【公開(kāi)課】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、-1- 2 2.1 1.2 2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò) 1.掌握橢圓的范圍、對(duì)稱 性、中心、頂點(diǎn)、軸、離 心率等幾何性質(zhì); 2.能夠應(yīng)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程研究橢圓的幾何性質(zhì); 3.掌握根據(jù)橢圓的幾何性 質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題的方法. 課前篇自主預(yù)習(xí) 【思考】觀察橢圓 (ab0)的形狀(如圖),你能從圖中看 出它的范圍嗎?它具有怎樣的對(duì)稱性?橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊? 提示:(1)范圍:-axa,-byb; (2)對(duì)稱性:橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱; (3)特殊點(diǎn):頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b). 課前篇自主預(yù)習(xí) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 課

2、前篇自主預(yù)習(xí) 課前篇自主預(yù)習(xí) 名師點(diǎn)撥 1.橢圓的范圍決定了橢圓的大小,它位于直線x=a和 y=b所圍成的矩形框里.其實(shí)質(zhì)是給出了橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱 坐標(biāo)的取值范圍,在求解一些存在性、判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng) 用,也可用于求最值和軌跡等問(wèn)題時(shí)的檢驗(yàn). 2.應(yīng)用方程研究曲線對(duì)稱性的方法如下: (1)若把曲線方程中的x換成-x,方程不變,則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱; (2)若把曲線方程中的y換成-y,方程不變,則曲線關(guān)于x軸對(duì)稱; (3)若同時(shí)把曲線方程中的x換成-x,y換成-y,方程不變,則曲線關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱. 課前篇自主預(yù)習(xí) 3.橢圓的離心率 4.橢圓的通徑:過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓所截

3、得的 弦叫做橢圓的通徑,其長(zhǎng)度為 . 課前篇自主預(yù)習(xí) 【做一做1】 橢圓x2+9y2=36的短軸端點(diǎn)為. 答案:(0,2) 課前篇自主預(yù)習(xí) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì) 例1求橢圓9x2+16y2=144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn) 坐標(biāo). 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟 (1)化標(biāo)準(zhǔn):把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式; (2)定位置:根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分母的大小確定焦點(diǎn)的位置; (3)求參數(shù):寫(xiě)出a,b的值,并求出c的值; (4)寫(xiě)性質(zhì):按要求寫(xiě)出橢圓的簡(jiǎn)

4、單幾何性質(zhì). 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 延伸探究 本例中若把橢圓方程改為“9x2+16y2=1”,求其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短 軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo). 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程 例2根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是(0,2),離心率e=; (2)橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為(-6,0),短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成 一個(gè)正三角形. 分析(1)焦點(diǎn)位置不確定,應(yīng)進(jìn)行分類討論;(2)焦點(diǎn)位置確定,可根據(jù) 題目條件求出a,b,c的值即得方程. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思

5、維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路 (1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),求其標(biāo)準(zhǔn)方程主要采用待定系數(shù)法,解題 步驟為: 確定焦點(diǎn)所在的位置,以確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式; 確立關(guān)于a,b,c的方程(組),求出參數(shù)a,b,c; 寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo) 軸,從而確定方程的形式,若不能確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸,則應(yīng)進(jìn)行分 類討論.一般地,已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可以確定焦點(diǎn)位置,而已知 離心率、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距時(shí),則不能確定焦點(diǎn)位置.

6、課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練1根據(jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0). (2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直,且焦距為8. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 橢圓的離心率問(wèn)題橢圓的離心率問(wèn)題 例3(1)已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng),求橢圓的離心率的取值范圍; (2)橢圓 (ab0)的半焦距為c,若直線y=2x與橢圓一個(gè) 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c,求橢圓的離心率. 分析(1)依題意建

7、立c與b的不等式,再轉(zhuǎn)化為a,c的不等式,即可求得 離心率的取值范圍;(2)根據(jù)題意,建立參數(shù)a,b,c的方程求解,注意橢 圓定義的靈活運(yùn)用. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟求橢圓離心率的值或范圍的兩種方法 (2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,借助 于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于c,a的齊次方程或不等式,再將方程或不等 式兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,即可求得e 的值或范圍. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練2(1)若直線l:x-2

8、y+2=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,則 橢圓的離心率為() (2)若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距構(gòu)成等比數(shù)列,則該橢圓的離心 率等于. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 一題多變求橢圓的離心率 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 答案:D 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練1若將本例中“PF2F1F2,PF1F2=30”改為 “PF2F1=75,PF1F2=45”,求C的離心率. 解:如圖,在PF1F2中, PF1F2=45,PF2F1=75, F1PF2=60, 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

9、為2a, 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練2若將本例中“PF2F1F2,PF1F2=30”改為“C上存在點(diǎn) P,使F1PF2為鈍角”,求C的離心率的取值范圍. 解:由題意,知cb,c2b2. 又b2=a2-c2,c2a2-c2,即2c2a2. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 1.橢圓6x2+y2=6的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是() A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1) 答案:D 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 答案:B 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 3.已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積為10,兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的 兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積為5,則橢圓的離心率為() 答案:C 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 4.如果橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在x