機械動力學(xué)第二章——兩自由度振動

1、兩自由度系統(tǒng)振動 姓名: 何江波 學(xué)院: 機械工程學(xué)院 郵箱： 2021-7-25 兩自由度系統(tǒng)的振動 2 k c m 要求：對轎車的上下振動進(jìn)行動力學(xué)建模 分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合 建模方法1：將車、人等全部作為一個質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼 優(yōu)點：模型簡單 缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互 影響 大量振動系統(tǒng)需要簡化成多自由度系統(tǒng)才能反映實際問題的物理本質(zhì)。 例如，汽車行駛在路面上會產(chǎn)生上下振動 兩自由度系統(tǒng)的振動 3 k2 c2 m車 m人 k1c1 建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的 彈性和阻尼 優(yōu)點：模型較為精確，

2、考慮了人與車之間的耦合 缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響 兩自由度系統(tǒng)的振動 4 m人 k1 c1 k2 c2 m k3 c3 k2c2 k3 c3 m車 m輪m輪 建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分 別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼 優(yōu)點：分別考慮了人與車、車與車輪、 車輪與地面之間的相互耦合，模型較 為精確 兩自由度系統(tǒng)的振動 5 與單自由度系統(tǒng)比較，多自由度系統(tǒng)具有一些本質(zhì)上的 新概念，需要新的分析方法。 二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡單的特例。從二自 由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)，主要是量的擴充，在問題的表 述、求解方法、振動性態(tài)上沒有本質(zhì)區(qū)別。 數(shù)學(xué)工具：線性代數(shù)、矩陣?yán)碚?教

3、學(xué)內(nèi)容 兩自由度系統(tǒng)的振動微分方程 兩自由度系統(tǒng)的自由振動 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 6 兩自由度系統(tǒng)的振動微分方程 7 先看兩個例子 例1：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力 不計摩擦和其他形式的阻尼 試建立系統(tǒng)的振動微分方程 m1m2 k3k1k2 F1(t) F2(t) c3 c1c2 兩自由度系統(tǒng)的振動微分方程 8 建立坐標(biāo)：x1，x2的原點分別取在m1，m 2的靜平衡位置 受力分析： m1m2 k3k1k2 F1(t) F2(t) c3 c1c2 k1 x1x2 k3x2 F1(t) k1x1 k2(x2-x1) 1 1 c x m1 221 ()c xx F2(t) k2(x2-x1

4、) m2 221 ()c xx 3 2 c x 兩自由度系統(tǒng)的振動微分方程 9 建立方程： 1 112122121221 2221232212322 ()() ()() m xcc xc xkkxk xF m xc xcc xk xkk xF 整理得： F1(t) k1x1 k2(x2-x1) 1 1 c x m1 221 ()c xx F2(t) k2(x2-x1) m2 221 ()c xx 32 c x k3x2 1 11 12211 12211 ()()m xc xc xxk xkxxF 2232221322212 ()()m xc xc xxk xkxxF 兩自由度系統(tǒng)的振動微分方程

5、 mxcxkxF 10 振動方程： 1 112122121221 2221232212322 ()() ()() m xccxc xkkxk xF m xc xcc xk xkk xF 可寫成矩陣形式： 其中，質(zhì)量矩陣： 1 2 0 0 m m m 阻尼矩陣： 122 223 + - ccc c ccc 剛度矩陣： 122 223 + - kkk k kkk 位移向量： 1 2 x x x 激勵向量： 1 2 F F F 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 11 例2：轉(zhuǎn)動振動 兩圓盤轉(zhuǎn)動慣量 21,I I 軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度 321 , kkk 試建立系統(tǒng)的振動微分方程 1 k 1 I 2 2

6、I 2 k 3 k )( 1 tM)( 2 tM 1 )(),( 21 tMtM外力矩 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 )( 2 tM 12 建立坐標(biāo)： 角位移 21, 角加速度 21, 受力分析： 1 k 1 I 2 2 I 2 k 3 k )( 1 tM 1 11 k )( 1 tM )( 212 k )( 2 tM 33 k 212 ()k 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 13 建立方程： 1 11 12121 22212332 ()( ) ()( ) IkkM t IkkMt 矩陣形式： 2 2 12111 1 23222 2 0( ) 0( ) kkIM t kkIM k kt 坐標(biāo)間的

7、耦合項 11 k )( 1 tM )( 212 k )( 2 tM 33 k 212 ()k 教學(xué)內(nèi)容 兩自由度系統(tǒng)的振動微分方程 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 14 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 1 112122 2223221 ()0 ()0 m xkkxk x m xkk xk x 15 圖示兩自由度系統(tǒng)，無阻尼，無激勵 振動微分方程為： m1m2 k3k1k2 令： 12 1 kk a m 2 1 k b m 2 2 k d m 23 2 kk c m 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 112 221 0 0 xaxbx xcxdx 16 振動微分方程可表示為： 2

8、 0120 2 1020 sin0 sin0 aXbXt dXcXt 假設(shè)其解： 110220 ( )sin,( )sinx tXtx tXt 將解代入振動方程： 振幅X1、 X2，頻率 0 和相位?為未知量， 2 012 2 102 0 0 aXbX dXcX 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 17 2 0 2 0 2 0 ()0 ab dc 稱為特征行列式。 2 0 () 2 012 2 102 0 0 aXbX dXcX 2 1 0 2 2 0 0 Xab Xdc 若存在振動，則X1、 X2 不能等于零，即方程組有非零解，則必須滿足 行列式等于零： 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 18 2 0

9、 2 0 2 0 ()0 ab cd （1）01和 02唯一的決定于系統(tǒng)固有參數(shù)（a、b、c、d），稱為系統(tǒng) 的固有頻率（自然頻率）。較小的 01 叫基頻。兩自由度系統(tǒng)有兩個 自然頻率。 由 可得到： 22 0102 , 2222 acacacac bdbd 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 19 由： 22 010222 12 11 12 , aaXX XbXb 2 012 2 102 0 0 aXbX dXcX 可得X1和 X2的比值 ： （3）帶入01和 02可以驗證 1 大于零，而 2 小于零。第一振型振動 是兩個質(zhì)量塊振動方向相同的振動，第二振型振動是兩個質(zhì)量塊振動 方向相反的振動。 （

10、2）兩個頻率對應(yīng)的振動不相同，以01進(jìn)行的振動稱為第一振型或者低 振型振動， 以02進(jìn)行的振動稱為第二振型或者高振型振動。 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 20 11 101121011 ( )sin,( )sinxttxtt 22 010222 12 11 12 , aaXX XbXb 由： 令X1=1，則可得振動微分方程組的兩個特解 ： 特解 1： 22 102222022 ( )sin,( )sinxttxtt特解 2： 由特解線性疊加可以得到通解： 011022 01 112 211221022 ( ) ( ) sinsin sinsin tt t x tCC Ctx tC 教學(xué)內(nèi)容 兩

11、自由度系統(tǒng)的振動微分方程 兩自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 21 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 22 裝在梁上或者板上的的轉(zhuǎn)動電機，由于轉(zhuǎn)子的不 平衡，或者說轉(zhuǎn)子質(zhì)量不均勻，在電機高速轉(zhuǎn)動下，梁 或者板將發(fā)生上下振動。試問如何減小振動。 （1）提高電機質(zhì)量 （2）增加阻尼 （3）動力吸振器 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 質(zhì)量塊m在正弦擾力F=F0sin t的作用下進(jìn)行 強迫振動。取在無擾力作用時的靜平衡位置為原點， 向下為正。由牛頓定律，可得到： F1(t)m1 ma k ka x1 x2 1120 122 sin 0 aa aaa mxk kxk xFt k xm xk x （） 1

12、122 sin,sinxXt xXt 代入振動微分方程，得到 2 120 2 12 () ()0 aa aaa k kmXk XF k XkmX 23 動力吸振器 2 1020 11 (), aaa XF kmXF k 0 aaa k m km 在無ka與ma時，k-m系統(tǒng)的固有頻率 ka-ma系統(tǒng)的固有頻率 記： 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 2 2 222 ()() aa aaa aaaa kk km kkm k kmkmk 求解代數(shù)方程組可以得到： 24 22 0 0 12 22222222 00 1 , (1)(1)(1)(1) a aaaaaa FkFk XX kkkkkkkk 經(jīng)過變換可

13、以得到： 當(dāng)= a時，X1=0， X2=-F0/ka 此時，彈簧ka作用于質(zhì)量塊m的力kax2=-F0sint，剛好抵消擾力F=F0sin t。這樣只須附加一個彈簧ka與質(zhì)量塊ma，就可以使原來k-m系統(tǒng)在交變擾 力作用下進(jìn)行的強迫振動完全消失。這就是動力吸振的基本原理，附加的 ka-ma系統(tǒng)成為動力吸振器。 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 25 當(dāng)= a時，X1=0， X2=-F0/ka。那么可以得到振動微分方程的解： 0 12 0,sin a F xxt k 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 26 主振系的振幅與激勵頻率關(guān)系 頻率比 /0 歸一化振幅 X1k/F0 陰影線部分為吸振器的 設(shè)計范圍，在此范圍內(nèi)，吸振 效果是滿意的。