空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示 建立三條數(shù)軸：建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，它們都叫做坐標(biāo) 軸軸.這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,通過通過 每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。 2空間直角坐標(biāo)系（右手）：空間直角坐標(biāo)系（右手）： O Z Y X x軸：橫坐標(biāo)軸：橫坐標(biāo) y軸：縱坐標(biāo)軸：縱坐標(biāo) z軸：豎坐標(biāo)軸：豎坐標(biāo) 坐標(biāo)平面：坐標(biāo)平面：xoy,yoz,zox 第1頁/共19頁 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間任一中，對(duì)空間任一 點(diǎn)點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量對(duì)

2、應(yīng)一個(gè)向量OA，于是存在唯一的有序?qū)?，于是存在唯一的有序?qū)?數(shù)組數(shù)組x,y,z，使，使 OA=xi+yj+zk 在單位正交基底在單位正交基底i, j, k中與向量中與向量 OA對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系在此空間直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)，記作中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，其中，其中 x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A 的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo). 3空間中點(diǎn)的直角坐標(biāo)表示空間中點(diǎn)的直角坐標(biāo)表示 x y z O A(x,y,z ) i j k 第2頁/共19頁 O Z Y X P(x,y,z ) y

3、z x 第3頁/共19頁 設(shè)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則則 AB=OB-OA=(x2,y2,z2)- (x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中 的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量 的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo) 減去起點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo). . 4空間向量的直角坐標(biāo)表示空間向量的直角坐標(biāo)表示 OA=(x1,y1,z1) OB=(x2,y2,z2). 第4頁/共19頁 則設(shè)),(),( 321321 bbbbaaaa ;ab ;ab ;a ;a b /; . ab ;ab 11

4、2233 (,)ab ab ab 112233 (,)ab ab ab 123 (,),()aaaR 1 12233 a ba ba b 112233 ,()ab ab abR 112222 /ababab 1 12233 0a ba ba b 第5頁/共19頁 2222 123 | aa aaaa 2222 123 | bb bbbb 1.1.距離公式距離公式 （1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式 注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對(duì)注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對(duì) 角線的長度。角線的長度。 第6頁/共19頁 | AB ABAB AB 212121 (,)xxyyzz

5、 222 212121 ()()()xxyyzz 222 ,212121 ()()() A B dxxyyzz （2 2）空間兩點(diǎn)間的距離公式）空間兩點(diǎn)間的距離公式 （3）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：) 2 , 2 , 2 ( 212121 zzyyxx 第7頁/共19頁 cos, | | a b a b ab 1 1223 3 222222 123123 ; a ba ba b aaabbb 2.2.兩個(gè)向量夾角公式兩個(gè)向量夾角公式 注意：注意： （1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，同向；時(shí)，同向； （2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，反向；時(shí)，反向； （3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，。時(shí)，。 cos,1 a b 與 ab cos,1 a

6、 b 與 ab cos,0 a b ab 思考：當(dāng)思考：當(dāng) 及及 時(shí)，時(shí)， 的夾角在什么范圍內(nèi)？的夾角在什么范圍內(nèi)？ 1cos,0 a b,10cos a b 第8頁/共19頁 平面向量空間向量 2 2 ),( ,)()(| );,( ),(),( . ;),( );,( ),(),( 21 21 2 12 2 12 1212 2211 2121 11 2121 2211 yy y xx x AByxC yyxxAB yyxxAB yxByxA yyxx Ryx yyxx yxyx 的中點(diǎn)，則是 則 若 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算： ba a ba ba 2 2 2 ),( ,)()()(| );,(

7、 ),(),( . ;),( );,( ),(),( 21 21 21 2 12 2 12 2 12 121212 222111 212121 111 212121 222111 zz z yy y xx x AByxC zzyyxxAB zzyyxxAB zyxBzyxA zzyyxx Rzyx zzyyxx zyxzyx 的中點(diǎn)，則是 則 若 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算： ba a ba ba 第9頁/共19頁 平面向量空間向量 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 2211 | cos ),(),( yxyx yyxx yxyx ba ba ba, ba 平面向量的夾角： 2 2 2 2 2

8、 2 2 1 2 1 2 1 212121 222111 | cos ),(),( zyxzyx zzyyxx zyxzyx ba ba ba, ba 空間向量的夾角： 0 0/ ),(),( 2121 1221 2211 yyxx yxyx yxyx ba ba ba 垂直與平行： 0 (?)/ ),(),( 212121 2 1 2 1 2 1 222111 zzyyxx z z y y x x zyxzyx ba ba ba 垂直與平行： 第10頁/共19頁 平面向量空間向量 . , , 21 21 ee a ee yx yxa ，使，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)向量 平面內(nèi)的任一的向量，那么對(duì)于這

9、個(gè) 共線是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不如果 平面向量基本定理： .),( , 321 321 eeea eee zyxzyx a 使實(shí)數(shù)對(duì) ，存在唯一的有序于空間中任一向量 不共面，那么對(duì)如果三個(gè)向量 空間向量基本定理： ., /,: ba ba0b 使實(shí)數(shù) 存在則共線向量定理 bap bapba yxyx使、存在實(shí)數(shù)共面 與不共線，、共面向量定理 , ,: 第11頁/共19頁 練習(xí)一：練習(xí)一： 1.求下列兩個(gè)向量的夾角的余弦：求下列兩個(gè)向量的夾角的余弦： (1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab (2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab 2.求下列兩點(diǎn)間的距離：求下列兩點(diǎn)間的距離： (1

10、)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB (2)( 3,1,5) ,(0,2,3) .CD 第12頁/共19頁 例例1已知、，求：已知、，求： （1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度； (3,3,1)A(1,0,5)B AB 解：設(shè)是的中點(diǎn)，則解：設(shè)是的中點(diǎn)，則(, )M xy zAB 113 ()(3,3,1)1,0,52,3 , 222 OMOAOB 點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)的坐標(biāo)是.M 3 2,3 2 222 , (13)(03)(5 1)29 . A B d O A B M 第13頁/共19頁 （2）到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的）到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的 坐標(biāo)滿足的條件。坐標(biāo)滿足的條件。 、AB

11、(, )P xy z ,xy z 解：點(diǎn)到的距離相等，則解：點(diǎn)到的距離相等，則(, )P xy z 、AB 222222 (3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz 化簡整理，得化簡整理，得46870 xyz 即到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿即到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿 足的條件是足的條件是 、AB (, )xy z 46870 xyz 第14頁/共19頁 例例2如圖，在正方體中，如圖，在正方體中， ，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。 1111 ABCDA BC D 11 B E 11 11 4 A B D F 1 BE 1 DF F1 E1 C1 B1 A1 D1 D AB

12、 Cy z x O 解：設(shè)正方體的棱長為解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建，如圖建 立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz 1 3 (1,1,0) ,1,1 , 4 BE 1 1 (0,0,0) ,0, 1 . 4 ，DF 1 31 1,1(1,1,0)0,1 , 44 BE 第15頁/共19頁 例例2如圖，在正方體中，如圖，在正方體中， ，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。 1111 ABCDA BC D 11 B E 11 11 4 A B D F 1 BE 1 DF F1 E1 C1 B1 A1 D1 D AB C x y z O 1 11 0, 1(0,0,0)0, 1 . 44 ，DF 11 1115 001 1, 4416 BE DF 11 1717 |, |. 44 BEDF 11 11 11 15 15 16 cos,. 17| |1717 44 BE DF BEDF BEDF 第16頁/共19頁 。求證： 的值；求 的長；求 的中點(diǎn)，、分別為 、，棱， 中，底面：直三棱柱如圖例 MCBA3) CB,cos2) BN1) AABAN M2AA90BCA1