同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)第一章第十節(jié)課件PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)第一章第十節(jié)課件同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)第一章第十節(jié)課件 v最大值與最小值 對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x) 如果有x0I 使得對(duì)于任一 xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值) 最大值與最小值舉例: 函數(shù) f(x)=1+sinx在區(qū)間0 2p上有最大值 2 和最小值 0 下頁 第1頁/共14頁 函數(shù)y=sgn x 在區(qū)間(- +)內(nèi)有最大值1和最小值-1 但 在開區(qū)間(0 +)內(nèi) 它的最大值 和最小值都是1 下頁 最大值與最小值舉例: 一、有界性與最大值最小值定理 v最大值與最小值 對(duì)于在區(qū)間I上有定義的

2、函數(shù)f(x) 如果有x0I 使得對(duì)于任一 xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值) 第2頁/共14頁 并非任何函數(shù)都有最大值和 最小值 例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間 (a b)內(nèi)既無最大值又無最小值 應(yīng)注意的問題: 下頁 一、有界性與最大值最小值定理 v最大值與最小值 對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x) 如果有x0I 使得對(duì)于任一 xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值) 第3頁/共14頁 說明: v定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間

3、上一定能取得它的最大值和 最小值 下頁 又至少有一點(diǎn)x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值 至少有一點(diǎn)x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值 定理說明 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 那么 第4頁/共14頁 應(yīng)注意的問題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn) 那 么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值 例如 函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a b) 內(nèi)既無最大值又無最小值 下頁 v定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和 最小值 第5頁/共14頁 下頁 又如 如下函數(shù)在閉區(qū)間0 2 內(nèi)既無最大值又無最小值

4、+- = +- = 21 3 1 1 10 1 )( xx x xx xfy 應(yīng)注意的問題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn) 那 么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值 v定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和 最小值 第6頁/共14頁 v定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 證明 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 根據(jù)定理1 存在f(x)在區(qū)間a b上的最大值M和最小值 m 使任一xa b滿足 mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函數(shù)f(x)在 a b上有界 首頁 v定理1

5、(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和 最小值 第7頁/共14頁 注: 如果x0使f(x0)=0 則x0稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn) 下頁 v定理3(零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號(hào) 那么在開 區(qū)間(a b)內(nèi)至少一點(diǎn)x 使f(x)=0 第8頁/共14頁 例1 證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0 1)內(nèi)至少有一個(gè)根 證明 設(shè) f(x)=x3-4x2+1 則f(x)在閉區(qū)間0 1上連續(xù) 并且 f(0)=10 f(1)=-2 下頁 二、零點(diǎn)定理與介值定理 v定理3(零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)

6、與f(b)異號(hào) 那么在開 區(qū)間(a b)內(nèi)至少一點(diǎn)x 使f(x)=0 第10頁/共14頁 二、零點(diǎn)定理與介值定理 v定理3(零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號(hào) 那么在開 區(qū)間(a b)內(nèi)至少一點(diǎn)x 使f(x)=0 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m 之間的任何值 v定理4(介值定理) 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)f(b) 那么 對(duì)于 f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得f(x)=C 結(jié)束 第11頁/共14頁 1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖), 證明必可將它 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 一刀剪為面積相等的兩片. 提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖. x o y 則面積函數(shù) ,)(CS 因 ,0)(=SAS=)( 故由介值定理可知: , ),( 0 . 2 )( 0 A S=使 )(S 第1