 0 x由正正變負(fù)負(fù))( 0 xf為極大值 )(x f 過0 x 由負(fù)負(fù)變正正 )( 0 xf為極小值 (3) 第二充分條件 0)(,0)( 00 xfxf)( 0 xf為極大值 )( 0 xf為極小值0)(,0)( 00 xfxf 最值點應(yīng)在極值點