正弦定理和余弦定理講解

1、正弦定理和余弦定理講解 年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題正弦定理和余弦定理編稿老師褚哲一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，并能應(yīng)用這些公式解斜三角形.2. 能正確理解實(shí)際問題中仰角、俯角、視角、方位角及坡度、經(jīng)緯度等有關(guān)名詞和術(shù)語的確切含義.3. 能熟練應(yīng)用正、余弦定理及相關(guān)公式解決諸如測(cè)量、航海、天體運(yùn)動(dòng)、物理、幾何等方面的問題.4. 在解決實(shí)際問題時(shí)，能準(zhǔn)確理解題意，分清已知和未知，并能把這些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)分析解決實(shí)際問題的能力.二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：正、余弦定理及其證明；用正弦定理、余弦定理解三角形.難點(diǎn)：定理的推導(dǎo)；從實(shí)際問題中抽取出數(shù)學(xué)模型.三、考點(diǎn)分析本

2、章是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何解三角形的.正、余弦定理是我們學(xué)習(xí)三角形相關(guān)知識(shí)的延續(xù)和發(fā)展，這些定理進(jìn)一步揭示了三角形邊與角之間的關(guān)系，在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，是我們求角三解形的重要工具，本章內(nèi)容經(jīng)常會(huì)與三角部分結(jié)合起來綜合考查，難度中等，各種題型均有可能出現(xiàn). 1. 正弦定理（1）正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即在中（其中R為外接圓半徑），上式對(duì)任意三角形均成立.（2）利用正弦定理可以解決如下有關(guān)三角形的問題：已知三角形的兩角和任一邊，求三角形的其他邊與角；已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求三角形的其他邊和角.2. 余弦定理（1）

3、余弦定理：三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即在中，余弦定理還有另一種形式：若令，則，這就是勾股定理.（2）利用余弦定理，可以解決以下兩類三角形的相關(guān)問題：已知三邊，求三個(gè)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.3. 在解三角形問題時(shí)，須掌握的三角關(guān)系式在中，以下的三角關(guān)系式，在解答有關(guān)的三角形問題時(shí)經(jīng)常用到，同學(xué)們要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活地加以運(yùn)用.（1）；（2），；（3），；（4），.4. 實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語（1）仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下

4、方時(shí)叫俯角.（2）方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角.（3）方位角：從指定方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角.（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).5. 須熟悉的三角形中的有關(guān)公式解斜三角形時(shí)主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理，有時(shí)也會(huì)用到周長(zhǎng)公式和面積公式，比如：（為三角形的周長(zhǎng)）（表示邊上的高）（可用正弦定理推得）（為內(nèi)切圓半徑）此處還須熟悉兩角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.6. 關(guān)于已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形的討論已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，不能唯一確定三角形的形狀，解這類三角形問題的過程中將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論，圖1與圖2即表示了

5、在中，已知、和時(shí)解三角形的各種情況當(dāng)為銳角時(shí)，當(dāng)為直角或鈍角時(shí)知識(shí)點(diǎn)一：正弦定理與余弦定理例1：已知ABC中，A，求思路分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k0)使，證明出即可.解題過程：設(shè)則有，從而=又，所以=2解題后反思：ABC中，等式恒成立.（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知三角形的兩角和任一邊，求其他兩邊及一角；已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊及角.例2：在ABC中，已知，求b及A的值.思路分析：本題的已知條件顯然符合余弦定理求解的條件.解題過程：=cos45= 8 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos .解法二：，又2.4+1.4=3.8， 即 解題后反思：使用解法二時(shí)應(yīng)注意確定A的取值范圍.例3：在ABC中，已知a=，b=，B=45，求A、C及c.思路分析：這是一道已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形的問題，可用正弦定理求解，但先要判定ABC是否有解，有幾個(gè)解，亦可用余弦定理求解.解題過程：B=4590，且b1； 不存在14. 解：（1） C120（2）由題設(shè)：15. 證明：,由正弦定理得：,.16. 解：,又是方程的一個(gè)根.由余弦定理可得：則：當(dāng)時(shí)，c最小且 此時(shí)ABC