高等數(shù)學(xué)：5-1定積分的概念與性質(zhì)

1、1 第五章第五章 定積分定積分 定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個 一種認識問題、分析問題、解決問題的一種認識問題、分析問題、解決問題的 definite integral 不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練, 而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想 主要組成部分主要組成部分. 思想方法思想方法. 2 第五章第五章 定積分定積分 基本要求基本要求 理解定積分的定義和性質(zhì)理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基微積分基 本定理本定理,了解反常積分的概念了解反常積分的概念,掌握用定積掌握用定積 分表達一些幾何量與物理量分表達一些幾何

2、量與物理量(如面積、體如面積、體 積、弧長、功、引力等）的方法積、弧長、功、引力等）的方法. 3 第一節(jié)第一節(jié) 定積分定積分的概念與性質(zhì)的概念與性質(zhì) 定積分問題舉例定積分問題舉例 定積分的定義定積分的定義 關(guān)于函數(shù)的可積性關(guān)于函數(shù)的可積性 定積分的幾何意義和物理意義定積分的幾何意義和物理意義 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 定定 積積 分分 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) * * * definite integral 4 1.曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 定積分概念也是由大量的實際問題抽象出定積分概念也是由大量的實際問題抽象出 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線及及0)( xfy 所所圍圍成成0, ybx

3、ax和和直直線線 .A的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積 一、一、定積分問題舉例定積分問題舉例 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 來的來的, 現(xiàn)舉兩例現(xiàn)舉兩例. a b )(xfy O x y ? A 5 用用矩形面積矩形面積 梯形面積梯形面積 （五個小矩形）（五個小矩形）（十個小矩形）（十個小矩形） habAhxf)(,)()( 矩矩形形面面積積公公式式為為時時常常數(shù)數(shù) 思想思想以直代曲以直代曲 顯然顯然,小矩形越多小矩形越多, 矩形總面積越接近曲邊矩形總面積越接近曲邊 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 近似取代曲邊梯形面積近似取代曲邊梯形面積 Ox y Ox y 6 ab )(xfy

4、 個個分成分成把區(qū)間把區(qū)間nba, , 1ii xx 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 采取下列四個步驟來求面積采取下列四個步驟來求面積A. (1) 分割分割任意插入若干分點 , 1210 bxxxxxa nn (2) 取近似取近似 為底，為底，以以, 1ii xx 的窄曲邊梯形的面積的窄曲邊梯形的面積 上對應(yīng)上對應(yīng)表示表示, 1iii xxA 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) ; 1 iii xxx ，小區(qū)間小區(qū)間, 1ii xx 長度為長度為 )( i f 為高的小矩形為高的小矩形, 面積近似代替，面積近似代替， Ox y i x 1 x 1 i x 1 n x ，上任取一點上任取一點 i i

5、 i A nixfA iii , 2 , 1,)( 有有 7 A i n i i xfA )(lim 1 0 (3) 求和求和 這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形 面積面積A的近似值的近似值. (4) 求極限求極限 為了得到為了得到A的精確值的精確值, 時，時，趨近于零趨近于零)0( 取極限取極限, 形的面積形的面積: 分割無限加細分割無限加細, 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) i n i i xf )( 1 極限值就是曲邊梯極限值就是曲邊梯 ,max 21n xxx 即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度 8 2. .求變速直線運動的路程求變速直線運動的路程

6、 思想思想以不變代變以不變代變 設(shè)某物體作直線運動設(shè)某物體作直線運動,已知速度已知速度)(tvv 是時間間隔是時間間隔tTT上上, 21 的一個連續(xù)函數(shù)的一個連續(xù)函數(shù), , 0 )( tv且且 求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程. 思路思路把整段時間分割成若干小段把整段時間分割成若干小段, 每小段上每小段上 速度看作不變速度看作不變,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加, 便便 得到路程的近似值得到路程的近似值, 最后通過對時間的無限最后通過對時間的無限 細分過程求得路程的精確值細分過程求得路程的精確值 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 9 (1) 分割分

7、割 212101 TtttttT nn 1 iii ttt iii tvs )( (3) 求和求和 ii n i tvs )( 1 (4) 取極限取極限,max 21n ttt i n i i tvs )(lim 1 0 路程的精確值路程的精確值 (2) 取近似取近似 i s ), 2 , 1(ni 0 令令 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 表示在時間區(qū)間表示在時間區(qū)間內(nèi)走過的路程內(nèi)走過的路程., 1ii tt 某時刻的速度某時刻的速度 10 二、定積分的定義二、定積分的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入中任意插入定義定義 若干個分點若干個分點bxx

8、xxxa nn 1210 把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間, 各小區(qū)間長度依次為各小區(qū)間長度依次為 ), 2 , 1( , 1 nixxx iii 在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任取 一點一點),( iii x 作乘積作乘積), 2 , 1()(nixf ii 并作和并作和 ii n i xfS )( 1 記記,max 21n xxx 如果不論對如果不論對 (1) (2) (3) (4) 上兩例共同點上兩例共同點: ; II 2) 方法一樣方法一樣; 1) 量具有可加性量具有可加性, 3) 結(jié)果形式一樣結(jié)果形式一樣. 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) ,ba 11 被積函數(shù)被積函

9、數(shù) 被積表達式被積表達式 記為記為 積分和積分和 怎樣的分法怎樣的分法,也不論在小區(qū)間也不論在小區(qū)間 , 1ii xx 上點上點 i 怎樣的取法怎樣的取法,只要當(dāng)只要當(dāng),0時時 和和S總趨于確定的總趨于確定的 極限極限I,稱這個極限稱這個極限I為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的 定積分定積分. . 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) i n i i b a xfIxxf )(limd)( 1 0 積分下限積分下限 積分上限積分上限 積分變量積分變量 a,b積分區(qū)間積分區(qū)間 b a xxfd)(即即 ， 12 （1）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在時，）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在時， 稱

10、稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. 注注 ,)()2( 1 1 iii n i i xxbaxfS 的分法及在是與 取法取法上上 i ,)(lim 1 1 0 iii n i i xxbaxfI 的分法及在的分法及在是與是與 取法取法上上 i 有關(guān)有關(guān); ; 無關(guān)無關(guān). . 13 b a xxfd)( b a fd)( (3) 的結(jié)構(gòu)和上、下限的結(jié)構(gòu)和上、下限, 今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性 進行推理進行推理. 定積分是一個數(shù)定積分是一個數(shù), 定積分數(shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分數(shù)值只依賴于被積函數(shù) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 而與積分

11、變量的記號無關(guān)而與積分變量的記號無關(guān). t t b a fd)(u u 14 , 0)( xf b a Axxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 , 0)( xf b a Axxfd)( 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 的負值的負值 b a xxfd)( 1. 幾何意義幾何意義 2 A 1 A 3 A 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 三、定積分的幾何意義和物理意義三、定積分的幾何意義和物理意義 Ox y a b )(xf 1 A 2 A 3 A 15 幾何意義幾何意義 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) b a xxfd)( 各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和. 取負號取負號. 它是

12、介于它是介于x軸、函數(shù)軸、函數(shù) f (x) 的圖形及兩條的圖形及兩條 直線直線 x = =a, x = = b之間的之間的 在在 x 軸上方的面積取正號軸上方的面積取正號;在在 x 軸下方的面積軸下方的面積 Ox y a b )(xf 16 例例xx d1 1 0 2 求求 解解 4 2 1xy 2. 物理意義物理意義 ,0)(時時當(dāng)當(dāng) tv t = b所經(jīng)過的路程所經(jīng)過的路程 s. )(tvv o x y 1 1 xx d1 1 0 2 b a ttvd)( 作直線運動的物體從時刻作直線運動的物體從時刻 t = a 到時刻到時刻 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 定積分定積分表示以變速表

13、示以變速 17 定理定理1 1 定理定理2 2 或或記為記為 .,baRf 黎曼黎曼 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家(18261866) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 四、四、關(guān)于函數(shù)的可積性關(guān)于函數(shù)的可積性 ,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf上上在在則則,)(baxf 可積可積. . ,)(上有界上有界在在設(shè)設(shè)baxf且只有有限個第且只有有限個第 上上在在則則,)(baxf可積可積. . 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)上上在區(qū)間在區(qū)間,)(baxf的定積分存在時的定積分存在時, 上上在區(qū)間在區(qū)間稱稱,)(baxf可積可積. .黎曼可積黎曼可積, , 一類間一類間斷點斷點, , 充分條件充分條件 定理：定理： 在

14、在 上可積，則上可積，則 在在 上必有界（上必有界（注意注意逆否命題）。逆否命題）。 )(xf)(xf,ba,ba 18 解解 ii n i xf )( 1 ii n i x 2 1 i n i i xx 1 2 例例 用定義計算由拋物線用定義計算由拋物線, 2 xy ,等分等分n, n i xi 分點為分點為分成分成將將1 , 0 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 和和x軸所圍成的曲邊梯形面積軸所圍成的曲邊梯形面積. 直線直線 1 x ni2 , 1 小區(qū)間小區(qū)間, 1ii xx 的長度的長度 , 1 n xi ni2 , 1 取取, ii x ni2 , 1 nn i n i 1 2

15、1 n i i n 1 2 3 1 n i 2 xy 1 2 xxd 1 0 y Ox n i n 1 19 nn i n i 1 2 1 n i i n 1 2 3 1 6 )12)(1(1 3 nnn n nn 1 2 1 1 6 1 0 xx d 1 0 2 ii n i x 2 1 0 lim nn n 1 2 1 1 6 1 lim 3 1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) n ii n i xf )( 1 nn 1 2 1 1 6 1 對于任一確定的自然數(shù)對于任一確定的自然數(shù),n積分和積分和 xx d 1 0 2 當(dāng)當(dāng)n取不同值時取不同值時,xx d 1 0 2 近似值精度不同

16、近似值精度不同. n取得越大取得越大,近似程度越好近似程度越好. 例例 利用定義計算定積分利用定義計算定積分. 1 2 1 dx x 解解在在2 , 1中中插插入入分分點點 12 , n qqq, 典型小區(qū)間為典型小區(qū)間為, 1ii qq ，（ni, 2 , 1 ） 小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1( 11 qqqqx iii i , 取取 1 i i q ，（ni, 2 , 1 ） ii n i xf )( 1 i n i i x 1 1 )1( 1 1 1 1 qq q i n i i n i q 1 )1()1( qn 取取2 n q即即 n q 1 2 ),12( 1 n n )12(li

17、m 1 x x x x x x1 12 lim 1 , 2ln )12(lim 1 n n n, 2ln dx x 2 1 1 i n i i x 1 0 1 lim )12(lim 1 n n n. 2ln ii n i xf )( 1 22 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 討論定積分的近似計算問題討論定積分的近似計算問題. ,)(baCxf 設(shè)設(shè) b a xxfd)(存在存在. n等分等分,用分點用分點bxxxxa n , 210 分成分成n個長度相等個長度相等的小區(qū)間的小區(qū)間, 長度長度, n ab x 取取有有 i n i i b a xfxxf )(limd)( 1 0 b a

18、 xxfd)( n i 1 n ab )( 1 i xf n lim )(lim 1 1 n i i n xf n ab 每個小區(qū)間每個小區(qū)間 對任一確定的自然數(shù)對任一確定的自然數(shù) ,n )( 1 1 n i i xf n ab , 1 ii x ,ba將將 ,ba將將 23 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) n ab b a xxfd)( )( 1 1 n i i xf n ab ), 2 , 1 , 0(ni ii yxf )(記記 取取, 1 ii x , n ab x 如取如取, ii x b a xxfd)( n ab b a xxfd)( 矩形法矩形法 公式公式 ).( 110

19、 n yyy ).( 21n yyy 矩形法的矩形法的 幾何意義幾何意義 xO y )(xfy a b 24 對定積分的對定積分的補充規(guī)定補充規(guī)定 ,)1(時時當(dāng)當(dāng)ba b a xxfd)( 0 ,)2(時時當(dāng)當(dāng)ba b a xxfd)( a b xxfd)( 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 五、定積分的性質(zhì)五、定積分的性質(zhì) 在下面的性質(zhì)中在下面的性質(zhì)中, 假定定積分都存在假定定積分都存在, 且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小 25 證證 b a xxgxfd)()( iii n i xgf )()(lim 1 0 ii n i xf )(lim 1 0 ii n i xg

20、 )(lim 1 0 b a xxfd)( b a xxgd)( (此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況) 性質(zhì)性質(zhì)1 1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) b a xxgxfd)()( b a b a xxgxxfd)(d)( 26 證證 b a xxkfd)( ii n i xkf )(lim 1 0 ii n i xfk )(lim 1 0 ii n i xfk )(lim 1 0 b a xxfkd)( 性質(zhì)性質(zhì)2 2 性質(zhì)性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2稱為稱為 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì). . b a xxkfd)( b

21、a xxfkd)()( 為常數(shù)為常數(shù)k 27 cba, 例例 cba 若若 c a xxfd)( b a xxfd)( b a xxfd)( c a xxfd)( b c c a xxfxxfd)(d)( (定積分對于積分區(qū)間具有可加性定積分對于積分區(qū)間具有可加性) 則則 性質(zhì)性質(zhì)3 3 c b xxfd)( c b xxfd)( 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 假設(shè)假設(shè)bca b a xxfd)( a xxfd)( b xxfd)( c c 的相對位置如何的相對位置如何,上式總成立上式總成立.不論不論 28 證證0)( xf 0)( i f ni, 2 , 1 0 i x 0)( 1

22、ii n i xf ,max 21n xxx ii n i xf )(lim 1 0 b a xxf0d)( 性質(zhì)性質(zhì)4 4 性質(zhì)性質(zhì)5 5 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) b a xd1 b a xdab 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba , 0)( xf 則則 b a xxf0d)()(ba 29 解解 令令xexf x )(0, 2 x 0)( xf0d)( 0 2 xxe x xe xd 0 2 xxd 0 2 于是于是 xe xd 2 0 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) xxd 2 0 比較積分值比較積分值 xe xd 2 0 和和xxd 2 0 的大小的大小. 例例 30

23、 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論1 1 證證)()(xgxf 0)()( xfxg 0d )()( xxfxg b a 0d)(d)( b a b a xxfxxg 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba ),()(xgxf 則則 b a b a xxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 b a b a xxgxxfd)(d)( 性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間 上上,ba, 0)( xf 則則 b a xxf0d)()(ba 31 )(ba 證證| )(|)(| )(|xfxfxf 說明說明 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論2 2 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性

24、質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間 上上,ba, 0)( xf 則則 b a xxf0d)()(ba b a b a xxfxxfd| )(|d)( b a b a xxfxxfd| )(|d)( b a xd b a xd b a xd 可積性是顯然的可積性是顯然的.上的上的在在,| )(|baxf 由由推論推論1 1 32 證證Mxfm )( b a b a b a xMxxfxmdd)(d )(d)()(abMxxfabm b a (此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍) 性質(zhì)性質(zhì)6 6 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) mM和和設(shè)設(shè)分別是函數(shù)分別是

25、函數(shù)上的上的在在,)(baxf 最大值及最小值最大值及最小值. )(d)()(abMxxfabm b a 則則 33 解解 x xf 3 sin3 1 )( , 0 x 1sin0 3 x 3 1 sin3 1 4 1 3 x xx x xd 3 1 d sin3 1 d 4 1 00 3 0 3 d sin3 1 4 0 3 x x 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 估計積分估計積分.d sin3 1 0 3 的值的值x x 例例 )(d)()(abMxxfabm b a 34 解解 x x xf sin )( 2 sincos )( x xxx xf 2 )tan(cos x xxx

26、0 2 , 4 x , 2 , 4 )( Cxf 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 估計積分估計積分 .d sin 2 4 的值的值x x x 例例 上上在在 2 , 4 )( xf , 22 ) 4 ( fM, 2 ) 2 ( fm 4 ab dx x x 2 4 sin 4 22 4 2 )(d)()(abMxxfabm b a 2 2 2 1 35 2002年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(四四)6分分 ,)(),(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxgxf, 0)( xg且且 利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 證明存在一點證明存在一點 使使,ba xxgfxxgxf b a

27、 b a d )()(d)()( 證證最值定理最值定理上上在在,)(baxf 有最大值有最大值M 和最小值和最小值m, )(xf)(xg)(xg )(xg mM b a xxgxfd)()( xd b a xd b a xd b a b a xxgd)( M m 介值定理介值定理 ,ba )( f 積分第一中值定理積分第一中值定理 b a b a xxg xxgxf d)( d)()( 第五章第五章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課 即證即證. 性質(zhì)性質(zhì)7 7 36 性質(zhì)性質(zhì)8(8(定積分中值定理）定積分中值定理） 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 如果函數(shù)如果函數(shù) )(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上

28、上,ba 連續(xù)連續(xù), ,則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間上上,ba至少存在一點至少存在一點 , 使下式成立使下式成立: )(d)(abfxxf b a ).(ba 積分中值公式積分中值公式 定理用途定理用途 如何去掉積分號來表示積分值如何去掉積分號來表示積分值. 注注 無論從幾何上無論從幾何上, 還是從物理上還是從物理上, 都容易理解都容易理解 .,)(上上的的平平均均值值在在區(qū)區(qū)間間就就是是baxf )( f b a xxf ab fd)( 1 )( 平均值公式平均值公式 求求連續(xù)變量的連續(xù)變量的平均值平均值要用到要用到. . 37 積分中值公式的幾何解釋積分中值公式的幾何解釋 定積分的概念與性質(zhì)定

29、積分的概念與性質(zhì) )(d)(abfxxf b a )(ba 上上,ba至少存在一點至少存在一點 在區(qū)間在區(qū)間, 使得以區(qū)間使得以區(qū)間,ba為底邊為底邊,以曲線 以曲線 )(xfy 為曲邊的曲邊梯形的為曲邊的曲邊梯形的 面積面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f 的一個矩形的面積的一個矩形的面積. )(xfy ab )( f O x y 38 0dsinsinlim 4 0 xxnx n n 求證求證 證證, 4 , 0時時當(dāng)當(dāng) x |sinsin|xnx n n 4 sin n 2 1 xxnx n dsinsin 4 0 0 42 1 n 0 )( n 夾逼定理夾逼定理即得即得0d

30、sinsinlim 4 0 xxnx n n 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) )()(d)(baabfxxf b a 例例 39 3. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) (注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用) 4. 典型問題典型問題 (1) 估計積分值估計積分值; (2) 不計算定積分比較積分大小不計算定積分比較積分大小. 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 六、小結(jié)六、小結(jié) 1. 定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì): 特殊和式的極限特殊和式的極限. 2. 定積分的思想和方法定積分的思想和方法: 以直代曲、以勻代變以直代曲、以勻代變. 四步曲四步曲:分割、分割、 取近似、取近似、求和、求和、 取極限取極限. 思想思想 方法方法 40 作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題5-1(2335-1(233頁頁) ) 2.(2) ，6.(2) (4)，7，8. (3) (5) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間1