經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件13函數(shù)的極限

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日1 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 (Limits of Functions) 第一章第一章 在前一節(jié)我們討論了數(shù)列的極限， 本節(jié)主要介 紹一般函數(shù)的極限以及其性質(zhì) 二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì) 一、函數(shù)極限的定義一、函數(shù)極限的定義 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日2 一、函數(shù)一、函數(shù)極限的定義極限的定義 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日3 1.自變量趨于自變量趨于無窮大無窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限 (Limits Involving Infinity) 返回返回上

2、頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日4 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日5 定義定義1可簡(jiǎn)單地表達(dá)為：可簡(jiǎn)單地表達(dá)為： lim( ) x f xA 幾何解釋幾何解釋: 補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義 直線直線 y = A 為曲線為曲線的水平漸近線的水平漸近線 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日6 直線直線 y = A 仍是曲線仍是曲線 y = f (x) 的漸近線的漸近線 . 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 有有 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 有有 幾何意義幾何意義 : 例如，例如， 都有水平漸近線都有水平漸近線 都有水平漸近線都有水平漸近線 又如，又如， 兩種特殊情況兩種特殊

3、情況 : 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日7 證證: 例例1 證明證明 取取 因此因此 就有就有 故故欲使欲使 即即 注注:是是的水平漸近線的水平漸近線. 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日8 2.自變量趨于自變量趨于有限值有限值時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限. (Limits Involving Finites) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日9 （1） 雙側(cè)極限雙側(cè)極限 (Two-sided Limits) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日10 當(dāng)時(shí), 有 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄

4、目錄 2021年7月18日星期日11 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日12 例例2 證明證明 證證: 欲使欲使只要只要 取取則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí) , 必有必有 因此因此 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日13 證證: 例例3 證明證明 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=3處沒有定義處沒有定義. 故故取取當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , 必有必有 因此因此 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日14 證證: 欲使欲使且且 而而可用可用 因此因此 只要只要 時(shí)時(shí) 故取故取 則當(dāng)則當(dāng)時(shí)時(shí), 保證保證 . 必有必有 例例4 證明證明: 當(dāng)當(dāng) 返回返回上頁上頁下頁下

5、頁目錄目錄 2021年7月18日星期日15 （2）單側(cè)極限）單側(cè)極限(One-sided Limits) 左極限左極限 (Left Limits) : 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有 右極限右極限(Right Limits) : 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有 定理定理 1 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日16 證：證： 利用定理利用定理1，知，知 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日17 討論討論 時(shí)時(shí)的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理1 . 因?yàn)橐驗(yàn)?顯然顯然所以所以不存在不存在 . 例例6（補(bǔ)充題（補(bǔ)充題） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 返回返回上頁上

6、頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日18 二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì) 定理定理2 (函數(shù)極限的唯一性）函數(shù)極限的唯一性） 定理定理3 (函數(shù)極限的函數(shù)極限的局部局部有界性有界性) 證：證： 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日19 若若且且 A 0 , 證證: 已知已知即即 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有 當(dāng)當(dāng) A 0 時(shí)時(shí), 取正數(shù)取正數(shù) 則在對(duì)應(yīng)的鄰域則在對(duì)應(yīng)的鄰域上上 ( 0) 則存在則存在( A 0 ) 定理定理4 （函數(shù)極限的函數(shù)極限的局部局部保號(hào)性保號(hào)性） 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日20 若取若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域則在對(duì)

7、應(yīng)的鄰域上上 若若則存在則存在使當(dāng)使當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有（書中定理（書中定理5） 分析分析: 推論推論1 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日21 證證: 用反證法.則由定理 1, 的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi)與已知 所以假設(shè)不真, (同樣可證的情形) 存在 假設(shè) A 0 , 條件矛盾, 故 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日22 定理定理5 海因定理海因定理（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 條件：條件： （1） （2） 結(jié)論：結(jié)論： （1） （2） 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月18日星期日23 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 函數(shù)極限的函數(shù)極限的或或定義及應(yīng)用定義及應(yīng)用 2. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì): 與與左右極限左右極限等價(jià)定理；等價(jià)定理；Th1 唯一性定理；唯一性定理； Th2 局部局部有界性；有界性； Th3 函數(shù)極限的函數(shù)極限的局部局部保號(hào)性保號(hào)性 ； Th4 海因定理海因定理（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) Th5 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021年7月1