322立體幾何中的向量方法

1、3.2.23.2.2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 平行平行關系關系 m l a b 平行 好 好 好 好 好好 空間看 快圣誕節(jié) 絕對 絕對 a aAC axAByAD u 交話費嗎個韓國國會和各個環(huán)節(jié)規(guī)劃 計劃計劃好 u u v 符合非國家和非法加工房價格和 加工環(huán)節(jié) 例例 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方 形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的 中點，中點，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：求證：AE/FG. A B C D P P G G X Y Z F F E E A(6,0,0), F(2,2,0), E(3,3

2、,3), G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2) 3 2 AE =FGAE =FG AE/FG 證證 ：如圖所示：如圖所示, , 建立建立 空間直角坐標系空間直角坐標系. . / AEFGAEFG AEAE與與FGFG不共線不共線 幾何法呢？幾何法呢？ 例例4 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正 方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的 中點，中點， (1)求證：求證：PA/平面平面EDB. A B C D P P E E X Y Z G 解解1 立體立體幾何法幾何法

3、A B C D P P E E X Y Z G 解解2：如圖所示建立空間直角坐標系，點：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設為坐標原點，設DC=1 (1)證明：連結證明：連結AC,AC交交BD于點于點G,連結連結EG (1,0,0),(0,0,1), 1 1 (0, ) 2 2 AP E 依依題題意意得得 G 1 11 1 ( , ，( , ，0)0) 2 22 2 11 (1,0, 1),( ,0,) 22 PAEG EGPAEGPA/2，即所以 ,EGEDB PAEDB 而平面 且平面 EDBPA 平面所以，/ A B C D P P E E X Y Z 解解3：如圖所示建立空間

4、直角坐標系，點：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設為坐標原點，設DC=1 (1)證明：證明： 1 1 (1,0,0),(0,0,1),(0, ), 2 2 APE依依題題意意得得 B B( (1 1, , 1 1， 0 0) ) (1,0, 1),PA PAEDB而平面 EDBPA 平面所以，/ 1 1 (0, ) 2 2 DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0) 設平面設平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y , nnDEDB 則 11 0 1, 1, 122 0 y n xy 于是 0PA nPAn A B C D P P E E X Y Z 解解4

5、：如圖所示建立空間直角坐標系，點：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設為坐標原點，設DC=1 (1)證明：證明： 1 1 (1,0,0),(0,0,1),(0, ), 2 2 APE依依題題意意得得 B B( (1 1, , 1 1， 0 0) ) (1,0, 1),PA PAEDB而平面 EDBPA 平面所以，/ 1 1 (0, ) 2 2 DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0) PAxDEyDB 設 解得解得 x, 2PADEDB 即 PADEDB 于是、 、 共面 ABCD ADEF NM,AEBD, 11 , 33 BMBD ANAE ， /MNCDE平平面面

6、 例例 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形 所在平面相交于所在平面相交于ADAD，點，點 分別在對角線分別在對角線上，且上，且 求證：求證： 21 33 DCDE MNMDDEEN 證明 22 33 DBDEEA 22 ()() 33 DADCDEDADE A B C E F D M N MNDCDE 所以、共面 /MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面 幾何法呢？幾何法呢？ 建 系 怎 么建 系 怎 么 做？做？ (1) lm0aba b 垂直關系：垂直關系： l m a b 垂直關系：垂直關系： (2) l / /auau l a u aa AB, AB, ACAC A B C 垂直關系：垂直關系： 3（ ）0uvu v u v 例例 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方 形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的 中點，中點，PF=FG=GC . 求證：面求證：面AEF/面面BDG. A B C D P P G G X Y Z F