正弦定理和余弦定理知識點總結(學案)附答案

1、正弦定理和余弦定理知識點總結(學案)附答案高頻考點一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在ABC中，已知a2，b，A45，則滿足條件的三角形有()A1個B2個C0個D無法確定(2)在ABC中，已知sinAsinB1，c2b2bc，則三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)依次是_(3)(2015廣東)設ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sinB，C，則b_.答案(1)B(2)45，30，105(3)1解析(1)bsinA，bsinAab.滿足條件的三角形有2個(2)由題意知ab，a2b2c22bccosA，即2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A45，sinB，B30

2、，C105.【感悟提升】(1)判斷三角形解的個數(shù)的兩種方法代數(shù)法：根據(jù)大邊對大角的性質、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個數(shù)(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理時，需判斷其解的個數(shù)，用余弦定理時，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù)【變式探究】(1)已知在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()Ax2Bx2C2x2D2x2(2)在ABC中，A60，AC2，BC，則AB_.答案(1)C(2)1解析(1)若三角形有兩解，則必有ab，x2，又由sinAsinB1，可得x

3、2，x的取值范圍是2x2.(2)A60，AC2，BC，設ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosA，化簡得x22x10，x1，即AB1.高頻考點二和三角形面積有關的問題例2、(2015浙江)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tanC的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bcos2cossin2C2sinCcosC，由解得tanC2.【感悟提升】(1)對于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個角就使

4、用哪一個公式(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化【變式探究】四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積解(1)由題設A與C互補及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosC1312cosC，BD2AB2DA22ABDAcosA54cosC由得cosC，BD，因為C為三角形內(nèi)角，故C60.(2)四邊形ABCD的面積SABDAsinABCCDsinCsin602.高頻考點三正弦、余弦定理的簡單應用例3、(1)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosA，則ABC為()A鈍角三角形B直角

5、三角形C銳角三角形D等邊三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為()A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案(1)A(2)B【舉一反三】(2015課標全國)如圖，在ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因為SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因為SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22AD

6、BDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1. 【感悟提升】(1)判斷三角形形狀的方法化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應用ABC這個結論(2)求解幾何計算問題要注意根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理【變式探究】(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形

7、D等腰或直角三角形(2)如圖，在ABC中，已知點D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長為_答案(1)D(2) (2)sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233，即BD23，BD.1已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若A，b2acosB，c1，則ABC的面積等于()A. B.C. D.2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若C2B，則為()A2sinC B2cosBC2sinB D2cosC解析：由于C2B，故sinCsin2B2sinBcosB，所以2cosB，由正

8、弦定理可得2cosB，故選B。答案：B3已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則B()A. B.C. D.解析：由sinA，sinB，sinC，代入整理得：c2b2aca2，所以a2c2b2ac，即cosB，所以B。答案：C4在ABC中，若lg(ac)lg(ac)lgblg，則A()A90 B60C120 D1505在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若3a2b，則的值為()A B.C1 D.解析：由正弦定理可得221221，因為3a2b，所以，所以221。答案：D6在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csinAacosC，則sinAsin

9、B的最大值是()A1 B.C. D3解析：由csinAacosC，所以sinCsinAsinAcosC，即sinCcosC，所以tanC，C，AB，所以sinAsinBsinsinBsin，0B，B，當B，即B時，sinAsinB的最大值為.故選C。答案：C7.在ABC中,若A=3,B=4,BC=32,則AC=()A.32B.3C.23D.45【答案】C?！窘馕觥坑烧叶ɡ砜傻?BCsinA=ACsinB,即有AC=BCsinBsinA=32sin4sin3=23.8.在ABC中,若a2+b2c2,則ABC的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定【答案】C【解析】由余

10、弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,因為a2+b2c2,所以2abcosCbB.abC.a=bD.a與b的大小關系不能確定【答案】A【解析】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120,b2+ab-a2=0,即ba2+ba-1=0,ba=-1+521,故ba.11.在ABC中,a=15,b=10,A=60,則cosB=.【解析】由正弦定理可得1532=10sinB,所以sinB=33,再由ba,可得B為銳角,所以cosB=1-sin2B=63.答案:6312.在ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,則B=.【

11、解析】在ABC中,因為sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=3ac,所以cosB=a2+c2-b22ac=32,所以B=6.答案:613.ABC中,點D是BC上的點,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC.(2)若BAC=60,求B.【解析】(1)如圖,由正弦定理得:ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD,因為AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因為C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB,由(1)

12、知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30.14.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若BABC=2,且b=22,求a和c的值.【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,則2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA0,因此cosB=13.(2)

13、由BABC=2,可得accosB=2,又cosB=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.15.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點(a,b)在直線x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上. (1)求角C的值. (2)若2cos2A2-2sin2B2=32,且AB,求ca. (2)因為2cos2A2-2sin2B2=1+cosA-1+cosB=cosA+cos23-A=12cosA+32sinA=sinA+6=32,因為A+B=23,且AB,所以0A3,所以6A+62,即A+6=3,所以A=6,B=2,C=3,則ca=sinCsinA=3212=3.16.