帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題

1、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題的解題技巧帶電粒子（質(zhì)量m、電量q確定）在有界磁場中運(yùn)動時，涉及的可能變化的參量有入射點(diǎn)、入射速度大小、入射方向、出射點(diǎn)、出射方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、磁場方向等，其中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與入射速度大小影響的都是軌道半徑的大小，可歸并為同一因素（以“入射速度大小”代表），磁場方向在一般問題中不改變，若改變，也只需將已討論情況按反方向偏轉(zhuǎn)再分析一下即可。在具體問題中，這五個參量一般都是已知兩個，剩下其他參量不確定（但知道變化范圍）或待定，按已知參數(shù)可將問題分為如下10類（），并可歸并為6大類型。類型已知參量類型一入射點(diǎn)、入射方向；出射點(diǎn)、出射方向類型二入射點(diǎn)、速度大小；出

2、射點(diǎn)、速度大小類型三入射點(diǎn)、出射點(diǎn)類型四入射方向、出射方向類型五入射方向、速度大??；出射方向、速度大??；類型六入射點(diǎn)、出射方向；出射點(diǎn)，入射方向入射點(diǎn)入射方向入射速度大小出射點(diǎn)出射方向所有這些問題，其通用解法是：第一步，找準(zhǔn)軌跡圓圓心可能的位置，第二步，按一定順序盡可能多地作不同圓心對應(yīng)的軌跡圓（一般至少5畫個軌跡圓），第三步，根據(jù)所作的圖和題設(shè)條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)。類型一：已知入射點(diǎn)和入射速度方向，但入射速度大小不確定（即軌道半徑不確定）這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在過入射點(diǎn)、垂直入射速度的同一條直線上?！纠?】如圖所示，長為L的水平極板間有垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁

3、場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為L，板不帶電現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是A使粒子的速度vC使粒子的速度vD使粒子的速度v時粒子能從右邊穿出粒子擦著上板從左邊穿出時，圓心在O點(diǎn)，有 r2由 r2 ，得 v2 ，所以v時粒子能從左邊穿出類型二：已知入射點(diǎn)和入射速度大小（即軌道半徑大?。?，但入射速度方向不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在一個“圓心圓”上所謂“圓心圓”，是指以入射點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓?！纠?】如圖所示，在0xa、0y范圍內(nèi)有垂直手xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

4、為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的 (1)速度的大小；(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！痉治觥勘绢}給定的情形是粒子軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經(jīng)過入射點(diǎn)O，入射點(diǎn)O到任一圓心的距離均為r，故所有軌跡圓的圓心均在一個“圓心圓”以入射點(diǎn)O為圓心、r為半徑的圓周上（如圖甲

5、）?？紤]到粒子是向右偏轉(zhuǎn)，我們從最左邊的軌跡圓畫起取“圓心圓”上不同點(diǎn)為圓心、r為半徑作出一系列圓，如圖乙所示；其中，軌跡對應(yīng)弦長大于軌跡對應(yīng)弦長半徑一定、圓心角都較小時（均小于180），弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運(yùn)動時間越長故軌跡對應(yīng)圓心角為90。圖乙圖甲【解答】設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力得：OyxCRDAaPv，解得： 當(dāng)a/2Ra時，在磁場中運(yùn)動的時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場中運(yùn)動的時間為t，依題意，t=T/4時，OCA=/2設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾

6、角為，由幾何關(guān)系得：，且 解得：這類題作圖要講一個小技巧按粒子偏轉(zhuǎn)方向移動圓心作圖。【練習(xí)2】如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。在t=0時刻，一位于ad邊中點(diǎn)O的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od邊的夾角分布在0180范圍內(nèi)。已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t0時刻剛好從磁場邊界cd上的p點(diǎn)離開磁場，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑恰好等于正方形邊長L，粒子重力不計(jì)，求：（1）粒子的比荷q/m；（2）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在0180范圍內(nèi)均勻分布，此時刻仍在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比；O3p

7、abcdOpabcdOO1O2O4（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間。pabcdO 圖甲 圖乙【分析】以L為半徑、O點(diǎn)為圓心作“圓心圓”（如圖甲）；由于粒子逆時針偏轉(zhuǎn)，從最下面的軌跡開始畫起（軌跡），在“圓心圓”取不同點(diǎn)為圓心、以L為半徑作出一系列圓（如圖乙）；其中軌跡與軌跡對稱，在磁場中運(yùn)動時間相同；軌跡并不經(jīng)過c點(diǎn)，軌跡對應(yīng)弦長短于軌跡對應(yīng)弦長即沿軌跡運(yùn)動的粒子最后離開磁場?！窘獯稹浚?）初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡如圖，其圓心為n，由幾何關(guān)系有： , 粒子做圓周運(yùn)動的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得，得 (2)依題意，同一時刻仍在磁場中的粒子到O點(diǎn)距離相

8、等。在t0時刻仍在磁場中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為園心，Op為半徑的弧pw上。由圖知 此時刻仍在磁場中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5/6 （3）在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場邊界b點(diǎn)相交，設(shè)此粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為，則 在磁場中運(yùn)動的最長時間 所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時間為。 類型三：已知入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，但未知初速度大小（即未知半徑大?。┖头较蜻@類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線的中垂線上?！纠?】如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy平面向外，大小為B，沿x軸放置一個垂直于xOy平面的較大的熒光屏，P點(diǎn)位于熒光屏上，在y軸上的A點(diǎn)放置

9、一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為m、電荷量+q的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，P點(diǎn)處在亮線上，已知OAOPl，求：（1）若能打到P點(diǎn)，則粒子速度的最小值為多少？（2）若能打到P點(diǎn)，則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為多少？【分析】粒子既經(jīng)過A點(diǎn)又經(jīng)過P點(diǎn)，因此AP連線為粒子軌跡圓的一條弦，圓心必在該弦的中垂線OM上（如圖甲）。在OM上取不同點(diǎn)為圓心、以圓心和A點(diǎn)連線長度為半徑由小到大作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡對應(yīng)半徑最小，而軌跡對應(yīng)粒子是O1點(diǎn)上方軌道半徑最大的，由圖可知其對應(yīng)圓心角也最大。O2O1O1圖甲圖乙MM【解答】（1）粒子在磁場

10、中運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，設(shè)粒子的速度大小為v時，其在磁場中的運(yùn)動半徑為R，則由牛頓第二定律有：qBvmx若粒子以最小的速度到達(dá)P點(diǎn)時，其軌跡一定是以AP為直徑的圓（如圖中圓O1所示）由幾何關(guān)系知：sAP=R則粒子的最小速度v（2）粒子在磁場中的運(yùn)動周期T設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動時其軌跡所對應(yīng)的圓心角為，則粒子在磁場中的運(yùn)動時間為：由圖可知，在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子的運(yùn)動軌跡如圖中圓O2所示，此時粒子的初速度方向豎直向上，則由幾何關(guān)系有：則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間：類型四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大小（即未知軌道半徑大?。┻@類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延

11、長線形成的角的角平分線上?！纠?】在xOy平面上的某圓形區(qū)域內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一個質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始沿x正方向運(yùn)動，進(jìn)入該磁場區(qū)域后又射出該磁場；后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時速度方向與y軸的夾角為30（如圖所示），已知P到O的距離為L，不計(jì)重力的影響。（1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小為，試求該圓形磁場區(qū)域的最小面積。30oyvLOPQCA圖甲xPLOyv30oQCA圖乙x【分析】初、末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩條直線的距離（即軌道半徑）相等，因此，圓

12、心必位于初、末速度延長線形成的角的角平分線QC上（如圖甲）；在角平分線QC上取不同的點(diǎn)為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓（如圖乙），其中以C點(diǎn)為圓心軌跡是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對應(yīng)的粒子速度也最大。30oyvLOPx圖丙Ly30ovOQCAPx【解答】過P點(diǎn)作末速度所在直線，交x軸于Q點(diǎn)，經(jīng)分析可知，粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的軌跡的圓心必在的角平分線QC上，如圖甲所示。設(shè)粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，則由牛頓第二定律，有 則 由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心是y軸上的C點(diǎn)。（1）如圖丙所示，速度最大時粒子的軌跡圓過O點(diǎn)、且與P

13、Q相切于A點(diǎn)。由幾何關(guān)系有 ，可得 由、求得 （2）將代入式，可得，粒子的運(yùn)動軌跡是如圖丁所示的軌跡圓，該軌跡圓與x軸相切于D點(diǎn)、與PQ相切于E點(diǎn)。連接DE，由幾何關(guān)系可知 由于D點(diǎn)、E點(diǎn)必須在磁場內(nèi)，即線段DE在磁場內(nèi)，故可知Py30oxLO圖丁AvCQDE磁場面積最小時必定是以DE為直徑（如圖丁中所示）。即面積最小的磁場半徑為 則磁場的最小面積為 類型五：已知初速度的大?。匆阎壍腊霃酱笮。┖头较?，但入射點(diǎn)不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在將入射點(diǎn)組成的邊界沿垂直入射速度方向平移一個半徑距離的曲線上?！纠?】如圖所示，長方形abcd的長ad=0.6m，寬ab=0.3m，O、e分

14、別是ad、bc的中點(diǎn)，以e為圓心eb為半徑的圓弧和以O(shè)為圓心Od為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(eb邊界上無磁場)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.25T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m=310-7kg、電荷量q=+210-3C的帶正電粒子以速度v=5l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是（ D ）A. 從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B. 從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C. 從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊D. 從ad邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部通過b點(diǎn)【分析】所有進(jìn)入磁場的粒子的入射點(diǎn)均在dOb線上，將該曲線垂直速度向上平移一個半徑后得到曲線

15、Oaf，此即所有粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心所在曲線，在該曲線上從下到上取點(diǎn)作為圓心、為半徑作一系列軌跡圓，其中為從d點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在O點(diǎn)），為從O點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在a點(diǎn)），為從a點(diǎn)射入粒子的軌跡，從d、O之間入射粒子在磁場中轉(zhuǎn)過1/4圓周后沿eb邊界作直線運(yùn)動最終匯聚于b點(diǎn)，從O、a之間入射粒子先作直線運(yùn)動再進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動，由作圖易知這些粒子也匯聚于b點(diǎn)。fff【練習(xí)5】如圖所示，在xOy平面內(nèi)有一半徑為R、與x軸相切于原點(diǎn)的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場。在圓的左邊0y0)和初速度v的帶電微粒沿x軸正方向射向該區(qū)域，其中沿半徑AO方向進(jìn)入磁場區(qū)域的帶電微粒

16、經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開。(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向。(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由?！痉治觥浚?）從A點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域的微粒軌跡圓心在A點(diǎn)正下方相距R的C處，微粒軌跡如圖所示，可知微粒軌跡半徑為；（2）所有這些微粒進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動的圓心均在如圖所示半圓虛線OCD上，在該曲線上由上到下取點(diǎn)作為圓心、以R為半徑作一系列軌跡圓，易由圖可知這些微粒均與x軸相交于原點(diǎn)因?yàn)閳A心所在曲線半圓OCD的圓心是原點(diǎn)O。CDCD【答案】(1)，方向垂直xOy平面向外；（2）這束微粒均與x軸相交于原點(diǎn)。類型六：已知初速度方向（所在直線）和出射點(diǎn)，但入射點(diǎn)不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在“以初速度所在直線為準(zhǔn)線、出射點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線”上。【例6】如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0，a）點(diǎn)以初速度v0平行于x軸射出，在y軸右側(cè)某一圓形區(qū)域加