力學(xué)數(shù)學(xué)預(yù)備知識(微積分與矢量)

1、1 微積分學(xué)概要微積分學(xué)概要 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它 是一種數(shù)學(xué)思想，是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分無限細(xì)分”就是微就是微 分，分，“無限求和無限求和”就是積分。就是積分。 十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成 了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分 別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微 積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是 理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)槔碚摶A(chǔ)是不牢固的。因?yàn)椤盁o限無限”的的 概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行概念

2、是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行 演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維 爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等 建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得 以嚴(yán)密化。以嚴(yán)密化。 牛頓牛頓 2 極極 限限 極限極限對對 y = f (x) ，若，若 x 無限趨近某一數(shù)值無限趨近某一數(shù)值x0 ，f (x) 則無限趨近某一確定數(shù)值則無限趨近某一確定數(shù)值a，則，則a就是函數(shù)就是函數(shù)f (x)在在x趨近趨近x0 時(shí)的極限，記作：時(shí)的極限，記作： 0 lim( ) xx f xa 3 若函數(shù)若函數(shù) y = f (x) 在

3、某一區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)均可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)均可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù) f (x) 也是自變量也是自變量 x 的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)函數(shù) f(x) 對對 x 的導(dǎo)數(shù)叫做的導(dǎo)數(shù)叫做 y 對對 x 的二階導(dǎo)數(shù)，定義為：的二階導(dǎo)數(shù)，定義為： ()( ) 00 ( )limlim yf xxf x xx xx fx y Q P x y x ()( ) 0 ( )lim fxxfx x x fx 函數(shù)函數(shù)y=f(x)對自變量對自變量x的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)， 就是就是y對對x的變化率，定義為：的變化率，定義為： 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 4 微微 分分 若函數(shù)若函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo),

4、則導(dǎo)數(shù)則導(dǎo)數(shù)f (x)與自變量與自變量 增量增量dx（稱為：（稱為：自變量的微分自變量的微分）的乘積，就叫做）的乘積，就叫做 函數(shù)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處的微分（稱為：處的微分（稱為：函數(shù)的微函數(shù)的微 分分） ，記作：，記作： dy = f (x)dx 2 2 dddd ( ) ( )() dddd yyy fxfx xxxx （一階微分）（二階微分） 函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的微分稱為一階微分；一階微分函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的微分稱為一階微分；一階微分 的微分稱為二階微分；二階微分及以上的微分稱為的微分稱為二階微分；二階微分及以上的微分稱為 高階微分。高階微分。 5 極值點(diǎn)的充要條件是在該

5、點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，且極值點(diǎn)的充要條件是在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，且 在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號。因此，令在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號。因此，令 f(x) = 0 即即 可求出極值點(diǎn)可求出極值點(diǎn)x0 若若 f(x0) 0，則為極大值點(diǎn)，則為極大值點(diǎn) 若若 f(x0) 0，則為極小值點(diǎn)，則為極小值點(diǎn) 函數(shù)的極值點(diǎn)和極值函數(shù)的極值點(diǎn)和極值 x y x1x2 6 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 導(dǎo)數(shù)定義給出了求導(dǎo)方法導(dǎo)數(shù)定義給出了求導(dǎo)方法 例如，求例如，求 y = x2 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)： 22 2 0 ()( ) 0 () 0 0 ()lim lim lim lim(2) 2 y x x f xxf x x x xxx x

6、x x x xx x 7 22 22 1 22 1 ln 111 11 11 11 ( )0()(sin )cos (cos )sin()sec()csc ()ln( )(log) (ln )(arcsin )(arccos ) ()() nn xxxx axa x xx xx cxnxxx xxtgxxctgxx aaaeex xxx arctgxarcctgx 基本函數(shù)的求導(dǎo)公式基本函數(shù)的求導(dǎo)公式 8 (uv) = u v (uv) = u v + v u (u/v) = (u v - v u)/v2 設(shè)設(shè) y = f(x) 的反函數(shù)為的反函數(shù)為 x = (y) 則則 (y) = 1/ f

7、 (x) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)設(shè)y = f(u) , u = (x)，則則 （連鎖律）（連鎖律） 導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則 ddd ddd yyu xux 9 例例 題題 dcos()dcos() d() sin() dd()d axbaxbaxb aaxb xaxbx 2 22 2 2 22 2 1/2 1/2 2 1/21/2 1 2 2 1/21/2 1 2 1/23/2 ddd () ddd dd() d()d ( 2) (0.52) ax axax ax ax axax ax xe xeex xxx eax xex axx xexeax exax axxaax

8、2)() 22 （ xaxaxax/1)(ln)(ln)ln(ln)/ln( 2222 2)()()(xexexeexex xxxxx 10 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 質(zhì)點(diǎn)沿質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)的速度：軸作直線運(yùn)動(dòng)的速度： d d x x v t 質(zhì)點(diǎn)沿質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)的軸作直線運(yùn)動(dòng)的加速度：加速度： 2 2 dd dd x x vx a tt 電流強(qiáng)度：電流強(qiáng)度： d d q i t 11 不定積分不定積分 1、不定積分的定義、不定積分的定義 若若 F (x) = f(x)，則，則 F(x) + c = f(x)，F(xiàn)(x) + c 就叫就叫 做做 f(x) 的原函數(shù)，有無窮多個(gè)；函數(shù)的原函數(shù)

9、，有無窮多個(gè)；函數(shù) f(x) 的所有原函的所有原函 數(shù)，就叫數(shù)，就叫 f(x) 的不定積分，記為：的不定積分，記為：f(x)dx = F(x) + c 。 其中其中叫做積分號，叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，x叫做積分叫做積分 變量，變量，f(x)dx叫做被積式，叫做被積式，c叫做積分常數(shù)，求已知函叫做積分常數(shù)，求已知函 數(shù)的不定積分的過程叫做對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。數(shù)的不定積分的過程叫做對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。 （積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了導(dǎo)函數(shù)，求原函數(shù)）（積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了導(dǎo)函數(shù)，求原函數(shù)） (sinx)cossincosx cos dsin xxc x xxc 例如

10、：是的原函數(shù) 寫成不定積分的形式： 12 不定積分不定積分. 2、性質(zhì)、性質(zhì) (f(x)dx ) = f(x) (先積后導(dǎo)等于自身先積后導(dǎo)等于自身) f (x)dx = f(x) + c (先導(dǎo)后積等于自身加上任意常先導(dǎo)后積等于自身加上任意常 數(shù)數(shù)) 13 基本積分公式基本積分公式 adx = ax + c af(x)dx = af(x) dx (uv)dx =udxvdx xndx = xn+1/(n+1) + c (n-1) x-1dx=lnx+c axdx = ax/lna + c exdx = ex+ c sinxdx = - cosx + c cosxdx = sinx + c se

11、c2xdx = tgx + c csc2xdx = - ctgx + c 22 d arcsin x a x c ax 2 d arcsin 1 x xc x 22 d x a x arctgc ax 2 d 1 x arctgxc x 14 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 換元積分法換元積分法 適當(dāng)變換積分變量，把被積表達(dá)式化成基本積分公式適當(dāng)變換積分變量，把被積表達(dá)式化成基本積分公式 中的形式（又稱湊積分）中的形式（又稱湊積分） 222 11 22 dd(2 ) xxx exexec 11 sin()dsin()d()cos() aa axbxaxbaxbaxbc 223 1

12、 3 sincos dsind(sin )sinxx xxxxc 221/22222 1 2 22 d ()d() x x xaxaxac xa sindcos ddlncos coscos xx tgx xxxc xx 15 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 分部積分法分部積分法 其基本思路是將不易求得結(jié)果的積分形式，轉(zhuǎn)化為等其基本思路是將不易求得結(jié)果的積分形式，轉(zhuǎn)化為等 價(jià)的但易于求出結(jié)果的積分形式。價(jià)的但易于求出結(jié)果的積分形式。 d(uv) = (uv) dx = u vdx + v udx = vdu + udv 兩邊同時(shí)積分，得：兩邊同時(shí)積分，得： uv = vdu +

13、udv 則則udv = uv - vdu 16 分部積分法分部積分法 例題例題 xexdx = xdex = xex - exdx = xex ex + c lnx dx = x lnx - xdlnx = x lnx - dx = x lnx - x + c 17 不定積分的應(yīng)用不定積分的應(yīng)用 已知加速度求速度已知加速度求速度 已知速度求位矢（或運(yùn)動(dòng)學(xué)方程）已知速度求位矢（或運(yùn)動(dòng)學(xué)方程） （見教材（見教材P3637） 18 定積分定積分 定積分概念定積分概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a,b上連續(xù)，把上連續(xù)，把 a,b分分 成寬為成寬為x的的 n個(gè)小區(qū)間，當(dāng)個(gè)小區(qū)間，當(dāng)

14、n 時(shí)，時(shí)， 的極限叫函數(shù)的極限叫函數(shù) y = f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上的定積分，上的定積分， 記作：記作： n i i x)x(f 1 1 ( )dlim( ) b n i n i a f xxf xx y x ab xixi+x y=f (x) 定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積。定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積。 19 定積分的主要性質(zhì)定積分的主要性質(zhì) ( )d( )d ba ab f xxf xx ( )d( )d bb aa kf xxkf xx ()ddd bbb aaa uvxu xv x ( )d( )d( )d bcb aac f xxf xxf xx 20 牛頓牛頓萊

15、布尼茨公式萊布尼茨公式 設(shè)設(shè)F(x)為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù),即即 F(x)=f(x), 則則 ( )d( )d |( )|( )( ) b bb aa a f xxf xxF xF bF a 稱為稱為牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 （可以證明）（可以證明）。 ( )d( )( ) b a f xxF bF a 牛頓牛頓- -萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián) 系了起來，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿意的系了起來，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿意的 方法。方法。 21 牛頓牛頓萊布尼茨

16、公式萊布尼茨公式 例題：例題： 1/21/2 1/2 11 022 00 0 111 1/222 sin2dsin2d(2)cos2| cos2|(cos0 cos ) x xxxx x 1 23 1 11 033 0 d|xxx 22 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 計(jì)算平面幾何圖形的面積計(jì)算平面幾何圖形的面積 計(jì)算立體的體積計(jì)算立體的體積 計(jì)算曲線的弧長計(jì)算曲線的弧長 變力的沖量變力的沖量 質(zhì)心計(jì)算質(zhì)心計(jì)算 變力做功變力做功 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 23 矢量的概念矢量的概念 矢量的初步概念矢量的初步概念 既有大小又有方向，且加法遵從幾何法則的量叫矢量既有大小又有方向，且加法遵從幾何法則的量叫矢量 ，

17、 用黑體字母或帶箭頭的字母表示：用黑體字母或帶箭頭的字母表示：A, 。 矢量的大小又叫矢量的模，用矢量的大小又叫矢量的模，用 或或A 表示。表示。 模等于模等于1 的矢量叫單位矢量，用的矢量叫單位矢量，用 表示。在直角表示。在直角 坐標(biāo)系中，沿坐標(biāo)系中，沿 x、y、z軸的單位矢量，分別用軸的單位矢量，分別用 表示。表示。 矢量具有平移不變性：矢量的平動(dòng)既不改變矢量的量矢量具有平移不變性：矢量的平動(dòng)既不改變矢量的量 值，也不改變矢量的方向。值，也不改變矢量的方向。 A |A| AeA或 , ,i j k 24 矢量的幾何描述矢量的幾何描述 矢尾矢尾 矢端矢端 單位單位 A A AAA 25 矢量

18、的加法與減法矢量的加法與減法 矢量加法矢量加法 可用平行四邊形法則、三角形法則可用平行四邊形法則、三角形法則 、多邊形法則、多邊形法則 矢量減法矢量減法 用三角形法則求矢量相減最方便，注意：差矢量方用三角形法則求矢量相減最方便，注意：差矢量方 向是由減矢量末端指向被減矢量末端向是由減矢量末端指向被減矢量末端 BAC CBAD BAC A B C A B C A B C D A B C B C 26 矢量的正交分解矢量的正交分解 矢量的加減在直角坐標(biāo)系中表示為矢量的加減在直角坐標(biāo)系中表示為： A A cos, A A cos, A A cos AAAA,k Aj Ai AA z y x zyxz

19、yx 222 k )BA(j )BA(i )BA( )k Bj Bi B()k Aj Ai A(BA zzyyxx zyxzyx Ax Ay Az x y z A 27 矢量乘法矢量乘法 矢量的數(shù)乘矢量的數(shù)乘 定義：矢量定義：矢量 與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)m的乘積的乘積m 仍然是矢量，大仍然是矢量，大 小是小是 的的|m|倍，方向與倍，方向與 的方向相同或者相反，的方向相同或者相反， 取決于取決于m的正負(fù)。的正負(fù)。 性質(zhì)：性質(zhì)： A A A A ()() () () n mAm nA m ABmAmB mn AmAnA 28 矢量的標(biāo)積（點(diǎn)乘積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)乘積） cosAB)B,Acos(ABBA 定

20、義：定義： CBCAC)BA(ABBA 性性質(zhì)質(zhì)： BAB,A,BA 則則，且且若若000 zzyyxx zyxzyx BABABA kBjBiBkAjAiABA ) () ( )i k k j j i ,k k j j i i (01 標(biāo)積的分量表示標(biāo)積的分量表示 29 矢量標(biāo)積應(yīng)用矢量標(biāo)積應(yīng)用 功的定義功的定義 功率的定義功率的定義 ddAFr PF v 30 矢量的矢積（叉乘積）矢量的矢積（叉乘積） sin( , )sin() , , , A BC CABA BAB A BC A BA B C 1、定義為一新的矢量， 其大小 等于以為鄰邊的平行四邊形的面積， 的 方向垂直所在平面，且滿足

21、右手螺 旋關(guān)系。 ： C A B 方法：伸開右手，除拇指外的四指并攏、沿方法：伸開右手，除拇指外的四指并攏、沿 的方向伸的方向伸 出，并從出，并從 經(jīng)小于經(jīng)小于180的角向的角向 彎曲，則與四指垂直的彎曲，則與四指垂直的 拇指的方向即為拇指的方向即為 的方向。的方向。C A B A 31 矢量的矢積（叉乘積）矢量的矢積（叉乘積） () 0,0,0, A BBA ABCA CB C A BABAB 2、性質(zhì)： 若且則 32 矢積的分量表示矢積的分量表示 k )BABA(j )BABA(i )BABA ( BBB AAA k j i )k Bj Bi B()k Aj Ai A(BA xyyxzxx

22、zyzzy zyx zyx zyxzyx （ 按按第第一一行行展展開開） 0 iijjkk ijkjkikij （ ，） i j k 33 矢量矢積應(yīng)用矢量矢積應(yīng)用 力矩的定義力矩的定義 角動(dòng)量的定義角動(dòng)量的定義 洛倫茲力的定義洛倫茲力的定義 FqvB rF Lrp 34 三個(gè)矢量的混合積三個(gè)矢量的混合積 () )()() AB C ABC AB CB CACA B 為一標(biāo)量，其幾何意義是 以 、 、 為邊的平行六面體的體積。 （ A B C BA 35 雙重矢積雙重矢積 ()()() ()()() A BCC A BC B A AB CA C BA B C 記憶方法：“外點(diǎn)內(nèi)，先遠(yuǎn)后近” 36 矢量的非法運(yùn)算矢量的非法運(yùn)算 1 , , , , ln . A B eAA AA ABC 非法運(yùn)算： 矢量與標(biāo)量不能相等！例如： 37 矢量函數(shù)（矢函）矢量函數(shù)（矢函） 一個(gè)矢量在某一過程中，若大小、方向都不發(fā)生變化，一個(gè)矢量在某一過程中，若大小、方向都不發(fā)生變化， 則為則為恒矢量恒矢量；反之則為；反之則為變矢量變矢量，可有三種情況：大小、，可有三種情況：大小、 方向均變化；大小變化，方向不變；大小不變，方向方向均變化；大小變化