2010高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)桉(13)不等式

1、第13章 不等式【學(xué)法導(dǎo)航】 1不等式的概念和性質(zhì)是本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)，要高度重視不等式的概念和性質(zhì)，弄清每一個(gè)性質(zhì)和結(jié)論，做到深刻理解并能夠靈活應(yīng)用。 2熟練掌握不等式的解法即含有參數(shù)的不等式的解法。解不等式是研究函數(shù)和方程的重要工具，在學(xué)習(xí)中不僅要注重不等式在研究函數(shù)與方程的工具作用，更要重視不等式、方程、函數(shù)三者之間的相互轉(zhuǎn)化。 3均值不等式應(yīng)用范圍非常廣泛，可與高中數(shù)學(xué)大部分章節(jié)的知識(shí)進(jìn)行綜合考查，但在高考中的考查卻不外乎大小判斷、求最值、求取值范圍等。因此，把握均值不等式應(yīng)用的前提以及均值不等式的構(gòu)造是復(fù)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)鍵。 4重視不等式的綜合應(yīng)用。不等式單獨(dú)命題較少，常在函數(shù)、數(shù)列、

2、立體幾何、解析幾何和應(yīng)用題解題過(guò)程中涉及，加強(qiáng)不等式的應(yīng)用能力是提高解綜合問題的關(guān)鍵，因此，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面知識(shí)和能力的訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識(shí)。 5注重思想方法的復(fù)習(xí)和應(yīng)用。解決不等式問題中經(jīng)常用到的思想方法有：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分論討論思想、函數(shù)與方程的思想、化歸思想等 總之，學(xué)習(xí)本章應(yīng)做到立足基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、有的放矢、重點(diǎn)突出、學(xué)會(huì)建模、提高素質(zhì)。【專題綜合】 在考試大綱中，雖然沒有對(duì)利用不等式解決實(shí)際問題和不等式在函數(shù)、方程、數(shù)列、解析幾何、平面向量、導(dǎo)數(shù)、極限和概率與統(tǒng)計(jì)等方面的綜合應(yīng)用提出具體要求，但在解答高考題時(shí)，無(wú)處不涉及到不等式的有關(guān)知識(shí)，特別是綜合性強(qiáng)的題更要以不等式作“工具”來(lái)

3、解決不等式的綜合應(yīng)用主要涉及以下三個(gè)方面: 1建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值.根據(jù)題設(shè)條件建立函數(shù)關(guān)系式，并創(chuàng)設(shè)基本不等式應(yīng)用背景在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)要注意的是“一正二定三等”，即求和（積）的最小值（最大值）時(shí)，必須使其積（和）為定值，并且要注意各項(xiàng)是否為正，確保等號(hào)成立的條件是否成立（即各項(xiàng)是否能相等）. 2建立不等式求參數(shù)的取值范圍.常見的問題有： ( l）在集合問題中的應(yīng)用； (2）在方程（組）的解的討論中的應(yīng)用； (3）在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和數(shù)列問題中的應(yīng)用； (4）在平面向量、解析幾何和立體幾何中的應(yīng)用;(5) 在概率與統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用等等解決這類問題的基本方法是根據(jù)條件列出相關(guān)的不等式

4、（組）解不等式，或利用函數(shù)單調(diào)性、均值不等式求其值域 3利用不等式解決實(shí)際問題.不等式的應(yīng)用題大致可分為兩類：一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實(shí)際應(yīng)用問題，另一類是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式或函數(shù)的單調(diào)性求最值問題應(yīng)用不等式解題的關(guān)鍵是建立不等關(guān)系解不等式應(yīng)用問題步驟：審題，建立不等模型，利用不等式有關(guān)知識(shí)解題解決問題的具體模式如下:現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題不等式模型 實(shí)際問題的解 不等式的解 1.不等式與方程例1 (2007廣東) 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：若 , ,顯然在上沒有零點(diǎn), 所以 . 令 , 解得 當(dāng) 時(shí), 恰有一個(gè)零點(diǎn)在上; 當(dāng)，即

5、時(shí)，在上也恰有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則 或解得或綜上所求實(shí)數(shù)的取值范圍是 或 . 2.不等式與數(shù)列例2(2008安徽卷21）設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)（）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；（）設(shè)，證明：;（）設(shè)，證明：解 (1) 必要性 ： ， 又 ，即充分性 ：設(shè)，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí)，.假設(shè) 則，且，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立 (2) 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立 當(dāng) 時(shí)， ,由（1）知，所以 且 (3) 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立 當(dāng)時(shí)，由（2）知 3.不等式與解析幾何例3 (2008年全國(guó)理科21文科22）高考)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)、B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D

6、，與橢圓相較于E、F兩點(diǎn).()若 ,求k的值；()求四邊形AEBF面積的最大值. 解：（）依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為， 如圖，設(shè)，其中， DFByxAOE且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡(jiǎn)得，解得或 （）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為， 又，所以四邊形的面積為 ，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為 解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得， 故四邊形的面積為 ，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為 4.不等式與概率統(tǒng)計(jì)例4（2006遼寧卷）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)

7、品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元, 取0、1、2時(shí), 一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元.隨機(jī)變量、分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).(I) 求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、; (II) 當(dāng)時(shí),求的取值范圍.分析 解決問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件的分布列. 解 (I)的概率分布為1.21.181.17pE=1.2+1.18+1.17=1.18.由題設(shè)得,則的概率分布為012P故的概率分布為1.31.250.2P的數(shù)學(xué)期望為E=+=. (II) 由,得:

8、.0p1,時(shí), .點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望、方差和不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.不等式與概率與統(tǒng)計(jì)的綜合考查,是高考出現(xiàn)的新亮點(diǎn), 2006年北京卷的第18題也是這種題,這是一種新的命題趨向,應(yīng)引起足夠的重視. 5.不等式與函數(shù)例5（2009全國(guó)卷理）設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域；(II)證明： 分析（I）這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力。大部分考生有思路并能夠得分。由題意知方程有兩個(gè)根則有故有 右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域。(II)這一問考生不易得分，

9、有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標(biāo)中的，（如果消會(huì)較繁瑣）再利用的范圍，并借助（I）中的約束條件得進(jìn)而求解，有較強(qiáng)的技巧性解： 由題意有又消去可得又，且 6.不等式與實(shí)際問題例6（2009湖北卷文）（本小題滿分12分） 圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x(單位：元)。（）將y表示為x的函數(shù)： （）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，

10、并求出最小總費(fèi)用解：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m則-45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=,所以y=225x+ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II).當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力,以及數(shù)學(xué)建模的能力.【專題突破】 1.(2006春上海) 若，則下列不等式成立的是( ) A. B. C. D.答案: C2.(2004北京）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項(xiàng)中不一

11、定成立的是（ ）AB C D 答案: C3. 對(duì)于實(shí)數(shù)，下命題正確的是 ( )A.若ab0,dc0,則答案: C4.已知集合，集合，則集合 （ ）A. B. C. D.解 選C. ,.5.設(shè)f(x)= 則不等式f(x)2的解集為 ( )A. B. C. D. 解:由已知得或即或也即或解得或.故選C. 6. 下列結(jié)論正確的是 （ ） A當(dāng)BC的最小值為2D當(dāng)無(wú)最大值答案:. (2005福建)設(shè)的最小值是（ ）ABC3 D答案：8.不等式的解集是 答案:（0，2）9.（2009浙江理）若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：4 【解析】通過(guò)畫出其線性規(guī)劃，可知

12、直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，10.（山東卷16）若不等式3x-b4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍 。答案: （5，7）. 11. (2005北京)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時(shí)）（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：（）依題意， （）由條件得 整理得v289v+16000,即（v25）（v64）0,解得25v64.答：當(dāng)v=40千米/小時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時(shí).如果要求在該時(shí)