14.任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

1、要點梳理要點梳理 1.1.任意角任意角 （1 1）角的概念的推廣）角的概念的推廣 按旋轉方向不同分為按旋轉方向不同分為 、 、 . . 按終邊位置不同分為按終邊位置不同分為 和和 . . （2 2）終邊相同的角）終邊相同的角 終邊與角終邊與角 相同的角可寫成相同的角可寫成 . . 三角函數(shù)、解三角形 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 正角正角負角負角零角零角 象限角象限角軸線角軸線角 360k( (k kZ Z) ) 基礎知識基礎知識 自主學習自主學習 （3 3）弧度制）弧度制 1 1弧度的角：弧度的角：_ 叫做叫做1 1弧度的角弧度的角. . 規(guī)定：正角的弧度

2、數(shù)為規(guī)定：正角的弧度數(shù)為 , ,負角的弧度數(shù)為負角的弧度數(shù)為 ，零角的弧度數(shù)為，零角的弧度數(shù)為 , , , ,l l是以角是以角 作為圓心角時所對圓弧的長，作為圓心角時所對圓弧的長，r r為半徑為半徑. . 用用“弧度弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制做單位來度量角的制度叫做弧度制. .比比 值值 與所取的與所取的r r的大小的大小 , ,僅與僅與 . . 弧度與角度的換算：弧度與角度的換算：360360= = 弧度；弧度；180180= = 弧度弧度. . 弧長公式：弧長公式： , , 扇形面積公式：扇形面積公式：S S扇形 扇形= = = = . . 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角把長

3、度等于半徑長的弧所對的圓心角 r l r l 2 無關無關角的大小有關角的大小有關 rl| lr 2 1 2 | 2 1 r 正數(shù)正數(shù) 負數(shù)負數(shù) 零零 | 2.2.任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) (1)(1)任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設設 是一個任意角，角是一個任意角，角 的終邊上任意一點的終邊上任意一點 P P( (x x, ,y y),),它與原點的距離為它與原點的距離為r r ( (r r00）, ,那么角那么角 的正弦、余弦、正切分別是：的正弦、余弦、正切分別是： 它們都是以角為自它們都是以角為自 ，以比值為，以比值為 的函數(shù)的函數(shù). . (2) (2)三角函數(shù)在各象

4、限內的符號口訣是：三角函數(shù)在各象限內的符號口訣是： . . sin ,r y cos ,r x tan ,x y 變量變量函數(shù)值函數(shù)值 一全一全 正、二正弦、三正切、四余弦正、二正弦、三正切、四余弦 4.4.同角三角函數(shù)的基本關系同角三角函數(shù)的基本關系 (1)(1)平方關系：平方關系： . . (2) (2)商數(shù)關系商數(shù)關系: : . . MPMPOMOMATAT tan cos sin 1cossin 22 基礎自測基礎自測 1.1.若若 = =k k180180+45+45 ( (k kZ Z) )，則，則 在（在（ ） A.A.第一或第三象限第一或第三象限 B.B.第一或第二象限第一或第

5、二象限 C.C.第二或第四象限第二或第四象限 D.D.第三或第四象限第三或第四象限 解析解析 當當k k=2=2m m+1 (+1 (m mZ Z) )時，時， =2=2m m180180+225+225= =m m360360+225+225, ,故故 為為 第三象限角；當?shù)谌笙藿?；當k k=2=2m m ( (m mZ Z) )時，時， = =m m360360+45+45, ,故故 為第一象限角為第一象限角. . A 2.2.角角 終邊過點終邊過點(-1,2),(-1,2),則則cos cos 等于（等于（ ） 5 52 .D 5 5 .C 5 52 .B 5 5 .A 解析解析 ,

6、52) 1( 22 r . 5 5 5 1 cos r x 由定義 C 3.3.已知角已知角 的終邊經過點的終邊經過點( ( ，-1),-1),則角則角 的最的最 小正值是（小正值是（ ） 4 3 .D 6 5 .C 6 11 .B 3 2 .A 解析解析, 2) 1()3( 22 r . 6 11 , . 2 3 cos 的最小正值是 是第四象限角又由題意知 則 r x B 3 4.4.已知扇形的周長是已知扇形的周長是6 cm6 cm，面積是，面積是2 cm2 cm2 2，則扇形，則扇形 的圓心角的弧度數(shù)是（的圓心角的弧度數(shù)是（ ） A.1 B.4 C.1A.1 B.4 C.1或或4 D.2

7、4 D.2或或4 4 解析解析 設此扇形的半徑為設此扇形的半徑為r r，弧長為，弧長為l l， . 1 2 2 4 1 4 . 2 , 2 4 , 1 , 2 2 1 , 62 r l r l l r l r rl lr 或從而 或解得則 C 5.5.已知已知 為第四象限角，且為第四象限角，且 解解 為第四象限角，且為第四象限角，且 , 2 1 cos . tan 1 tan1 2 2 的值求 , 2 1 cos . 3 13 3 1 31 )3( 1 )3(1 tan 1 tan1 , 3 cos sin tan , 2 3 ) 2 1 (1cos1sin 2 2 2 2 22 題型一題型一

8、 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義 已知角已知角 的終邊在直線的終邊在直線3 3x x+4+4y y=0=0上上, ,求求 的值的值. . 本題求本題求 的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值. .依據三角函依據三角函 數(shù)的定義數(shù)的定義, ,可在角可在角 的終邊上任取一點的終邊上任取一點P P(4(4t t,-3,-3t t) ) ( (t t0),0),求出求出r r, ,由定義得出結論由定義得出結論. . tan,cos,sin 思維啟迪思維啟迪 【例例1 1】 解解,043上的終邊在直線角 yx ,5,0 |,|5)3()4( ,3,4 ),0)(3,4( 2222 trt tttyxr tytx ttt

9、P 時當 則 的終邊上任取一點在角 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 . 4 3 tan, 5 4 cos, 5 3 sin,0 ; 4 3 tan, 5 4 cos, 5 3 sin,0, . 4 3 4 3 tan , 5 4 5 4 cos , 5 3 5 3 sin,5,0 ; 4 3 4 3 tan , 5 4 5 4 cos, 5 3 5 3 sin 時 時綜上可知 時當 t t t t x y t t r x t t r y trt t t x y t t r x t t r y 某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在 位置有關，當終邊確定時三角函數(shù)值

10、就相應確定位置有關，當終邊確定時三角函數(shù)值就相應確定. . 但若終邊落在某條直線上時，這時終邊實際上有但若終邊落在某條直線上時，這時終邊實際上有 兩個，因此對應的函數(shù)值有兩組要分別求解兩個，因此對應的函數(shù)值有兩組要分別求解. . 知能遷移知能遷移1 1 設設 為第四象限角為第四象限角, ,其終邊上的一個其終邊上的一個 點是點是P P（x x，- - ），且），且 解解 為第四象限角，為第四象限角，x x00，且，且 .tansin, 4 2 cos和求x ,5 2 xr . 3 15 tan, 4 10 sin,8 , 3:, 4 2 5 cos 2 故 解得則 r xx x x 5 題型二題

11、型二 三角函數(shù)值的符號及判定三角函數(shù)值的符號及判定 (1)(1)如果點如果點P P(sin cos (sin cos ，2cos )2cos )位位 于第三象限，試判斷角于第三象限，試判斷角 所在的象限所在的象限. . (2) (2)若若 是第二象限角，試判斷是第二象限角，試判斷 的符的符 號號. . (1)(1)由點由點P P所在的象限可知所在的象限可知 的符號，進而判斷的符號，進而判斷 所在的象限所在的象限. . (2) (2)由由 可判斷可判斷 的范圍的范圍, ,把把 看作一個角，再判斷看作一個角，再判斷 的符號的符號. . )2cos(sin )(cossin cossin、 2sin

12、cos、2sin,cos )2cos(sin),sin(cos 解解 . , 0cos 0sin , 0cos2 , 0cossin ,)cos2 ,cos(sin) 1 ( 為第二象限角所以 即所以 位于第三象限因為點 P . )2cos(sin )sin(cos . 0 )2cos(sin )sin(cos . 0)2cos(sin, 0)sin(cos , 02sin1,2424 , 0cos1 ),(2 2 2)2( 的符號是負號 kk kkkZ (1)(1)熟練掌握三角函數(shù)的符號法則是熟練掌握三角函數(shù)的符號法則是 解決此類問題的關鍵解決此類問題的關鍵. . (2) (2)由三角函數(shù)符

13、號判斷角所在象限由三角函數(shù)符號判斷角所在象限, ,在寫角的在寫角的 集合時集合時, ,注意終邊相同的角注意終邊相同的角. . 知能遷移知能遷移2 2 若若 則則 角角 的終邊落在的終邊落在 （ ） A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 , 0cossin , 0sincostan . , 0cos, 0cossin 的終邊落在第三象限角 又 C , 0costan且 題型三題型三 三角函數(shù)線及其應用三角函數(shù)線及其應用 在單位圓中畫出適合下列條件的角在單位圓中畫出適合下列條件的角 的的 終邊的范圍終邊的范圍, ,并由此寫

14、出角并由此寫出角 的集合的集合: : 作出滿足作出滿足 的角的終邊的角的終邊, ,然后根據已知條件確定角然后根據已知條件確定角 終邊的終邊的 范圍范圍. . . 2 1 cos)2( ; 2 3 sin) 1 ( 2 1 cos, 2 3 sin 解解 (1)(1)作直線作直線 交單位圓于交單位圓于A A、B B 兩點兩點, ,連結連結OAOA、OBOB，則，則OAOA與與OBOB圍圍 成的區(qū)域即為角成的區(qū)域即為角 的終邊的范圍的終邊的范圍, , 故滿足條件的角故滿足條件的角 的集合為的集合為 (2)(2)作直線作直線 交單位圓于交單位圓于C C、D D兩點兩點, , 連結連結OCOC、ODO

15、D, ,則則OCOC與與ODOD圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域 ( (圖中陰影部分圖中陰影部分) )即為角即為角 終邊的范圍終邊的范圍. . 故滿足條件的角故滿足條件的角 的集合為的集合為 2 3 y ., 3 2 2 3 2| Zkkk 2 1 x ., 3 4 2 3 2 2| Zkkk 本題的實質是解三角不等式的問題：本題的實質是解三角不等式的問題： （1 1）可以運用單位圓及三角函數(shù)線；）可以運用單位圓及三角函數(shù)線； （2 2）也可以用三角函數(shù)圖象）也可以用三角函數(shù)圖象. . 體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法. . 知能遷移知能遷移3 3 求下列函數(shù)的定義域：求下列函數(shù)的

16、定義域： ).sin43lg()2( ; 1cos2) 1 ( 2 xyxy 解解 . 2 1 cos, 01cos2) 1 (xx 由三角函數(shù)線畫出由三角函數(shù)線畫出x x滿足條件的終邊滿足條件的終邊 范圍范圍( (如圖陰影所示如圖陰影所示).). ).( 3 2 , 3 2Z kkkx . 2 3 sin 2 3 , 4 3 sin, 0sin43)2( 22 x xx 利用三角函數(shù)線畫出利用三角函數(shù)線畫出x x滿足條件的終邊滿足條件的終邊 范圍范圍( (如右圖陰影如右圖陰影),), ).( 3 , 3 Z kkkx 題型四題型四 同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式 （1212

17、分）已知分）已知 是三角形的內角，且是三角形的內角，且 （1 1）求）求tan tan 的值；的值； （2 2） 用用tan tan 表示出來，并求其值表示出來，并求其值. . （1 1）由）由 sin . 5 1 cos 22 sincos 1 把 , 1cossin 5 1 cossin 22 及 ;cos,sin的值可求 即可.分子、分母同除以,(2) 222 coscossin1 解解 (1)(1)方法一方法一 1cossin 5 1 cossin 22 聯(lián)立方程 . 3 4 tan , 5 3 cos 5 4 sin , . 012sin5sin25 ,sin 5 1 cos 2 是

18、三角形內角 整理得 將其代入得由 2 2分分 3 3分分 6 6分分 方法二方法二,) 5 1 ()cos(sin, 5 1 cossin 22 . 3 4 tan , 5 3 cos 5 4 sin , 5 7 cossin 5 1 cossin , 5 7 cossin , 0cossin, 0cos, 0sin ,00 25 12 cossin . 25 49 25 24 1cossin21)cos(sin , 25 24 cossin2, 25 1 cossin21 2 得由 且 即 3 3分分 6 6分分 (1)(1)對于對于 這三個式子這三個式子, ,已知其中一個式子的值已知其中一

19、個式子的值, ,其余二式的其余二式的 值可求值可求. .轉化的公式為轉化的公式為 (2)(2)關于關于sin sin x x,cos ,cos x x的齊次式的齊次式, ,往往化為關于往往化為關于 tan tan x x的式子的式子. . 1010分分 1212分分 . 7 25 ) 3 4 (1 1) 3 4 ( tan1 1tan sincos 1 2 2 2 2 22 , 3 4 tan tan1 1tan cos sincos cos cossin sincos cossin sincos 1 )2( 2 2 2 22 2 22 22 22 22 cossin,cossin,cossi

20、n ;cossin21)cos(sin 2 知能遷移知能遷移4 4 分別求分別求 的值：的值：tansin、 ).1|(|cos)2( ; 13 12 cos) 1 (mm 解解 . 12 5 tan, 13 5 sin, ; 12 5 cos sin tan, 13 5 cos1sin , . , 0 13 12 cos) 1 ( 2 是第三象限角時當 是第二象限角時當 是第二或第三象限角 . 1 tan,1sin , ; 1 tan,1sin ,1|0 ;tan, 1sin ),( 2 ,0 ; 0tan, 0sin ),(,1|)2( 2 2 2 2 m m m 、 m m m 、m k

21、km kkm 則 四象限的角是第三若 則 二象限的角是第一若時當 不存在 時當 此時 時當 Z Z 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法與技巧方法與技巧 1.1.在利用三角函數(shù)定義時在利用三角函數(shù)定義時, ,點點P P可取終邊上任一點可取終邊上任一點, , 如有可能則取終邊與單位圓的交點如有可能則取終邊與單位圓的交點.|.|OPOP|=|=r r一定一定 是正值是正值. . 2.2.在解決在解決 的問題時的問題時, ,常常 常用到常用到 3.3.在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角 函數(shù)線是一個小技巧函數(shù)線是一個小技巧. . cossin,cos

22、sin .cossin21)cos(sin 2 失誤與防范失誤與防范 1.1.注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小 于于9090的角是概念不同的三類角的角是概念不同的三類角. .第一類是象第一類是象 限角，第二、第三類是區(qū)間角限角，第二、第三類是區(qū)間角. . 2.2.角度制與弧度制可利用角度制與弧度制可利用180180= rad= rad進行互化進行互化, , 在同一個式子中，采用的度量制度必須一致在同一個式子中，采用的度量制度必須一致, , 不可混用不可混用. . 3.3.注意熟記注意熟記0 0360360間特殊角的弧度表示間特殊角的弧度表示. .

23、 一、選擇題一、選擇題 1.1.若角若角 和角和角 的終邊關于的終邊關于x x軸對稱軸對稱, ,則角則角 可以用可以用 角角 表示為表示為 （ ） A. (A. (k kZ Z) B. () B. (k kZ Z) ) C. ( C. (k kZ Z) D. () D. (k kZ Z) ) 解析解析 因為角因為角 和角和角 的終邊關于的終邊關于x x軸對稱軸對稱, ,所所 以以 ( (k kZ Z).).所以所以 ( (k kZ Z).). 定時檢測定時檢測 k2k2 kk k2 k2 B 2.2.已知點已知點P P 在第三象限在第三象限, ,則角則角 的終邊在的終邊在 第幾象限第幾象限 （

24、 ） A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 P P 在第三象限，在第三象限， 由由tan 0tan 0，得，得 在第二、四象限，在第二、四象限， 由由cos 0,cos 0,得得 在第二、三象限，在第二、三象限， 在第二象限在第二象限. . )cos,(tan )cos,(tan, 0cos 0tan B 3.3.若扇形圓心角的弧度數(shù)為若扇形圓心角的弧度數(shù)為2,2,且扇形弧所對的弦長且扇形弧所對的弦長 也是也是2,2,則這個扇形的面積為則這個扇形的面積為 （ ） 解析解析 由題意得扇形的半徑為由題意得扇形的半徑為 又由

25、扇形面又由扇形面 積公式得，該扇形的面積為積公式得，該扇形的面積為 2cos 2 .D 1cos 1 .C 2sin 2 .B 1sin 1 .A 22 22 . 1sin 1 . 1sin 1 1sin 1 2 2 1 22 A 4.4.已知角已知角 的終邊過點的終邊過點P P（-8-8m m，-6sin 30-6sin 30）, ,且且 則則m m的值為的值為 （ ） 解析解析 , 5 4 cos 2 3 .D 2 3 .C 2 1 .B 2 1 .A ,964 2 mr . 2 1 , 0 . 2 1 , 25 1 964 4 , 0, 5 4 964 8 cos 2 2 2 mm m

26、m m m m m B 5.5.已知角已知角 是第二象限角，且是第二象限角，且 （ ） A.A.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角 C.C.第三象限角第三象限角 D.D.第四象限角第四象限角 解析解析 由由 是第二象限角知是第二象限角知, , 是第一或第三是第一或第三 象限角象限角. . 是則角 2 , 2 cos| 2 cos| 2 . 2 , 0 2 cos, 2 cos 2 cos 是第三象限角 又 C 6.6.已知已知 是第一象限角是第一象限角, , 等于（等于（ ） sin, 4 3 tan則 5 3 .D 5 4 .C 5 3 .B 5 4 .A ).0(sin 5

27、 3 sin, 1cossin , 4 3 cos sin 22 得由 解析解析 B 二、填空題二、填空題 7.7.若點若點P P( (m m, ,n n)()(n n0)0)為角為角600600終邊上一點，則終邊上一點，則 等于等于 . . 解析解析 由三角函數(shù)的定義知由三角函數(shù)的定義知 n m . 3 3 3 1 , 360tan240tan)240360tan(600tan n m m n 3 3 8.8.已知已知P P在在1 1秒鐘內轉過的角度為秒鐘內轉過的角度為（0 0 180180），）， 經過經過2 2秒鐘達到第三象限，經過秒鐘達到第三象限，經過1414秒鐘后又恰好回到秒鐘后又恰

28、好回到 出發(fā)點，則出發(fā)點，則 = = . . 解析解析 00 180180且且 k k360360+180+18022 k k360360+270+270( (k kZ Z),), 則必有則必有k k=0=0，于是，于是9090 135135, , 又又1414= =n n360360( (n nZ Z) )， ,180 7 n . 7 900 7 720 , 54 , 4 21 2 7 ,135180 7 90 或故或n n n 7 900 7 720 或 9.9.若角若角 的終邊落在直線的終邊落在直線y y=-=-x x上上, ,則則 的值等于的值等于 . . 解析解析 cos cos1 sin1 sin 2 2 , cos |sin| |cos| sin cos cos1 sin1 sin 2 2 角角 的終邊落在直線的終邊落在直線y y=-=-x x上，上， 角角 是第二或第四象限角是第二或第四象限角. . . 0 cos sin cos sin cos |sin| |cos| sin , , 0 cos sin cos sin cos |sin| |cos| sin , 是第四象限角時當 是第二象限角時當 0 0 三、解答題三、解答題 10.10.角角 終邊上的點終邊上的點P P與與A A( (a a,2,2a a) )關于關于x x軸對稱軸對稱( (