第二章 信號分析基礎(隨機信號和相關(guān)分析)130313

1、西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 2.6 2.6 隨機信號隨機信號 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 比如：對每日氣溫的觀測，以天為單位，每天的觀測構(gòu)成一個比如：對每日氣溫的觀測，以天為單位，每天的觀測構(gòu)成一個樣本函數(shù)樣本函數(shù)。 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 各態(tài)歷經(jīng)（遍歷）性：各態(tài)歷經(jīng)（遍歷）性：在平穩(wěn)隨機過程中，任一單個樣本在平穩(wěn)隨機過程中，任一單個樣本 函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特性等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征。函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特性等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征。 即任一個樣本都可把整體的各種可能出現(xiàn)的情況顯示出來。即任一個樣本都可把整體的各種可能出現(xiàn)的情況顯示出來。

2、 集合平均：集合平均：不是沿單個樣本的時間軸進行，而是將集不是沿單個樣本的時間軸進行，而是將集 合中所有樣本函數(shù)對同一時刻合中所有樣本函數(shù)對同一時刻ti的觀測值取平均；（縱的觀測值取平均；（縱 向）向） 時間平均：時間平均：單個樣本的時間歷程進行平均；（橫向）單個樣本的時間歷程進行平均；（橫向） 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 工程中很多隨機信號具有各態(tài)歷經(jīng)性，由工程中很多隨機信號具有各態(tài)歷經(jīng)性，由 于不可能觀測足夠多的樣本函數(shù)來描述一于不可能觀測足夠多的樣本函數(shù)來描述一 個隨機過程，故工程中常以個隨機過程，故工程中常以一個或幾個有一個或幾個有 限長度的樣本記錄來推斷整個隨機過程，限

3、長度的樣本記錄來推斷整個隨機過程， 以時間平均來估計集合平均。這就使得信以時間平均來估計集合平均。這就使得信 號的分析處理簡化了號的分析處理簡化了 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 二二. 幅值域描述幅值域描述 1均值：均值： 0 1 lim( ) T x T ux t dt T 直流分量直流分量 2.6 2.6 隨機信號隨機信號 2方差：方差： 22 0 1 lim ( ) T xx T x tudt T 波動程度波動程度/分量分量 3均方值：均方值： 信號的強度或平均功率信號的強度或平均功率 其正平方根即為標準偏差，是隨機數(shù)據(jù)分析的重要參數(shù)

4、。其正平方根即為標準偏差，是隨機數(shù)據(jù)分析的重要參數(shù)。 dttx T T T x )( 1 lim 0 22 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 4概率密度函數(shù)：概率密度函數(shù)： ( ,)x xx區(qū)間內(nèi)的概率是區(qū)間內(nèi)的概率是 ( )lim T Tx P xx txx T x(t)的瞬時值落在某一個的瞬時值落在某一個 式中：式中：T觀測時間觀測時間 1 n xi i Tt 表示信號幅值在表示信號幅值在T時間內(nèi)落在時間內(nèi)落在 （x,x+x）區(qū)間的總時間。）區(qū)間的總時間。 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 概率密度函數(shù)：概率密度函數(shù)： 2.6 2.6 隨機信號隨機信號 給出隨機信號幅值的分

5、布規(guī)律，不同的隨機信號有不同給出隨機信號幅值的分布規(guī)律，不同的隨機信號有不同 的概率密度函數(shù)圖形的概率密度函數(shù)圖形,可用來判斷信號的性質(zhì)可用來判斷信號的性質(zhì). 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 2.52.5信號的相關(guān)分析信號的相關(guān)分析 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 波形波形變量相關(guān)的概念（相關(guān)函數(shù)變量相關(guān)的概念（相關(guān)函數(shù) ） 如果所研究的變量如果所研究的變量x, yx, y是與時間有關(guān)的函是與時間有關(guān)的函 數(shù)，即數(shù)，即x(t)x(t)與與y(t)y(

6、t)： x(t)x(t) y(t)y(t) 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 這時可以引入一個與時間這時可以引入一個與時間有關(guān)的量，稱為有關(guān)的量，稱為 函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，簡稱函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)，并有：，并有： xy x t y tdt xt dtyt dt ( ) ( ) () ( )( ) / 221 2 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)反映了二個信號在反映了二個信號在時移中的相關(guān)性時移中的相關(guān)性。 x(t)x(t) y(t)y(t)y(t)y(t)y(t)y(t)y(t)y(t) 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 1)自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)： dttxtx T R T T

7、xx )()( 1 lim)( 0 dttxtxRxx)()()( 周期信號 非周期信號 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 例：例： Rxx()不反映相位信息不反映相位信息，只反映幅值。，只反映幅值。 cos 2 )sin(sin 2 )( , 2 )(sin)sin( 1 )(sin)sin( 1 lim)( )sin()( 2 2 0 2 0 0 2 0 0 0 A d A R d dttT dtttA T dttAtA T R tAtx xx T T T xx ，則令 示：一個周期內(nèi)的平均值表 其各種平均值可以用的各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，正弦函

8、數(shù)是一個零均值 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 圖例圖例:計算正弦波信號自相關(guān)函數(shù)，在計算正弦波信號自相關(guān)函數(shù)，在0，/2， 的自相關(guān)函數(shù)值情況的自相關(guān)函數(shù)值情況 * * * 將不同時移將不同時移的計算值標在圖上，兩點連的計算值標在圖上，兩點連 線，就可以得到信號的相關(guān)函數(shù)曲線。線，就可以得到信號的相關(guān)函數(shù)曲線。 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 意義意義： 自相關(guān)函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個非常有效的手段，自相關(guān)函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個非常有效的手段， 只要信號中有周期成分，自相關(guān)函數(shù)只要信號中有周期成分，自相關(guān)函數(shù)很大時都不衰減，帶很大時都不衰減，帶 有明顯周有明顯周 期性；

9、期性； 信號中不包含周期成分的隨機信號，當信號中不包含周期成分的隨機信號，當稍大時，自相關(guān)函稍大時，自相關(guān)函 數(shù)都趨于數(shù)都趨于0 見書圖見書圖227 正弦波正弦波：周期信號，自相關(guān)函數(shù)也為周期函數(shù)；：周期信號，自相關(guān)函數(shù)也為周期函數(shù)； 正弦波加隨機噪聲正弦波加隨機噪聲：自相關(guān)函數(shù)在：自相關(guān)函數(shù)在很大時都不衰減；很大時都不衰減； 寬帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲：自相關(guān)函數(shù)很快衰減為零；：自相關(guān)函數(shù)很快衰減為零； 窄帶隨機噪聲窄帶隨機噪聲：自相關(guān)函數(shù)有較慢的衰減特性。：自相關(guān)函數(shù)有較慢的衰減特性。 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 2)互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)： dttxty T R dttytx

10、 T R T T yx T T xy )()( 1 lim)( )()( 1 lim)( 0 0 或或 x(t)x(t) y(t)y(t) 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 x(t) y(t) 時時 延延 器器 乘乘 法法 器器 y(t - ) X(t)y(t - ) 積積 分分 器器 Rxy() 算法：算法：令令x(t)x(t)、y(t)y(t)二個信號之間產(chǎn)生時差二個信號之間產(chǎn)生時差，再相，再相 乘和積分，就可以得到乘和積分，就可以得到時刻二個信號的相關(guān)性。時刻二個信號的相關(guān)性。 自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：x(t)=y(t)x(t)=y(t) 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院

11、 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 00 ( )sin()( )sin() xy x tAty tBt 則則 00 0 ( )cos()cos() 22 yx xyyx ABAB R 例：例： 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 相關(guān)函數(shù)描述了兩個信號或一個信號自身不同時刻相關(guān)函數(shù)描述了兩個信號或一個信號自身不同時刻 的相似程度，通過相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)信號中許多有的相似程度，通過相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)信號中許多有 規(guī)律的東西。規(guī)律的東西。 相關(guān)分析的工程應用相關(guān)分析的工程應用 應用：可應用：可用于檢測周期信號的存在用于檢測周期信號的存在。 由性質(zhì)

12、知，自相關(guān)函數(shù)有助于檢測混淆在隨機過由性質(zhì)知，自相關(guān)函數(shù)有助于檢測混淆在隨機過 程中確定性周期信號。程中確定性周期信號。 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 案例：案例：機械加工表面粗糙度自相關(guān)分析機械加工表面粗糙度自相關(guān)分析 性質(zhì)性質(zhì)4:4:提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。 圖圖a:表面粗糙度，圖表面粗糙度，圖b:自相關(guān)函數(shù)圖，看自相關(guān)函數(shù)圖，看 出隨機信號在原點處有較大相關(guān)性，隨出隨機信號在原點處有較大相關(guān)性，隨增增 大而衰減，此后呈現(xiàn)周期性，表明造成粗大而衰減，此后呈現(xiàn)周期性，表明造成粗 糙度的原因中包含有某種周期因素，如：糙度的原因中包含有某種周期

13、因素，如： 軸向測走刀的周期變化；軸向測走刀的周期變化； 切向測主軸回轉(zhuǎn)振動周期變化切向測主軸回轉(zhuǎn)振動周期變化 電感式輪廓電感式輪廓 儀測量表面儀測量表面 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 案例：案例：自相關(guān)測轉(zhuǎn)速自相關(guān)測轉(zhuǎn)速 性質(zhì)性質(zhì)4 4：可提取周期性轉(zhuǎn)速成分?？商崛≈芷谛赞D(zhuǎn)速成分。 理想信號理想信號 干擾信號干擾信號 實測信號實測信號 自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù) 從自相關(guān)圖可以確定周期因素的從自相關(guān)圖可以確定周期因素的 頻率，從而得到轉(zhuǎn)速大小。頻率，從而得到轉(zhuǎn)速大小。 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 案例：案例：互相關(guān)分析對地下輸油管道漏損位置的探測互相關(guān)分析對地下輸油管道漏

14、損位置的探測 X1 X2 x1,x2處放置傳感器處放置傳感器1，2，漏損處，漏損處k視為向兩側(cè)傳播聲波的聲源。因兩視為向兩側(cè)傳播聲波的聲源。因兩 傳感器位置離漏損處不等，其聲波傳到傳感器就有時差，信號傳感器位置離漏損處不等，其聲波傳到傳感器就有時差，信號x1,x2 做相關(guān)分析，找出相關(guān)值最大時的做相關(guān)分析，找出相關(guān)值最大時的 ，即可確定漏損位置。，即可確定漏損位置。 （在互相關(guān)圖上，（在互相關(guān)圖上， = m處，處，Rx1x2()的最大值的最大值m就是時差）就是時差） 度聲音在管道中的傳播速 處的距離兩傳感器的中心至漏損 v s vttvS m 2 1 )( 2 1 12 西安工業(yè)大學機電學院西

15、安工業(yè)大學機電學院 案例：案例：地震位置測量地震位置測量 設想設想3座地震觀測臺記錄同一個地震，且位于震源的不同方向上。這座地震觀測臺記錄同一個地震，且位于震源的不同方向上。這3座臺站的座臺站的 觀測人員能夠讀到觀測人員能夠讀到P波抵達時間，有時也讀到波抵達時間，有時也讀到S波的抵達時間（因為波的抵達時間（因為P波傳播速波傳播速 度比度比S波傳播速度大約快波傳播速度大約快2倍，所以這兩種波傳播得越遠，它們的波前分離間倍，所以這兩種波傳播得越遠，它們的波前分離間 隔就越寬）。如果有了隔就越寬）。如果有了P波和波和S波抵達的時間，從這兩種波型抵達某臺時間間波抵達的時間，從這兩種波型抵達某臺時間間

16、隔將可以直接求得震源到該記錄臺的距離。然后，畫隔將可以直接求得震源到該記錄臺的距離。然后，畫3個圓，每個圓以一座地個圓，每個圓以一座地 震臺為圓心，半徑是計算得到的距離（震中距）。這震臺為圓心，半徑是計算得到的距離（震中距）。這3個圓將相交，至少是近個圓將相交，至少是近 似的相交于所要求的震中。似的相交于所要求的震中。 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 2.6 2.6 信號的信號的 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 dSdffSdttx T R xx T T T x )( 2 1 )()( 1 lim)0( 2 2 2 或 也是實偶函數(shù)是實偶函數(shù)，故)()( xx SR 功率譜

17、沿頻率軸的分布，簡稱就是信號的功率譜密度所以 功率，圍的面積為信號的平均曲線下面和頻率軸所包 )( )( x x S S 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 功率譜與傳遞函數(shù)、頻率響應函數(shù)的關(guān)系功率譜與傳遞函數(shù)、頻率響應函數(shù)的關(guān)系 輸入自譜輸入輸出互譜， xxy x xy SS S S H, )( )( )( 輸出自譜 y x y S S S H, )( )( )( 2 互相關(guān)函數(shù)包含相位信息，因此系統(tǒng)的頻率互相關(guān)函數(shù)包含相位信息，因此系統(tǒng)的頻率 響應函數(shù)既有幅頻特性又有相頻特性響應函數(shù)既有幅頻特性又有相頻特性 西安工業(yè)大學機電學院西安工業(yè)大學機電學院 測量中噪聲干擾的評定及相干函數(shù)的計算測量中噪聲干擾的評定及相干函數(shù)的計算 若測量中存在噪聲干擾，則被測信號若測量中存在噪聲干