2_桿系結(jié)構(gòu)有限元分析1

1、第一章 桿系結(jié)構(gòu)有限元分析 楊海軍楊海軍 河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系 1-1 概述 桿系是工程中常見的結(jié)構(gòu)體系，比較簡單，其 中每一個桿件都可以看作是一個單元，單元受力與 位移的關(guān)系很容易求得而且物理概念清晰、直觀。 結(jié)構(gòu)力學(xué)中介紹的矩陣位移法是采用經(jīng)典的方法講 述的，它是利用轉(zhuǎn)角位移方程來建立單元特性公式， 所以只適用于桿系。有限元方法是在結(jié)構(gòu)矩陣分析 的矩陣位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，在建立位移場的 過程中采用的是最有普遍意義的方法，即建立單元 位移場函數(shù)，通過最小勢能原理進行單元和整體分 析。 桿系結(jié)構(gòu)分類 按變形分類 軸向變形桿件桁架結(jié)構(gòu) 扭轉(zhuǎn)變形桿件傳動軸系 彎曲變形桿

2、件剛架結(jié)構(gòu) 按軸線分布分類 平面結(jié)構(gòu)體系 空間結(jié)構(gòu)體系 桿系結(jié)構(gòu)有限元分析方法 局部坐標系下單元剛度矩陣 整體坐標系下單元剛度矩陣 集成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 單元分析 整體分析 平衡求解 引入邊界條件、求解線性方程組，得未知量解答 一般規(guī)定一般規(guī)定 桿單元ij，單元局部坐標系為oxyz，i點為原點，x軸沿 著桿軸線，其正方向為由i指向j，其余各軸按右手螺旋規(guī)則確 定。設(shè)ui，vi，wi，uj，vj，wj為桿元結(jié)點位移分量；Ui，Vi，Wi ，Uj，Vj，Wj為桿單元結(jié)點力分量，一律規(guī)定和坐標軸正向一 致時為正。設(shè)桿的長度為l，彈性模量為E，橫截面積為A。 i j x y z ui( Ui ) vi

3、( Vi ) wi( Wi ) uj( Uj) vj( Vj ) wj( Wj ) 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 位移函數(shù)位移函數(shù) 對于鉸接桿單元，在小變形假設(shè)的前提下，與桿垂直方向 的位移并不使桿產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力。對每一個結(jié)點只需考慮一個 結(jié)點位移和結(jié)點力，因而只需研究一維桿單元。 i j x ui( Ui ) uj( Uj) l x 單元在結(jié)點力作用下各點的位移叫內(nèi)位移內(nèi)位移 描繪內(nèi)位移的函數(shù)叫位移函數(shù)位移函數(shù) 設(shè)位移函數(shù)：u(x)=a1+a2x a1,a2是兩個待定常數(shù)，可由i，j兩結(jié)點的位移唯一確定。 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 x=0，u(0)=ui x=l，

4、u(l)=uj 代入位移函數(shù)：u(x)=a1+a2x a1=ui , a2=(uj-ui)/l 則:u(x)=(1-x/l)ui +(x/l) uj ui 或?qū)懗? u(x)=1-x/l x/l uj ui =Ni Nj uj =Nue 1 ij xx NN ll ， 在有限元法中，Ni、Nj分別稱為i、j點的形狀函數(shù)形狀函數(shù) N稱為形狀函數(shù)矩陣形狀函數(shù)矩陣 形狀函數(shù)矩陣把單元的結(jié)點位移和單元的內(nèi)位移連接起來， 其每一個元素都是坐標的函數(shù)。 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 當ui=1，uj=0時，桿單元的位移u(x)就是Ni 當ui=0，uj=1時，桿單元的位移分布就是Nj 位移分布

5、規(guī)律： N=1-x/l x/l則:u(x)=(1-x/l)ui +(x/l) uj Ni 1 Nj 1 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 ui uj 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 形狀函數(shù)的力學(xué)含義：形狀函數(shù)的力學(xué)含義：當單元的一個結(jié)點位移為單位值，其 他結(jié)點的位移為零時，單元內(nèi)位移的分布規(guī)律。 形狀函數(shù)的兩個重要性質(zhì)為：形狀函數(shù)的兩個重要性質(zhì)為： 1、一結(jié)點為1，其他結(jié)點為0； 2、任意一點總和為1。 自然結(jié)點離散化為有限元的集合，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)模型離散化結(jié)構(gòu)模型離散化， 那么，形狀函數(shù)完成了數(shù)學(xué)模型離散化數(shù)學(xué)模型離散化，這兩個離散化的步 驟構(gòu)成了有限元法的理論基礎(chǔ)。 形狀函

6、數(shù)把兩孤立的常值位移，化為連續(xù)函數(shù)形狀函數(shù)把兩孤立的常值位移，化為連續(xù)函數(shù) 幾何關(guān)系和物理關(guān)系幾何關(guān)系和物理關(guān)系 x du dx 1 11 1 x ddxdx dxdxldxll eee Nuuu e Bu 或?qū)懗?單元的應(yīng)變和應(yīng)力，根據(jù)應(yīng)變定義 ui 帶入位移函數(shù)： u(x)=1-x/l x/l uj 1/1 1lB 應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 xx E 對于拉(壓)桿，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系有 用矩陣表示為 DD為彈性矩陣 彈性矩陣 ee D = DBu = Su 1 1 E l S 其中 S=DB 稱為應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣 對于拉（壓）桿單元有 1-1 拉拉(

7、(壓壓) )桿單元桿單元 平衡關(guān)系平衡關(guān)系 T ij UU e f桿單元結(jié)點力向量 單元在外力和內(nèi)力作用下處于平衡狀態(tài)，反映單元平衡狀態(tài) 的關(guān)系式就是剛度方程。下面利用最小勢能原理推導(dǎo)單元的 剛度方程剛度方程。 最小勢能原理：最小勢能原理：在滿足連續(xù)條件和邊界條件的位移中，滿足 平衡條件的位移其總勢能最小，反之亦然。 eee UV 單元總勢能 其中U e為單元的應(yīng)變能，V e為單元的外力勢能。 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 11 22 T e UdVdV Tee BuDBu dV eT KB DB 1 2 e U T eee uK u e V T ee uf 令 則 1 2 T d

8、V eTe uB DBu 外力勢能 1 2 eee UV TT eeeee uK uuf 總勢能 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 1 2 eee UV TT eeeee uK uuf 0 e eee e K uf u eee K uf 根據(jù)最小勢能原理，勢能泛函取駐值的必要條件 即： 桿單元的平衡方程平衡方程 0 1 11 1 1 1 l dVEAdx ll eT KB DB 11 11 EA l 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 整體坐標系的剛度矩陣整體坐標系的剛度矩陣 設(shè)oxyz為總體坐標系， oxyz為局部坐標系。 cossin sincos iii iii uuv v

9、uv cossin sincos jjj jjj uuv vuv 同理對于j 結(jié)點 用矩陣表示為 cossin , sincos l l l l uu li j vv ll uu 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 ii ii jj jj uu vv uu vv e e uTu 1T TT 對兩結(jié)點桿單元，當用總體坐標系位移ue表示局部坐標系中 位移(u)e 時有轉(zhuǎn)換關(guān)系 T 矩陣稱為坐標變換矩陣坐標變換矩陣，是以為子矩陣的對角方陣，為正 交矩陣。 當用局部坐標系位移表示總體坐標系中的位移時有 1 ee T e uTuTu 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 e eT fTf ee

10、 eTT e fTfTKu e eT KTKT eee f= K u 令 類似方法，總體坐標系與局部坐標系間結(jié)點力的關(guān)系式 eee K uf將式 代入上式 e eT e fTKTu 將式 代入上式 e e uTu 單元總體坐標系的平衡方程 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 cossin001010cossin00 sincos000000sincos00 00cossin101000cossin 00sincos000000sincos aa EA l e Kg 22 22 22 22 coscossincoscossin cossinsincossinsin coscossincos

11、cossin cossinsincossinsin aa aaEA laa aa e K 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 整體坐標系下的單元剛度矩陣剛度矩陣 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 cos( , )cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , )cos( , ) iiii iiii iiii uux xvx ywx z vuy xvy ywy z wuz xvzywz z 設(shè)局部坐標的x， y ，z 軸與整體坐標系x,y,z軸之間夾角 方向余弦為：cos(x,x) cos(x,y) cos(x,z)

12、 cos(y,x) cos(y,y) cos(y,z) cos(z,x) cos(z,y) cos(z,z) 則相應(yīng)的位移關(guān)系為 空間桿單元空間桿單元 1-1 拉拉( (壓壓) )桿單元桿單元 cos( , )cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , )cos( , ) x xx yx z y xy yy z z xz yz z 0 0 T e T e KTKT 方向余弦矩陣 空間桿單元坐標變換矩陣 單元在兩個坐標系中剛度矩陣轉(zhuǎn)換關(guān)系同樣有 矩陣中僅僅包含有坐標的傾角，僅平行移動坐標軸，剛度矩陣 中元素值不變，矩陣的階數(shù)也

13、不改變。 1-2 扭轉(zhuǎn)桿單元 01 ( )xcc x 在局部坐標系中，每一個點將具有一個基本未知位移，最簡單 的單元位移函數(shù)可以設(shè)為 ( )x桿件發(fā)生自由扭轉(zhuǎn)時，待求位移是截面的扭轉(zhuǎn)角 結(jié)點位移向量, T ij e e , T ij MM e M結(jié)點力向量 ( ) iijj xNN e ppp dd MGIGIGI dxdx N B e e 11d dxll N B 其中的待定常數(shù)可以用兩端節(jié)點的扭角 i 、j表示，從而 任意截面的扭轉(zhuǎn)角可由結(jié)點位移和形函數(shù)表示為 其中 由材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)可知 1, ij xx NN ll 其中 為形函數(shù)。 1-2 扭轉(zhuǎn)桿單元 0 1 2 lT eeeTee d

14、UVdx dx MM 0 1 2 lT eee p GIdx T BBM T T e e e e 單元剛度方程單元剛度方程 扭轉(zhuǎn)桿的勢能為 0 0 e lT Tee p GIdx BBM e e ee e KM 0 l T p GIdx e BBK 11 11 pe GI l K 單元剛度方程為 局部坐標扭轉(zhuǎn)桿單元剛度矩陣 由泛函取駐值的必要條件有 其顯式為 1-2 扭轉(zhuǎn)桿單元 ij ui vi i uj vj j ij Ni Qi Mi Nj Qj Mj 結(jié)點位移矢量：ue=ui vi i uj vj j T 結(jié)點力矢量：f e=Ni Qi Mi Nj Qj Mj T 正負規(guī)定正負規(guī)定：軸力

15、、剪力與局部坐標系坐標軸正向一致為正； 彎矩以順時針轉(zhuǎn)動為正。 梁單元結(jié)點位移梁單元結(jié)點力 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 d ( , ) d v u x yy x 2 2 dd dd x uv y xx 先將軸力與剪力、彎矩分開考慮。直梁彎曲時滿足平截面 假設(shè)，原來垂直軸線的平面，變形后仍垂直于軸線。若梁中面 撓度為v，則因彎曲而引起的軸向位移為 其中，y 是所討論點距中性軸的距離， 位移函數(shù)位移函數(shù) 應(yīng)變 2 2 d d Mv yEy Ix x M y I 根據(jù)合成關(guān)系有 2d A IyA （其中，I 是截面慣性矩 ） xx E根據(jù)胡克定律 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 2 2 d

16、d v MEI x 2 2 d d M q x 222 222 ddd ddd Mv qEI xxx 4 4 d d v EIq x 又根據(jù)荷載集度與彎矩的微分關(guān)系： 現(xiàn)討論的梁EI為常數(shù) 4 4 d 0 d v EI x 23 0123 ( )v xbb xb xb x 若梁上無分布荷載，即q=0 由此可以判斷v是x的三次函數(shù) 則梁的轉(zhuǎn)角 2 123 d ( )23 d v xbb xb x x 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 01 232 0123123 , , 23 ii jj vbb vbblb lb lbb lb l 0 1 23 2 2 3 1000 0100 1 0123 i

17、i j j vb b vlllb b ll 將i、j結(jié)點位移代入上兩式 用矩陣表示 從而得 0 1 22 2 3 3232 1000 0100 3231 2121 i i j j vb b vb llll b llll 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 23 22 3232 1000 0100 3231 ( )1, , 2121 ii ii jj jj vv v xx xx vv llll llll v N 23232323 232232 0101 32232 1, iijj xxxxxxxx x llllllll HHHH v N 單元的形狀函數(shù)矩陣Nv為 其中 2323 01 232 23

18、23 01 232 322 1, 32 , ii jj xxxx HHx llll xxxx HH llll 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 x l 2323 01 2332 01 1 32, 2 32, ii jj HHl HHl 設(shè) 則 以上四個函數(shù)即是二結(jié)點梁單元的形狀函數(shù)形狀函數(shù)。由于每結(jié) 點有兩個位移參數(shù)，則每結(jié)點有兩個形狀函數(shù)。 H0i是指i結(jié)點零階導(dǎo)數(shù)（即i點位移）對應(yīng)的形函數(shù)，H1i 指i結(jié)點一階導(dǎo)數(shù)（即i結(jié)點轉(zhuǎn)角）對應(yīng)的形函數(shù)，位移函數(shù) 用內(nèi)插多項式表示為 0101 ( ) i i iiiijjjj j j v v xH vHH vH v v N 1-3 平面直梁單元平面直

19、梁單元 2 0 23 d66 d i Hxx xll 0 0 d |0 d i x H x 0 d |0 d i x l H x 23 0 (0)1 321 i H 當x=0，即=0， ； 當x=l，即=1, H0i(1)=0； 當x=0，x=l時 H0i曲線在i、j點切線平行于x軸，即H0i不引起結(jié)點轉(zhuǎn)角改變。 H0i表示當i點垂直位移vi=1，其他位移等于零時梁元的撓曲形狀。 形狀函數(shù)的性質(zhì)形狀函數(shù)的性質(zhì): : x y ij 1 H0i(x) x y ij 1 H0j(x) x y ij i=1 H1i(x) x y ij H1j(x) j=1 (a) (b) (c) (d)(a) (b)

20、 (c) (d) 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 0 1 10 1/1/ i j ua uall 0 1 10 ( )1,1, 1/1/ ii jj uua u xxx uulla u N 1,1, x x ll u N 由此得 其中 軸力N引起的位移u(x)仍設(shè)為線性，u(x)=a0+a1x，將結(jié)點位移引 入可求得 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 T e iiijjj uvuvu ( ) ( ) e u x v x Nu 01 01 00100 00 jj ii HHHH u v N N N 位移函數(shù)改寫為 則形狀函數(shù)N為 現(xiàn)將結(jié)點位移列陣合并為 01 01 00100( ) 00( )

21、 i i i j jj ii j j u v u x u HHHHv x v e Nu 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 位移函數(shù)求得后，可得到應(yīng)變 和應(yīng)力的表達式：忽略剪切影 響，設(shè)N是軸力引起的應(yīng)變，b 是彎曲引起的應(yīng)變 2 2 2 2 d d d d d d d d i j Ni bi j j u ux u v x v y y xv x u v N N 232232 11 0 0 0 0 6124661226 00 i i i e j j j u v ll Bu uxxxx yyyy llllllll v N e b EE Bu應(yīng)力為梁的應(yīng)力應(yīng)是N 和b 代數(shù)和 1-3 平面直梁單元平面

22、直梁單元 11 22 11 22 TT Te TT eTee UdVEdV E dV e ee uBBu uBBuuK u 0 ( ) ( ) lT ee Vv x q x dx uF 0 ( ) l T q x dx 梁上的結(jié)點力f e=Ni Qi Mi Nj Qj Mj T，并有分布力q(x)作用 。在選位移函數(shù)時雖然假設(shè)了q=0，若作用有分布載荷q(x)， 位移函數(shù)仍可用三次冪函數(shù)近似，分析過程完全同前。只是外 力勢中增加 梁元的剛度矩陣梁元的剛度矩陣 現(xiàn)根據(jù)最小勢能原理求梁單元剛度矩陣，梁的應(yīng)變能 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 0 1 ( ) 2 1 2 lTTT eeeeeeeT

23、 TTT eeeeeee UVq x dx uK uuFuN uK uuFuQ 0 ( ) l eT q x dx QN 0 e e u eeee K u = F +Q 總勢能 式中， e 取駐值時有： 是分布載荷的等效結(jié)點力。 梁單元剛度方程 eT EdV KB B剛度矩陣 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 3232 2 32 0000 126126 0 462 0 00 126 4 zzzz zzz e zz z EAEA ll EIEIEIEI llll EIEIEI lll EA l EIEI ll EI l K 將B帶入剛度矩陣并積分，得： 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 對短梁（

24、hl/5），應(yīng)計及剪切影響，對剛度矩陣作如下修正 3232 2 32 0000 126126 0 (1)(1)(1)(1) 46(2) 0 (1)(1)(1) 00 126 (1)(1) (4) (1) zzzz z zz e zz z EAEA ll EIEIEIEI llll EIEIEI lll EA l EIEI ll EI l K 2 12 zs EIGA l式中， 是剪切影響系數(shù)，AS是有效抗剪面積。 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 整體坐標系的剛度矩陣整體坐標系的剛度矩陣 設(shè)oxyz為總體坐標系， oxyz為局部坐標系。 cossin sincos iii iii ii uuv

25、 vuv 規(guī)定由總體坐標系x軸到局部坐標系x軸的夾角逆時針為正。桿 單元總體坐標系下的結(jié)點位移分量用u,v,表示，局部坐標下的位 移分量用u,v,表示。則平面桿單元結(jié)點i在總體坐標系和局部坐 標系下的位移分量關(guān)系有 ii 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 cossin sincos jjj jjj jj uuv vuv cossin0 sincos0, 001 ll lll l i i uu vli j v uu 同理對于j結(jié)點有 用矩陣表示為 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 i i i i i i j j j j j j uu vv uu v v e e uTu 1T TT 總體坐標系位移

26、ue和(u)e的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 T 矩陣稱為坐標變換矩陣坐標變換矩陣，是以為子矩陣的對角方陣，為正交矩陣。 當用局部坐標系位移表示總體坐標系中的位移時有 1 ee T e uTuTu e eT K = TKT 類似于拉(壓)桿單元，可得直梁元剛度矩陣矩陣變換關(guān)系仍為 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 * 0 ( ) T l q Wrq x dx * uf e q T e e q P W等效結(jié)點載荷所做的功 等效結(jié)點力等效結(jié)點力 等效結(jié)點力是根據(jù)功互等原理，將分布載荷轉(zhuǎn)移到結(jié)點上所得 到的載荷。這樣的變更，對全結(jié)構(gòu)的計算不會帶來明顯的誤差。 但對載荷區(qū)域單元的應(yīng)力分

27、布，將有較大的影響。 設(shè)單元發(fā)生虛位移r*時，分布力q(x)所做的虛功為 根據(jù)虛功原理，單元分布力所作虛功與等效荷載虛功相等 r*=N(u*)e 0 ( )u*N T l e T q Wq x dx 0 ( )u*Nu*f TT l ee Te q q x dx 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 0 ( ) l eT q N q x dx f 0 ( )fN p l iT up j N p xdx N 0 0 ( )(1) 1, , ( ) l T u l x p xdx xx l xll p xdx l Nf 從而得到分布載荷的等效結(jié)點力計算公式 Nu是軸向位移形函數(shù)，線位移時 1 2 pp

28、 ij NNpl當p(x)為均布載荷時,p(x)=p，則，即兩結(jié)點各半。 （1）分布軸力p(x)的等效結(jié)點力 p(x)ij P i N P j N 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 0 ( ) q i q l iT qq j q j Q M q xdx Q M fN 23232323 232232 32232 1 xxxxxxxx x llllllll N (2) 分布橫向荷載q(x)的等效結(jié)點力 23 23 0 22 2 0 23 23 0 23 2 0 32 ( )(1) 2 ( )() 32 ( )() ( )() f l q l i q i qq l j q j l xx q xdx

29、ll Q xx q x xdx M ll Q xx q xdx Mll xx q xdx ll q(x) ij q i Q q j Q q i M q j M 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 (3) 分布力矩mz(x)的等效結(jié)點力 m i Q m j Q m i M m j M mz(x) ij 0 ( ) m i m T l i mzm j m j Q M mxdx Q M fN dv dx N，因此相應(yīng)的形狀函數(shù)矩陣為對應(yīng)mz的轉(zhuǎn)角 當撓度為x的三次式時 1-3 平面直梁單元平面直梁單元 0 0Q 1 0 ( ) l z Qm x dx 2 0 2( )

30、 l z Qm x xdx 2 3 0 3( ) l z Qm x x dx 00 T T mmmm iijjzz QMQMmm 式中， ( ) zz m xm當 為均勻分布情況時 23 0 2 1 23 2 2 3 1032 0121 0032 0011 m i m i mm j m j QQll QMll QQll QMll f 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 直接剛度法（定位向量）直接剛度法（定位向量） By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaoju

31、n Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 產(chǎn)生帶狀矩陣的結(jié)點編號產(chǎn)生帶狀矩陣的結(jié)點編號 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 總體剛度矩陣總體剛度矩陣 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義

32、剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的物理意義剛度矩陣的物理意義 By Xiaojun Wang 剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì) By Xiaojun Wang 剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì) By Xiaojun Wang 剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì) By Xiaojun Wang 剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì) By Xiaojun Wang 剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì) By Xiaojun Wang 剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì) By Xiaojun Wang 剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì) By Xiaojun Wang 位移邊界條件 By Xiaojun Wang 2008 位移邊界