圖像處理中正交變換方法對(duì)比

1、 目錄1課程設(shè)計(jì)目的12課程設(shè)計(jì)要求13 正交變換的概述13.1 信號(hào)的正交分解13.2 正交變換的定義23.3 正交變換的分類23.4 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基33.4.1 一維DFT的標(biāo)準(zhǔn)基33.4.2 二維DFT53.4.3 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基圖像63.5 正交變換在圖像處理中的應(yīng)用74 傅里葉變換84.1 傅里葉變換的定義及基本概念94.2 傅里葉變換代碼134.3 傅里葉變換與逆變換結(jié)果145 離散余弦變換145.1 離散余弦變換的定義145.2 離散余弦變換代碼175.3 離散余弦變換與逆變換結(jié)果176 小波變換186.1概述186.2 小波變換的基本理論186.3 小波變換代碼206.4

2、小波變換結(jié)果217 結(jié)論218 參考文獻(xiàn)22圖像處理中正交變換方法對(duì)比1課程設(shè)計(jì)目的 (1) 理解正交變換的基本概念及分類。 (2) 掌握傅立葉變換及逆變換的基本原理方法。 (3) 掌握離散余弦變換的基本原理方法。 (4) 掌握小波變換的基本原理及方法。 (5) 學(xué)會(huì)利用matlab軟件進(jìn)行數(shù)字圖像處理與分析2課程設(shè)計(jì)要求（1）掌握課程設(shè)計(jì)的相關(guān)知識(shí)、概念清晰。（2）查閱資料，根據(jù)不同處理需求，設(shè)計(jì)完成對(duì)數(shù)字圖像的處理與分析。（3）熟練掌握matlab軟件的基本操作與處理命令。（4）進(jìn)一步理解數(shù)字圖像處理與分析的過程與意義。3 正交變換的概述 3.1 信號(hào)的正交分解完備的內(nèi)積空間稱為希爾伯特空

3、間。折X 為一希爾伯特空間,1 ,2 , ,n 是X 空間中的一向量,如果它們是線性獨(dú)立的,則稱之為空間X 中的一組“基”。某一信號(hào)x 就可以按這樣的一組基向量作分解,即X= （式3-1） 式（3-1）中a1 , a2 , , an 是分解系數(shù), 它們是一組離散值。假設(shè)1 ,2 , ,n是一組兩兩互相正交的向量,則式(3-1) 稱為x 的正交展開, 或正交分解。系數(shù)a1 , a2 , , aN 是x在各個(gè)基向量上的投影 ,若N=3 ,其含義如圖3-1 所示。 圖3-1 信號(hào)的正交分解3.2 正交變換的定義 一維序列 可以表示成一個(gè)N維向量 其酉變換可以表示為 或 ，其中變換矩陣A滿足（酉矩陣）

4、，若A為實(shí)數(shù)陣，則滿足，稱為正交陣。向量 由此，U可以表示為 或 可知，給定基向量 ，原序列f（x）可以由一組系數(shù)g（u）（）表示，這組系數(shù)（變換）可以用于濾波，數(shù)據(jù)壓縮，特征提取等。若矩陣 滿足：則矩陣A就成為正交矩陣。對(duì)于某向量f，用上述正交矩陣進(jìn)行運(yùn)算： 若要恢復(fù)f，則 以上過程稱為正交變換（酉變換）。 3.3 正交變換的分類正交變換總的可分為兩大類,即非正弦類正交變換和正弦類正交變換。我們經(jīng)常使用的離散傅立葉變換(DFT) 、離散余弦變換(DCT) 、離散正弦變換(DST) 等屬于正弦類變換,其中還包括離散Hartley 變換(DHT) 及離散W 變換(DWT) 等。非正弦類變換包括W

5、alsh Hadamard 變換(WHT) 、Haar 變換( HRT) 等。由于正弦類變換在理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值上都優(yōu)于非正弦類變換,從而在正交變換中占據(jù)主導(dǎo)地位。除了正弦類和非正弦類正交變換,還有兩種特殊的正交變換,K-L變換和正交小波變換。K-L變換去除信號(hào)中的相關(guān)性最徹底,且有著最佳的統(tǒng)計(jì)特性,被稱為最佳變換。但是K-L變換的基函數(shù)依賴與原始數(shù)據(jù),沒有固定的變換核,限制了它的普遍應(yīng)用。小波變換能夠具有很高的時(shí)頻分辨率,進(jìn)行局部化分析,通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化,達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分,低頻處頻率細(xì)分。但是小波正交基的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,具有緊支集的小波正交基不可能具有對(duì)稱性。隨著小波理論及算

6、法的成熟,必將大有作為。3.4 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基傅立葉變換是正交變換中最常用的變換,以它為例來討論正交變換標(biāo)準(zhǔn)基具有普遍意義。3.4.1 一維DFT的標(biāo)準(zhǔn)基首先從傅立葉級(jí)數(shù)進(jìn)行考慮。假設(shè)函數(shù)f ( t)滿足收斂定理,則函數(shù)f ( t) 的傅立葉級(jí)數(shù)為 （式3-2）a0 , a1 , b1 , 是函數(shù)f ( t) 的傅立葉系數(shù)。例如,一矩形波f ( t) 是周期為2的周期函數(shù),在 -, 上 -1 -t0 （式3-3）1 0t由下式求得傅立葉系數(shù), （式3-4）得到矩形波f（t） 的傅立葉級(jí)數(shù)展開為:= （式3-5） 上面得到的展開式表明:矩形波是由一系列不同頻率的正弦波乘以一個(gè)權(quán)值疊加而成。這些

7、波的頻率依次為基波頻率的奇數(shù)倍?？梢钥吹?求傅立葉系數(shù)的過程相當(dāng)于傅立葉變換的過程,把原始信號(hào)展開,相當(dāng)于傅立葉逆變換的過程。實(shí)際上,“任意”滿足收斂的一個(gè)波、一個(gè)信號(hào)都可以分解成無窮多個(gè)不同頻率的信號(hào)。這里說的這些無窮多的不同頻率的信號(hào)就是標(biāo)準(zhǔn)基波。在DFT中也是類似的意思。假設(shè)有限長序列f( x) ( x = 0 ,1 , , N - 1) ,一維DFT變換對(duì)如下:其中稱為變換核。將式（6）寫成矩陣形式F = W f 即: W 是正交變換矩陣, 矩陣元素是變換核函數(shù)不同次冪構(gòu)成。W 是正交矩陣,有W - 1 = W T ?？梢钥闯鯢( u) 是角頻率為2u/ N 信號(hào)的加權(quán)系數(shù),也就是它在

8、原始信號(hào)中分量的大小。如此諸多標(biāo)準(zhǔn)基波乘以其各自系數(shù)再求和得到了原始信號(hào),這也就是離散傅立葉反變換。3.4.2 二維DFT一幅數(shù)字圖像可以用一個(gè)二維矩陣來表示, f( i , j) 表示i 行j 列這個(gè)像素點(diǎn)的灰度值。數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。假設(shè)f ( x , y) ( x =0 ,1 , , M - 1 ; y = 0 ,1 , , N - 1) 是一幅M N 圖像,則二維離散傅立葉變換為: u=0，1,M-1;v=0,1,N-1 （式3-9）逆變換為： x=0，1,M-1;y=0,1,N-1 (式3-10）其中，稱為正交變換核。在二維DFT中同樣可以將（式2-9）寫成矩陣形式： F

9、 = W f W T其中f 是原始的二維矩陣, F 是二維DFT 系數(shù)矩陣,W 是正交變換矩陣。從式(10) 就可以得到逆變換的矩陣形式,兩邊左乘W - 1 ,右乘W 得: （式3-11）因?yàn)檎螖?shù)據(jù)或整幅圖像的相關(guān)性小,相對(duì)冗余度低, 所以如果對(duì)整段數(shù)據(jù)或整幅圖像進(jìn)行DFT ,很難保證能量較大的系數(shù)處在相對(duì)集中的位置。這不符合我們正交變換的目的。為了消除對(duì)整幅圖像進(jìn)行DFT 帶來的大能量系數(shù)不能集中的問題,在實(shí)際應(yīng)用中一般都將圖像劃分為8 8 或16 16 的小方塊來做。一幅圖像在空間上作周期性變化, 則該周期的倒數(shù)稱為空間頻率。在圖像中, 空間頻率的大小表征圖像明暗變化的快慢, 決定著圖像

10、的細(xì)節(jié)是否豐富 。灰度變化緩慢的區(qū)域頻率低, 而物體邊緣或噪聲對(duì)應(yīng)高頻。F( u , v) 表示在對(duì)應(yīng)( u ,v) 的頻率點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)基上的分量大小。這里的標(biāo)準(zhǔn)基類似一維DFT 的標(biāo)準(zhǔn)基, 一維DFT 中標(biāo)準(zhǔn)基是特定頻率的波,在二維DFT 中每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基就應(yīng)該是一幅圖像,將在2.4.3 節(jié)中詳細(xì)描述標(biāo)準(zhǔn)基圖像?？紤]二維離散傅立葉逆變換, IDFT 就是將原始圖像表示成各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基圖像的加權(quán)和。在圖像壓縮中常用的就是舍去能量小的標(biāo)準(zhǔn)基圖像,只取主分量。以此來達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。這樣壓縮后的圖像對(duì)視覺效果的影響一般不是很明顯,略去的只是細(xì)節(jié)。但如果舍去的閾值設(shè)置過高,就會(huì)造成圖像模糊。3.4.3 正交變

11、換的標(biāo)準(zhǔn)基圖像由于DFT 得到的變換矩陣元素是復(fù)數(shù), mat-lab 圖像顯示工具不能顯示復(fù)數(shù)數(shù)值,所以選擇了DCT 為例來繪制標(biāo)準(zhǔn)基圖像。如前面的講述,取88 的小方塊來進(jìn)行二維DCT 變換。假設(shè)F( u ,v) 對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)基圖像是N uv , 它也是8 8 的二維矩陣。則有 （式3-12）設(shè)G= W T ,則式(2-12) 變?yōu)? f = G F W 。將右邊前兩個(gè)矩陣乘積展開有: （式3-13）這里的G( i , :) , f ( : , j) 表示G的第i 行與F的第j 列所有元素對(duì)應(yīng)相乘再求和。實(shí)際上就是矩陣相乘得到新矩陣中在( i , j) 位置的元素。即: （式3-14）再設(shè)T

12、= W T F, 則f ( X , Y ) 中任意位置( x0， y0 ) 的值有: （式3-15）將上式與式(2-12) 比較可以發(fā)現(xiàn), 這里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置對(duì)應(yīng)頻率上的分量, G(x0 ,j)W(j,y0)就是F( i ,j)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)基圖像Nij 中(x0 ,y0)位置的元素?cái)?shù)值,即: （式3-16）其中i 從1 到8 ,j 從1 到8 得到64個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基圖像的二維矩陣, 每個(gè)矩陣中又有x0 從1 到8 ,y0 從1到8 得到88 個(gè)矩陣元素。經(jīng)過上面討論,得到了標(biāo)準(zhǔn)基圖像的表達(dá)式。圖2 就是88 二維DCT變換中的標(biāo)準(zhǔn)基圖像。圖2-2 88 二維DCT標(biāo)準(zhǔn)

13、基圖像可以看出,只要給定了變換核函數(shù)或變換矩陣就可以得到標(biāo)準(zhǔn)基圖像。有了標(biāo)準(zhǔn)基圖像,就可以更直觀地將正交變換理解為對(duì)原始圖像在諸多標(biāo)準(zhǔn)基圖像上的分解。通過對(duì)權(quán)值矩陣的處理即變換域處理,達(dá)到圖像處理的目的,得到新的權(quán)值矩陣再反變換得到處理后的圖像。實(shí)際上可以把標(biāo)準(zhǔn)基圖像作為一個(gè)抽象概念應(yīng)用到所有的二維正交變換中,并不局限于上面顯示的二維DCT。3.5 正交變換在圖像處理中的應(yīng)用窗體頂端窗體底端正交變換研究已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號(hào)處理。現(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的

14、分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)(或恢復(fù))。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號(hào)與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理(圖象可以看作是二維信號(hào))，小波分析的許多分析和應(yīng)用問題，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問題?，F(xiàn)在，對(duì)于其性質(zhì)隨時(shí)間是穩(wěn)定不變的信號(hào)（平穩(wěn)隨機(jī)過程），處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的（非平穩(wěn)隨機(jī)過程），而特別適用于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。事實(shí)上正交變換的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大

15、型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識(shí)別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。 (1)用于信號(hào)與圖象壓縮是一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號(hào)與圖象的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾?；谛〔ǚ治龅膲嚎s方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。 (2)在信號(hào)分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時(shí)頻分析、

16、信噪分離與提取弱信號(hào)、求分形指數(shù)、信號(hào)的識(shí)別與診斷以及多尺度邊緣檢測(cè)等。 (3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計(jì)算機(jī)視覺、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、曲線設(shè)計(jì)、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。圖像的正交變換作為圖像處理技術(shù)的重要工具, 通過正交變換改變圖像的表示域及表示數(shù)據(jù), 給圖像處理工作帶來了極大的方便。利用這個(gè)工具, 可以對(duì) 圖像的頻譜進(jìn)行各種各樣的處理, 如濾波、降噪等。由于傅里葉變換和余弦變換的變換核由正弦、余弦函數(shù)組成, 運(yùn)算速度受影響, 為此，我們?cè)谔囟▎栴}中往往引進(jìn)不同的變換方法,要求運(yùn)算簡單且變換核矩陣產(chǎn)生方便，小波變換占用存儲(chǔ)空間少, 產(chǎn)生容易, 有快速算法, 在大量數(shù)據(jù)需要實(shí)時(shí)處理的

17、圖像處理問題中, 得到廣泛應(yīng)用。4 傅里葉變換在圖像處理技術(shù)的發(fā)展中，傅立葉變換起著十分重要的作用,主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： 1.是線性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力工具; 2.能夠定量地分析諸如數(shù)字圖像之類的數(shù)字系統(tǒng); 3.把傅立葉變換的理論與物理解釋相結(jié)合，將有利于解決大多數(shù)圖像處理問題; 4.在圖像處理中的應(yīng)用十分廣泛，如圖像特征提取、圖像恢復(fù)、紋理分析等。4.1 傅里葉變換的定義及基本概念傅里葉變換在數(shù)學(xué)中的定義是嚴(yán)格的。設(shè)f(x)為x的函數(shù)，如果滿足下面的狄里赫萊條件： （）具有有限個(gè)間斷點(diǎn)； （）具有有限個(gè)極值點(diǎn)； （）絕對(duì)可積。則有下列二式成立正變換式 （式4-1）反變換式 （式4-2）式中

18、x是時(shí)域變量，u為頻率變量。如令，則有 （式4-3） （式4-4）通常把以上公式稱為傅里葉變換對(duì)。函數(shù)f(x)的傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)量，它可以由式（45）表示 （式4-5）或?qū)懗芍笖?shù)形式 （式4-6） （式4-7） （式4-8）把 叫做的傅里葉幅度譜或頻譜，而叫相位譜。傅里葉變換廣泛用于頻譜分析。例一：求圖41所示波形f(x)的頻譜。X 則 0 的幅度譜及相位譜如圖42所示。圖4-2的幅度譜及相位譜例二：求周期函數(shù)的傅里葉譜。一個(gè)周期為T的信號(hào)可用傅里葉級(jí)數(shù)來表示，即式中 因此，傅里葉變換可寫成下式: 圖4-3 周期函數(shù)的傅里葉譜由上面的例子可以建立起下面幾個(gè)概念： （）只要滿足狄里赫萊條件

19、，連續(xù)函數(shù)就可以進(jìn)行傅里葉變換，實(shí)際上這個(gè)條件在工程運(yùn)用中總是可以滿足的。 （）連續(xù)非周期函數(shù)的傅里葉譜是連續(xù)的非周期函數(shù)，連續(xù)的周期函數(shù)的傅里葉譜是離散的非周期函數(shù)。傅里葉變換可推廣到二維函數(shù)。如果二維函數(shù)滿足狄里赫萊條件，那么將有下面二維傅里葉變換對(duì)存在： （式4-9） （式4-10）與一維傅里葉變換類似，二維傅里葉變換的幅度譜和相位譜如下式 （式4-11） （式4-12） （式4-13）式中：是幅度譜或頻譜；是相位譜；是能量譜。 （式4-15）在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情況下總是。因此，二維離散傅里葉變換多采用下面兩式形式。 （式4-16） （式4.-17）式中符號(hào)可稱

20、為空間頻率。4.2 傅里葉變換代碼4.3 傅里葉變換與逆變換結(jié)果5 離散余弦變換傅立葉變換的一個(gè)最大問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍，不易計(jì)算，因此希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在這個(gè)思想的指導(dǎo)下，產(chǎn)生了離散余弦變換。離散余弦變換表示為DCT5.1 離散余弦變換的定義一維離散余弦變換的定義由下式表示 （式5-1） （式5-2）式中F(u)是第u個(gè)余弦變換系數(shù)，u是廣義頻率變量，u=1,2,N-1;f(x)是時(shí)域N點(diǎn)序列，x=0，1，N-1一維離散余弦反變換由下式表示 （式5-3）顯然，式（5-1），式（5-2）和式（5-3）構(gòu)成了一維離散余弦變換對(duì)。二

21、維離散余弦變換的定義由下式表示 （式5-4）式(54)是正變換公式。其中是空間域二維向量之元素，是變換系數(shù)陣列之元素。式中表示的陣列為N N二維離散余弦反變換由下式表示 （式5-5）式中的符號(hào)意義同正變換式一樣。式(54)和式(55)是離散余弦變換的解析式定義。更為簡潔的定義方法是采用矩陣式定義。如果令N4，那么由一維解析式定義可得如下展開式 （式5-6）寫成矩陣式 （式5-7）若定義A為變換矩陣,F(u)為變換系數(shù)矩陣,f(x,y)為時(shí)域數(shù)據(jù)矩陣，則一維離散余弦變換的矩陣定義式可寫成如下形式 （式5-8）同理，可得到反變換展開式 （式5-9）寫成矩陣式 （式5-10）即 （式5-11）當(dāng)然，

22、二維離散余弦變換也是可以寫成矩陣式 （式5-12）式中是空間數(shù)據(jù)陣列，是變換系數(shù)陣列，是變換矩陣，是的轉(zhuǎn)置5.2 離散余弦變換代碼5.3 離散余弦變換與逆變換結(jié)果6 小波變換 6.1概述由法國從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到認(rèn)可一樣。幸運(yùn)的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，

23、而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的統(tǒng)一方法-多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，其中比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的小波十講（Ten Lectures on Wavelets）對(duì)小波的普及起了重要的推動(dòng)作用。與Fourier變換、視窗Fourier變換（Gabor變換）相比，具有良好的時(shí)頻局部化特性，因而能有效的從信號(hào)中提取資訊，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，因而小波變化被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。6.2 小波變換的基本理論設(shè) L2 (R)(L2 (R)平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間），其傅立葉變換為.如果滿足允許條件 （式6-1）則稱為一個(gè)基本小波或母小波。將母小波經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波函數(shù)。對(duì)于連續(xù)的情況，小波函數(shù) （式6-2）式中，a為伸縮因子；b為平移因子。對(duì)于離散的情況，小波序列為 （式6-3）在相