版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、課程基本信息課題等比數(shù)列的概念教科書書名:普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊A版 出版社:人民教育出版社 出版日期: 2020年 5 月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo):(1)通過類比等差數(shù)列,理解等比數(shù)列的定義,并能以方程思想作指導(dǎo),理解和運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)體會類比、歸納的思想,培養(yǎng)學(xué)生概況、抽象思維等能力.教學(xué)重點(diǎn):等比數(shù)列概念的形成及通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):等比數(shù)列通項(xiàng)公式的探求.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動1分鐘引入問題1 在前面的學(xué)習(xí)中,我們知道,等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)”,類比等差數(shù)列的研究思路和方法,從運(yùn)算的角度出發(fā),你覺得還有怎
2、樣的數(shù)列是值得研究的?請觀察下面幾個問題中的數(shù)列.1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列: 9,92,93,910; 100,1002,1003,10010; 5,52,53,510. 2.莊子 天下中提到:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”意思是一尺長的棍棒,每日截取它的一半,永遠(yuǎn)截不完.形象地說明了事物具有無限可分性.用數(shù)學(xué)眼光來看,就是如果把“一尺之錘”的長度看成單位“1”,那么從第一天開始,各天得到的“棰”的長度依次是 ,. 3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下,某種細(xì)菌每20 min 就通過分裂繁殖一代,每一個細(xì)菌都分裂成兩個,那么一個這種細(xì)菌從第1次分裂開始,各次分
3、裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是 2,4,8,16,32,64,. 4某人存入銀行a元,存期為5年,年利率為r,那么按照復(fù)利,他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別多少?復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計(jì)算下一期的利息.存入 a元,第一年末 a1+r,第二年末 a1+r+a1+rr=a1+r2,(以a1+r為本金)第三年末 a1+r2+a1+r2r= a1+r3,(以a1+r2為本金,下面以此類推)第四年末 a1+r3+a1+r3r=a1+r4,第五年末 a1+r4+a1+r4r= a1+r5.即5年內(nèi)每年末得到的本利和為a1+r,a1+r2,a1+r3,a1+r4,a1+r5. 13分鐘新課追
4、問1:類比等差數(shù)列的研究,你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?我們知道,加法、乘法運(yùn)算是數(shù)學(xué)中兩類基本的運(yùn)算,很多變化符合加法、乘法的運(yùn)算規(guī)律,我們常常稱為線性變化、指數(shù)變化.我們可以通過除法運(yùn)算探究以上數(shù)列的取值規(guī)律.如果用an表示數(shù)列,那么有 ,.這表明,數(shù)列有這樣的取值規(guī)律:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于9.其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律,請你說出相應(yīng)的規(guī)律.追問2:類比等差數(shù)列的概念,從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中,你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎?等差數(shù)列等比數(shù)列一般地,如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列
5、,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常會用字母d表示.一般地,如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常會用字母q表示.用代數(shù)法怎么表述以上定義?公比 q的取值范圍是什么?我們通過練習(xí)探究一下.追問3:由等比數(shù)列的定義,判斷下列數(shù)列是不是等比數(shù)列.如果是,寫出它的公比.(1)1,1.1,1.21,1.331,1.4641;(2)0,2,0,2;(3)4,-8,16,-32,64,-128;(4)5,5,5,5,5.解:(1)設(shè)數(shù)列為an,因?yàn)?所以,是等比數(shù)列. 公比 q=1.1. (2)設(shè)數(shù)列為bn,因?yàn)闊o意
6、義,所以不是等比數(shù)列 . 由此發(fā)現(xiàn),等比數(shù)列首項(xiàng) a1不能為 0 . 公比 q 可以是 0 嗎? 如果我們?nèi)サ魯?shù)列的第1項(xiàng),剩下的三項(xiàng)是否組成等比數(shù)列? 此時,但是無意義. 所以公比q 不可以是 0. (3)設(shè)數(shù)列為cn,因?yàn)?,所以是等比?shù)列. q=-2. 公比可以是負(fù)數(shù). (4)設(shè)數(shù)列為dn,因?yàn)?,所以是等比?shù)列. q=1. 非零常數(shù)列既是公差為0的等差數(shù)列,也是公比為1的等比數(shù)列.通過上面的練習(xí)可以總結(jié),等比數(shù)列的公比q 可正、可負(fù),但不可為零.追問4:在等差數(shù)列中,我們學(xué)習(xí)了等差中項(xiàng)的概念,通過類比,我們在等比數(shù)列中有什么相應(yīng)的概念?如何定義?等差數(shù)列等比數(shù)列由三個數(shù)a,A,b組成最簡單
7、的等差數(shù)列,這時,A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列定義可知,2A=a+b.如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時,G2=ab.問題2 你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎?追問1:回憶一下,等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程,類比猜想,等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項(xiàng)公式?等差數(shù)列等比數(shù)列a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,歸納得,an=a1+n-1d n2當(dāng)n=1時,上式也成立.因此,首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+n-1d.a2=a1q,a3=a2q=a1qq=a1q2, a4=a3q=a1q
8、2q=a1q3, 由此可得 an=a1qn-1n2.又a1=a1q0=a1q1-1,這就是說,當(dāng)n=1時上式也成立.因此,首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=a1qn-1.上述推理過程屬于歸納推理,由歸納推理所獲得的結(jié)論僅僅是一種猜想,用4.4節(jié)數(shù)學(xué)歸納法可以給出嚴(yán)格的證明,上述通項(xiàng)公式是正確的.追問2:除了歸納法以外,我們還用什么方法同樣推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?(累加法)類比等比數(shù)列,從運(yùn)算角度出發(fā),可以用什么方法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?(累乘法)等差數(shù)列等比數(shù)列a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=d,左右兩邊分別依次相加,得到an-a1=n-
9、1d,所以,an=a1+n-1d.,左右兩邊分別依次相乘,得到,所以an=a1qn-1.問題3 在等差數(shù)列中,公差d0的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系,那么對于等比數(shù)列,公比q滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類似的聯(lián)系?類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系,由可知,當(dāng)q0且q1時,等比數(shù)列an的第n項(xiàng)an是指數(shù)型函數(shù)當(dāng)x=n時的函數(shù)值,即an=fn.如圖所示.反之,任給指數(shù)型函數(shù)fx=kax(k,a為常數(shù),k0,a0,且a1),則f1=ka,f2=ka2,fn=kan,構(gòu)成一個等比數(shù)列kan,其首項(xiàng)為ka,公比為a.追問1:類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),你能說說公比q0的等比數(shù)列的單調(diào)性嗎?分析:
10、因?yàn)榈膯握{(diào)性不僅與q的取值范圍有關(guān),也與a1的正負(fù)有關(guān),所以我們可以總結(jié)如下:0q1q=1指數(shù)函數(shù)y=qx的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增等比數(shù)列an=qn的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變等比數(shù)列an=a1qn-1的單調(diào)性a10單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變a10單調(diào)遞增單調(diào)遞減不變8分鐘知識應(yīng)用例1 若等比數(shù)列an的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12,求an的第5項(xiàng).追問1:等比數(shù)列通項(xiàng)公式由哪些量的值確定?分析:等比數(shù)列an由a1,q唯一確定,可利用條件列出關(guān)于a1,q的方程(組),進(jìn)行求解.解法1:由a4=48,a6=12,得 a1q3=48, a1q5=12. 的兩邊分別除以的兩邊,得解得或.把代入,得a1=3
11、84.此時a5=a1q4=384124=24.把代入,得a1=-384.此時a5=a1q4=-384-124=-24.因此,an的第5項(xiàng)是24或-24.小結(jié):只要給定兩個獨(dú)立的條件,就能確定等比數(shù)列,從而求出數(shù)列的某一項(xiàng).追問2:觀察所求的a5與a4、 a6有什么聯(lián)系?解法2:因?yàn)閍5是a4與a6的等比中項(xiàng),所以 a52=a4a6=4812=576.所以a5=576=24.因此,an的第5項(xiàng)是24或-24.例2 已知等比數(shù)列an的公比為q,試用an的第m項(xiàng)am表示an.解:由題意,得am=a1qm-1, an=a1qn-1. 的兩邊分別除以的兩邊,得 ,所以 an=amqn-m.小結(jié):等比數(shù)列
12、的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示.追問:類比等比數(shù)列的這個結(jié)論,等差數(shù)列也有類似的結(jié)論嗎?由 am=a1+m-1d, an=a1+n-1d. 的兩邊分別減的兩邊,得 an-am=n-md,所以 an=am+n-md.所以,等差和等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公差或公比表示.2分鐘歸納小結(jié)本課小結(jié):等差數(shù)列等比數(shù)列一般地,如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常會用字母d表示.概念一般地,如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常會用字母q表示.公差d常數(shù)公比q公差d可正、可負(fù)、可為零性質(zhì)公比q可正、可負(fù)、不可為零an=a1+n-1d通項(xiàng)公式an=a1qn-1an=am+n-md通項(xiàng)公式變形an=amqn-m類比思想是串聯(lián)新舊知識的紐帶,也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉,數(shù)學(xué)中許多定理、公式和法則都是用類比推理提出的. 在高中數(shù)學(xué)中,類比是最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,它不僅能由已知解決未知,由簡單問題解決復(fù)雜問題,更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法之奇妙. 恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用類比思想,可以幫助同學(xué)們
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年華師大新版七年級生物下冊月考試卷含答案
- 2025年湘教新版九年級歷史下冊階段測試試卷含答案
- 2025年浙教版必修1歷史下冊月考試卷
- 2025年人教A新版七年級科學(xué)下冊階段測試試卷含答案
- 2025年蘇教新版九年級歷史下冊月考試卷
- 2025年仁愛科普版選擇性必修1語文上冊階段測試試卷含答案
- 二零二五版木材加工廢棄物處理合同3篇
- 二零二五年度苗圃場租賃與環(huán)保技術(shù)應(yīng)用合同3篇
- 承包協(xié)議合同(2篇)
- 二零二五版農(nóng)業(yè)用地流轉(zhuǎn)合同范本(含政府補(bǔ)貼條款)3篇
- 【語文】第23課《“蛟龍”探海》課件 2024-2025學(xué)年統(tǒng)編版語文七年級下冊
- 加強(qiáng)教師隊(duì)伍建設(shè)教師領(lǐng)域?qū)W習(xí)二十屆三中全會精神專題課
- 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級上冊期末復(fù)習(xí)卷(含答案)
- 2024年決戰(zhàn)行測5000題言語理解與表達(dá)(培優(yōu)b卷)
- 四年級數(shù)學(xué)上冊人教版24秋《小學(xué)學(xué)霸單元期末標(biāo)準(zhǔn)卷》考前專項(xiàng)沖刺訓(xùn)練
- 2025年慢性阻塞性肺疾病全球創(chuàng)議GOLD指南修訂解讀課件
- (完整版)減數(shù)分裂課件
- 銀行辦公大樓物業(yè)服務(wù)投標(biāo)方案投標(biāo)文件(技術(shù)方案)
- 第01講 直線的方程(九大題型)(練習(xí))
- 微粒貸逾期還款協(xié)議書范本
- 人教版七年級上冊數(shù)學(xué)全冊課時練習(xí)帶答案
評論
0/150
提交評論