大物習(xí)題答案第4章 機械振動

1、第4章 機械振動4.1基本要求1掌握描述簡諧振動的振幅、周期、頻率、相位和初相位的物理意義及之間的相互關(guān)系2掌握描述簡諧振動的解析法、旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會用于簡諧振動規(guī)律的討論和分析3掌握簡諧振動的基本特征，能建立一維簡諧振動的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧振動的運動方程，并理解其物理意義4理解同方向、同頻率簡諧振動的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡諧振動合成的特點4.2基本概念1簡諧振動 離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）規(guī)律隨時間變化的運動稱為簡諧振動。簡諧振動的運動方程 2振幅A 作簡諧振動的物體的最大位置坐標(biāo)的絕對值。3周期T 作簡諧振動的物體完成一次全振動所需

2、的時間。4頻率 單位時間內(nèi)完成的振動次數(shù)，周期與頻率互為倒數(shù)，即5圓頻率 作簡諧振動的物體在秒內(nèi)完成振動的次數(shù)，它與頻率的關(guān)系為6相位和初相位 簡諧振動的運動方程中項稱為相位，它決定著作簡諧振動的物體狀態(tài)；t=0時的相位稱為初相位7簡諧振動的能量 作簡諧振動的系統(tǒng)具有動能和勢能。彈性勢能 動能 彈簧振子系統(tǒng)的機械能為 8阻尼振動 振動系統(tǒng)因受阻尼力作用，振幅不斷減小。9受迫振動 系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。周期性外力稱為驅(qū)動力。10共振 驅(qū)動力的角頻率為某一值時，受迫振動的振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象。4.3基本規(guī)律1一個孤立的簡諧振動系統(tǒng)的能量是守恒的物體做簡諧振動時，其動能和勢能都隨時間做周期性

3、變化，位移最大時，勢能達(dá)到最大值，動能為零；物體通過平衡位置時，勢能為零，動能達(dá)到最大值，但其總機械能卻保持不變，且機械能與振幅的平方成正比。圖4.1表示了彈簧振子的動能和勢能隨時間的變化（）。為了便于將此變化與位移隨時間的變化相比較，在下面畫了x-t曲線，由圖可以看出，動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。圖4.1 彈簧振子的動能和勢能隨時間的變化2簡諧振動的合成若一個質(zhì)點同時參與了兩個同方向、同頻率的簡諧振動，即合振動仍是一個角頻率為的簡諧振動。合位移合振動的振幅合振動的初相振動加強：， 振動減弱：， 當(dāng)取其他值時 若兩個振動同方向，但不同頻率，則合成振動不再是周期振動，而是振幅隨

4、時間周期性變化的振動。若兩振動的振動方向相互垂直，頻率相同。一般情況下，合成振動軌跡為一橢圓。若兩個相互垂直的振動頻率不相同，且為簡單比關(guān)系，則其合成振動的軌跡為封閉的曲線，曲線的具體形狀取決于兩個振動的頻率比。若兩頻率比為無理數(shù)，則合成運動軌跡永不封閉。4.4學(xué)習(xí)指導(dǎo)1重點解析簡諧振動的運動學(xué)問題是本章的重點內(nèi)容之一，主要有以下兩種類型：（1）已知簡諧振動表達(dá)式求有關(guān)物理量（2）已知運動情況或振動曲線建立簡諧振動表達(dá)式對于類型（1）主要采用比較法，就是把已知的振動表達(dá)式與簡諧振動的一般表達(dá)式加以比較，結(jié)合有關(guān)公式求得各物理量。對于類型（2）的解題方法，一般是根據(jù)題給的條件，求出描述簡諧振動的

5、三個特征量、,然后將這些量代入簡諧振動的一般式，就得到要求的運動表達(dá)式。其中角頻率由系統(tǒng)的性質(zhì)決定,.振幅A可由初始條件求出，；或從振動曲線上直接看出。初相有兩種解法，一是解析法，即從初始條件得到,這里有兩個值，必須根據(jù)條件去掉一個不合理的值；另一是旋轉(zhuǎn)矢量法，正確畫出振幅矢量圖，這是求初相最簡便且直觀的方法。例 如圖4-2所示為某質(zhì)點作簡諧振動的曲線。求該質(zhì)點的振動方程。圖4-2分析：若要求質(zhì)點的振動方程，必須求出三個特征量、。利用振動曲線可以看出，t=0時刻，質(zhì)點位移，t=0.5s時，x=0。利用這些信息可以確定、。解：方法1 解析法t=0時，于是有解得：圖4-3由t=0時刻對應(yīng)的曲線斜率

6、可知，所以質(zhì)點速度，即：所以為求，先寫出質(zhì)點振動方程將t=0.5s，x=0代入上式得，同樣結(jié)合該點的速度方向可以得到，所以質(zhì)點的振動方程是方法2：旋轉(zhuǎn)矢量法由振動曲線可知，t=0時刻，質(zhì)點位移，質(zhì)點速度，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖4-3所示，由圖可知。t=0.5s時，x=0，。此運動狀態(tài)對應(yīng)矢量，即旋轉(zhuǎn)矢量由t=0時的經(jīng)0.5s轉(zhuǎn)至，共轉(zhuǎn)了，質(zhì)點的振動方程是2難點釋疑疑難點1 旋轉(zhuǎn)矢量圖4-4自O(shè)x軸的原點O作一矢量，使它的模等于振動的振幅A，并使矢量在Oxy平面內(nèi)繞點O作逆時針方向的勻角速轉(zhuǎn)動，其角速度與振動的角頻率相等，這個矢量就叫做旋轉(zhuǎn)矢量。如圖4-4所示。旋轉(zhuǎn)矢量的矢端在Ox軸上的投影點的運動

7、，可表示物體在Ox軸上的簡諧振動。旋轉(zhuǎn)矢量與簡諧振動的物理量之間的對應(yīng)關(guān)系如表4-1所示。表4-1 旋轉(zhuǎn)矢量與簡諧振動的物理量之間的對應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)矢量是研究簡諧振動的一種比較直觀的方法，可以使運動的各個物理量表現(xiàn)得直觀，運動過程顯示得清晰，有助于簡化簡諧振動討論中的數(shù)學(xué)處理。但必須指出，旋轉(zhuǎn)矢量本身并不在作簡諧振動，而是旋轉(zhuǎn)矢量端點的投影點在作簡諧振動。問題：簡諧振子從平衡位置運動到最遠(yuǎn)點所需的時間為嗎？走過該距離的一半所需的時間是嗎？振子從平衡位置出發(fā)經(jīng)歷時運動的位移是多少？解析 從平衡位置運動到最遠(yuǎn)點對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖4-5中的角度變化是，所需的時間振子的速度不是常數(shù)，振子做變速直線運動，所以走

8、過該距離的一半所需的時間不是。振子從平衡位置運動到處（OM 位置）時，振幅矢量轉(zhuǎn)過了的角度，即圖4-5即振子從平衡位置運動到所用的時間是，而不是。振子從運動到平衡位置所用的時間是。振子從平衡位置出發(fā)經(jīng)歷時運動的位移是疑難點2 當(dāng)一個彈簧振子的振幅加倍時，則振動周期、最大速度、質(zhì)點受力最大值和振動能量如何變化？解析 彈簧振子的振幅一般由初始條件確定。振幅加倍時，振動周期不變，因為對于給定的彈簧振子系統(tǒng)其周期是一定的，即；最大速度的表達(dá)式是，所以振幅加倍時最大速度也加倍，質(zhì)點受力最大值為f=kA，所以振幅加倍時受力最大值也加倍；簡諧振動系統(tǒng)中機械能守恒為，所以振幅加倍時振動能量變?yōu)樵瓉?倍4.5習(xí)

9、題解答4.1 兩根輕彈簧和一質(zhì)量為m的物體組成一振動系統(tǒng),彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2,串聯(lián)后與物體相接,則此系統(tǒng)的固有頻率為等于 k1k2習(xí)題4.1圖m(A) (B) (C) (D) 解析：正確答案（B）兩彈簧k1和k2串聯(lián)后可等效為勁度系數(shù)k的彈簧，設(shè)k1和k2的形變量分別為x1和x2，k的形變量為 x，則有xx1+x2，亦即據(jù)此可確定系統(tǒng)的固有頻率為4.2 把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開，使擺線與豎直方向成一微小角度，然后由靜止放手任其振動，從放手時開始計時。若用余弦函數(shù)表示其運動方程，則該單擺振動的初相為 (A) (B)/2 (C) 0 (D) 解析：正確答案（C）由已知條件可知其

10、初始時刻的位移正向最大。利用旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，初相相位是0。選（C）4.3 用余弦函數(shù)描述一簡諧振動。已知振幅為A，周期為T，初相，則振動曲線為 習(xí)題4.3圖解析：正確答案（A）由已知條件可知：初始時刻振動的位移是，速度是，方向是向y軸正方向，則振動曲線上t=0時刻的斜率是正值。習(xí)題4.4圖4.4 已知某簡諧振動的振動曲線如圖所示，位移的單位為厘米，時間單位為秒。則此簡諧振動的振動方程為： （A）cm（B）cm（C）cm（D）cm解析：正確答案（D）由振動圖像可知，初始時刻質(zhì)點的位移是，且向y軸負(fù)方向運動，下圖是其對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，由圖可知，其初相位是，振動曲線上給出了質(zhì)點從到的時間是1s，其對

11、應(yīng)的相位從變化到，所以它的角速度。簡諧振動的振動方程為4.5 質(zhì)點作簡諧振動，已知振動周期為T，則其振動動能變化的周期是 (A) T/4 (B) T/2(C) T (D) 2T解析：正確答案（B）質(zhì)點作簡諧振動的動能表達(dá)式是，可見其變化的周期是簡諧振動周期的。4.6 設(shè)某人一條腿的質(zhì)量為m，長為，當(dāng)他以一定頻率行走時最舒適，試用一種簡單的模型估算出該人行走最舒適的頻率應(yīng)為 （A）（B）（C）（D）解析：正確答案（D）可以將人行走時腿的擺動當(dāng)作復(fù)擺模型，這樣人行走時最舒適的頻率應(yīng)是復(fù)擺的簡諧振動頻率。此人的一條腿可看成是一個質(zhì)量為m，長為的細(xì)長桿，它繞端點的轉(zhuǎn)動慣量,根據(jù)復(fù)擺的周期公式，這里。故

12、頻率習(xí)題4.7圖4.7 圖中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線。若這兩個簡諧振動可疊加，則合成的余弦振動的初相為 （A） （B）（C） （D）0解析：正確答案（B）由振動曲線可知，這是兩個同振動方向，同頻率簡諧振動，它們的相位差是，運動方程分別是和，它們的振幅不同，對于這樣兩個簡諧振動，可用旋轉(zhuǎn)矢量法，很方便求得合運動方程是。4.8 質(zhì)點作諧振動，周期為T，當(dāng)它由平衡位置向x軸負(fù)方向運動時，從處到-A處這段路程所需要的時間為 （A） （B） （C） （D）解析：正確答案（B）已知條件結(jié)合對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，它由平衡位置向x軸負(fù)方向運動時在處對應(yīng)的相位是，位移是-A處對應(yīng)的相位是，所以這段路程的相位差

13、是，對應(yīng)的時間是4.9 彈簧振子作簡諧振動，已知此振子勢能的最大值為100J，當(dāng)振子處于最大位移的一半時其動能為 （A）25J （B）50J （C）75J （D）100J解析：正確答案（C）物體做簡諧振動時，振子勢能的表達(dá)式是，其動能和勢能都隨時間做周期性變化，物體通過平衡位置時，勢能為零，動能達(dá)到最大值；位移最大時，勢能達(dá)到最大值，動能為零，但其總機械能卻保持不變。當(dāng)振子處于最大位移的一半時其勢能為，所以此時的動能是。4.10一質(zhì)點作簡諧振動，速度最大值，振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一時刻為t=0,則振動表達(dá)式為。解析：速度的最大值，A=0.02m，所以。振動的一般表達(dá)式，現(xiàn)在只

14、有初相位沒確定，速度具有正最大值的時位于原點處，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知：，振動表達(dá)式為4.11已知一個諧振子的振動曲線如圖所示，求：（1）a、b、c、d、e各狀態(tài)的相位分別為 。習(xí)題4.11圖解析：0、結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量圖，振動曲線上的a、b、c、d、e對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖上的a、b、c、d、e,所以其相位分別是0、習(xí)題4.12圖4.12 一簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，振幅矢量長2cm，則該簡諧振動的初相為 ，振動方程為。解析：，振動方程的一般表達(dá)式是，是指t=0時對應(yīng)的相位，也是初相位。由圖可知t=0時的角度是，所以該簡諧振動的初相為。角速度是。代入振動方程可得。4.13 一單擺的懸線長l=1.5m,在頂端

15、固定點的豎直下方0.45m處有一小釘，如圖所示。設(shè)擺動很小，則單擺的左右兩方振幅之比的近似值為 。習(xí)題4.13圖解析：0.84左右擺動能量應(yīng)相同，應(yīng)有，所以4.14 質(zhì)點按如下規(guī)律沿ox軸作簡諧振動：，求此振動的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。解析：本題屬于由運動方程求解簡諧振動各特征量的問題，可采用比較法求解。即將已知的簡諧運動方程與簡諧運動方程的一般形式作比較，即可求得各特征量，而速度和加速度的計算與質(zhì)點運動學(xué)中由運動方程求解速度和加速度的計算方法相同。將該簡諧振動的表達(dá)式與簡諧運動方程的一般形式作比較后可得：周期是0.25s, 振幅是0.1m, 初相位是，速度最大值，加速度最

16、大值習(xí)題4.15圖4.15 質(zhì)點的振動曲線如圖所示。試求：（1）振動表達(dá)式（2）點P對應(yīng)的相位（3）到達(dá)點P對應(yīng)位置所需時間。解析：（1）根據(jù)振動曲線對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)振幅矢量可知，初相，從t=0到t=1s時間內(nèi)相位差為，所以角頻率為可得振動表達(dá)式為(2)P點相對應(yīng)的相位為0。(3)到達(dá)P點所需時間為4.16 沿x軸作簡諧振動的小球，振幅A=0.04m，速度的最大值。若取速度為正的最大值時t=0。試求：（1）振動頻率；（2）加速度的最大值；（3）振動的表達(dá)式。解析：速度的最大值，A=0.04m，。（2）加速度的最大值。（3）速度為正的最大值時t=0，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知：4.17 物體沿x軸作簡諧振動,振

17、幅為6.0cm，周期為2.0s，在 t=0時物體位于 3.0cm處且向負(fù)x方向運動求：（1）初相位；（2）t1.0s時，物體的位置、速度和加速度分析:初相位的確定可采用兩種方法：旋轉(zhuǎn)矢量法和解析法。解析； （1）取平衡位置為坐標(biāo)原點，質(zhì)點的運動方程可寫為,現(xiàn)在用旋轉(zhuǎn)矢量法求解初相位。根據(jù)初始條件，初始時刻旋轉(zhuǎn)矢量 A 的矢端應(yīng)在圖中的M位置，所以.M(2)依題意，A=0.06m，T=2.0s，則.質(zhì)點的運動方程可寫為,t=1.0s代入上式，可得：把已知量代入上式可得：、？ 4.18 在一平板上放一質(zhì)量為m=2kg的物體，平板在豎直方向作簡諧振動，其振動周期為T=0.5s，振幅A=4cm，求：（

18、1）物體對平板的壓力的表達(dá)式；（2）平板以多大的振幅振動時，物體才能離開平板？解析：（1）設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點，向上為正方向，t=0時刻，振動的相位為零，GN則平板的運動方程是物體的運動和平板相同。分析物體受力可知： 所以根據(jù)牛頓第三定律可知物體對平板的壓力與平板對物體的支持力是一對作用力與反作用力。所以物體對平板的壓力（2）當(dāng)平板振動的最大加速度大于g時，物體能離開平板習(xí)題4.19圖4.19一彈簧振子由彈性系數(shù)為k的輕彈簧和質(zhì)量為M的物塊組成，將彈簧的一端與頂板相連。開始時物塊靜止，一顆質(zhì)量為m、速度為v0的子彈由下而上射入物塊，且留在物塊中。求子彈留在物塊中系統(tǒng)的振幅與周期，并求出系統(tǒng)的總

19、振動能量。解析：子彈擊中物塊后系統(tǒng)的角頻率為，所以周期為。設(shè)子彈擊中物塊后系統(tǒng)獲得速率為v，由動量守恒定律可得.子彈進(jìn)入物塊后，振子的平衡位置改變了，以新的平衡位置為坐標(biāo)原點，豎直向下為x軸正方向。以子彈進(jìn)入物塊的瞬間為計時零點，則t=0時刻，振子的初位移為，其中為子彈未進(jìn)入物塊時彈簧的伸長量，;為子彈進(jìn)入物塊后彈簧的伸長量，因此方法一：根據(jù)已知條件可得振子的振幅為：系統(tǒng)的總振動能量方法2：子彈射入物塊后，系統(tǒng)的機械能守恒，所以系統(tǒng)的總振動能量即為初始時刻的振動能量，4.20 一物體質(zhì)量為0.25 kg，在彈性力作用下作簡諧振動，彈簧的勁度系數(shù)k = 25 Nm1，如果起始振動時具有勢能0.06J和動能0.02J，求 (1) 振幅； (2) 動能恰等于勢能時的位移； (3) 經(jīng)過平衡位置時物體的速度。解析：物體做簡諧振動時，振子勢能的表達(dá)式是，動能表達(dá)式是。其動能和勢能都隨時間做周期性變化，物體通過平衡位置時，勢能為零，動能達(dá)到最大值；位移最大時，勢能達(dá)到最大值，動能為零，但其總機械能卻保持不變?yōu)?。?） 由于振動過程總機械能卻保持不變，A=0.08m。（2） 動能恰等于勢能時，也就是此時勢能是總機械能的一半，（3）通過平衡位置時，勢能為零，動能達(dá)到最大值，此時， .4.21一作簡諧振動的振動系統(tǒng)，振子質(zhì)量為2kg，系統(tǒng)振動頻率為1000Hz，振幅為0.5cm，則其振動能量是多