第一章彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)_材料的宏微觀力學(xué)性能

1、 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 1.1 1.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 1.2 1.2 應(yīng)力應(yīng)力 1.3 1.3 應(yīng)變應(yīng)變 1.4 1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 1.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 1.1.1 彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù) 1.1.2 彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè)彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè) 1.1.3 彈性與塑性彈性與塑性 1.1.4 張量概念和求和約定張量概念和求和約定 1.1.1 彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù) 研究對(duì)象：研究對(duì)象：可變形固體可變形固體 Deformation rigid 受到外載荷、溫度變化及邊界受到外載荷、溫度變化及邊界 約束變動(dòng)等作用時(shí)，可

2、變形固體約束變動(dòng)等作用時(shí)，可變形固體 的的彈塑性變形彈塑性變形和和應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài) 研究任務(wù)研究任務(wù) 1.1.2 彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè)彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè) 連續(xù)性假設(shè)？連續(xù)性假設(shè)？ 均勻性假設(shè)？均勻性假設(shè)？ 各向同性假設(shè)？各向同性假設(shè)？ 小變形假設(shè)？小變形假設(shè)？ 請(qǐng)回憶請(qǐng)回憶材材 料力學(xué)料力學(xué)課課 程的假設(shè)程的假設(shè) 1.1.3 彈性與塑性彈性與塑性 物體卸載以后，就完全消物體卸載以后，就完全消 失的那種變形。失的那種變形。 卸載后不能消失而殘留下來卸載后不能消失而殘留下來 的那部分變形。的那部分變形。 彈性彈性 變形變形 塑性塑性 變形變形 彈性與塑性彈性與塑性 低碳鋼試件簡單拉伸試驗(yàn)應(yīng)力

3、應(yīng)變曲線低碳鋼試件簡單拉伸試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線 :比例極限 ； :彈性極限； :屈服應(yīng)力 ； :線彈性階段； :非線性彈性階段； :塑性流動(dòng)階段; :塑性應(yīng)變； :彈性應(yīng)變； A 0 0 P e OA AB BC 特別注特別注 意卸載意卸載 的路徑的路徑 強(qiáng)化：應(yīng)力超出了彈性極限，強(qiáng)化：應(yīng)力超出了彈性極限， 就相當(dāng)于增加了材料內(nèi)部對(duì)就相當(dāng)于增加了材料內(nèi)部對(duì) 變形的抵抗能力的性質(zhì)。變形的抵抗能力的性質(zhì)。 應(yīng)力應(yīng)變曲線理想化模型應(yīng)力應(yīng)變曲線理想化模型 四種簡化的應(yīng)力應(yīng)變理想模型四種簡化的應(yīng)力應(yīng)變理想模型 (a)理想彈塑性模型；理想彈塑性模型；(b)理想剛理想剛 塑性模型；塑性模型；(c) 理想彈塑性線

4、性強(qiáng)化模型；理想彈塑性線性強(qiáng)化模型；(d)理想剛塑性線性強(qiáng)理想剛塑性線性強(qiáng) 化模型化模型 理想化模型的應(yīng)用實(shí)例：如，受內(nèi)壓作用的厚壁筒取理想化模型的應(yīng)用實(shí)例：如，受內(nèi)壓作用的厚壁筒取(a)(a)理理 想彈塑性模型；形成塑性鉸的梁取想彈塑性模型；形成塑性鉸的梁取(b)(b)理想剛塑性模型理想剛塑性模型 (a)(b)(c)(d) 1.1.4 張量概念和求和約定 標(biāo)量標(biāo)量：不依賴于坐標(biāo)系，只有大小沒有：不依賴于坐標(biāo)系，只有大小沒有 方向的物理量。如物體的質(zhì)量、密度、方向的物理量。如物體的質(zhì)量、密度、 體積及動(dòng)能、應(yīng)變能等。體積及動(dòng)能、應(yīng)變能等。 張量張量：建立在選定的坐標(biāo)系中，用若干個(gè)獨(dú)建立在選定的

5、坐標(biāo)系中，用若干個(gè)獨(dú) 立的分量才能表達(dá)出來的物理量。立的分量才能表達(dá)出來的物理量。 nn 二階張量，與對(duì)稱的二階張量，與對(duì)稱的 階矩陣相對(duì)應(yīng)。階矩陣相對(duì)應(yīng)。 張量的階 一階張量一階張量：由由3 3個(gè)獨(dú)立的量組成的集個(gè)獨(dú)立的量組成的集 合稱為一階張量，又稱為矢量或向量，合稱為一階張量，又稱為矢量或向量， 即既有大小又有方向的物理量，如空即既有大小又有方向的物理量，如空 間中某點(diǎn)的幾何位置和位移。間中某點(diǎn)的幾何位置和位移。 二階張量二階張量：由：由9 9個(gè)獨(dú)立的物理量組成個(gè)獨(dú)立的物理量組成 的集合，如空間中某點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)的集合，如空間中某點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng) 變等。變等。 張量的表示張量的表示(下標(biāo)記法下

6、標(biāo)記法) 點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)的坐標(biāo)：(x,y,z) x(x,y,z) xi i(i(i=1,2,3)=1,2,3) 應(yīng)力張量應(yīng)力張量： 3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1 333231 232221 131211 ji ij 物理物理 意義？意義？ 且聽下 回分解！ EinsteinEinstein求和約定求和約定 求和約定求和約定：在用下標(biāo)記號(hào)法表示張量的：在用下標(biāo)記號(hào)法表示張量的某某 一項(xiàng)一項(xiàng)時(shí)，如有兩個(gè)下標(biāo)相同，則表示對(duì)此時(shí)，如有兩個(gè)下標(biāo)相同，則表示對(duì)此 下標(biāo)從下標(biāo)從1 1至至3 3求和求和, ,而重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為而重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為求求 和標(biāo)號(hào)和標(biāo)號(hào)，不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為自由標(biāo)號(hào)，不

7、重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為自由標(biāo)號(hào), , 可取從可取從1 1至至3 3的任意值的任意值 例如：例如： 332211332211 ;babababa iiii 柯氏符號(hào)與排列符號(hào)柯氏符號(hào)與排列符號(hào)( (或置換符號(hào)或置換符號(hào)) ) 柯氏符號(hào)柯氏符號(hào)： 上式表示了九個(gè)量，但只有上式表示了九個(gè)量，但只有 三個(gè)量三個(gè)量 不等于零。不等于零。 可用于換標(biāo)，如可用于換標(biāo)，如 ji ji ij ,0 ,1 332211 , 321332211 ,aaaaaaaa jjjjiji 或即 中任意兩個(gè)指標(biāo)相同時(shí)當(dāng) 或或 或或 tsr tsr tsr ,0 2,3, 13, 1,21,2,3, 1 2, 1,31,3,23,

8、2, 1, 1 e rst 3, 2, 1, 2 1 tsrrttssrerst 排列符號(hào)排列符號(hào)： 或或 排列符號(hào)含有排列符號(hào)含有2727個(gè)元素。其中指標(biāo)按正序排列的個(gè)元素。其中指標(biāo)按正序排列的 三個(gè)元素為三個(gè)元素為1 1，按逆序排列的三個(gè)元素為，按逆序排列的三個(gè)元素為1 1，其，其 它帶有重指標(biāo)的元素都是它帶有重指標(biāo)的元素都是0 0。 張量導(dǎo)數(shù)張量導(dǎo)數(shù) 張量導(dǎo)數(shù)張量導(dǎo)數(shù)：把張量的每個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)參數(shù)：把張量的每個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)數(shù)。 在笛卡兒直角坐標(biāo)系中，張量的導(dǎo)數(shù)仍然在笛卡兒直角坐標(biāo)系中，張量的導(dǎo)數(shù)仍然 是張量，張量導(dǎo)數(shù)的階數(shù)比原張量高一階。是張量，張量導(dǎo)數(shù)的階數(shù)比原張量高一階

9、。 如一階張量，矢量如一階張量，矢量 的導(dǎo)數(shù)是二階張量。的導(dǎo)數(shù)是二階張量。V 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 11 1 x V x V x V x V x V x V x V x V x V x V j i 1.2 應(yīng)力應(yīng)力 1.2.1 外力和應(yīng)力外力和應(yīng)力 1.2.2 平衡方程和邊界條件平衡方程和邊界條件 1.2.3 主應(yīng)力和主方向主應(yīng)力和主方向 1.2.4 球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量 1.2.1 外力和應(yīng)力外力和應(yīng)力 外力的表示外力的表示 1. 1. 體力體力：分布在物體體積內(nèi)的力，其大小與物體：分布在物體體積內(nèi)的力，其大小與物體 的質(zhì)

10、量成正比的質(zhì)量成正比 例如重力、磁力及運(yùn)動(dòng)物體的慣性例如重力、磁力及運(yùn)動(dòng)物體的慣性 力等。力等。 物體在點(diǎn)物體在點(diǎn)P所受體力的集度：所受體力的集度： 矢量矢量F在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)P的體力的體力 分量，以沿坐標(biāo)軸正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方分量，以沿坐標(biāo)軸正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方 向時(shí)為負(fù)，量綱為向時(shí)為負(fù)，量綱為力力長度長度-3。 VV Q F lim 0 外力的表示外力的表示 2. 2. 面力面力：分布在物體表面上的力，例如流：分布在物體表面上的力，例如流 體壓力和接觸力。體壓力和接觸力。 物體在點(diǎn)物體在點(diǎn)P所受面力的集度：所受面力的集度： 矢量矢量T

11、在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)P 的體力分量的體力分量,以沿坐標(biāo)軸正方向時(shí)為正，沿以沿坐標(biāo)軸正方向時(shí)為正，沿 坐標(biāo)軸負(fù)方向時(shí)為負(fù)，量綱為坐標(biāo)軸負(fù)方向時(shí)為負(fù)，量綱為力力長度長度-2 SS Q T 0 lim 外力的表示外力的表示 (a) 體力體力; (b)面力面力 (a)(b) 應(yīng)力應(yīng)力 用一個(gè)假想的閉合曲面把用一個(gè)假想的閉合曲面把 物體分成內(nèi)、外兩部分，物體分成內(nèi)、外兩部分， 簡稱內(nèi)域和外域。簡稱內(nèi)域和外域。假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) 面元趨于面元趨于P P點(diǎn)，點(diǎn)， 時(shí)，時(shí)， 比值比值 的極限存在，且的極限存在，且 面元上作用力的合力矩與面元上作用力的合力矩與 的比值趨于零，則

12、可定義的比值趨于零，則可定義 是作用在點(diǎn)是作用在點(diǎn)P P處法線為處法線為 的面元上的的面元上的應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量。 0S S F S S lim 0 F v v 應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量 應(yīng)力矢量的特點(diǎn)應(yīng)力矢量的特點(diǎn) 與面力矢量的聯(lián)系和區(qū)別：數(shù)學(xué)定義和物理量綱與面力矢量的聯(lián)系和區(qū)別：數(shù)學(xué)定義和物理量綱 相同，但應(yīng)力是作用在物體內(nèi)截面上的相同，但應(yīng)力是作用在物體內(nèi)截面上的未知內(nèi)力未知內(nèi)力， 而面力是作用在物體外表面上的而面力是作用在物體外表面上的已知外力已知外力。當(dāng)內(nèi)。當(dāng)內(nèi) 截面無限趨近于外表面時(shí)，應(yīng)力也趨近于外加面截面無限趨近于外表面時(shí)，應(yīng)力也趨近于外加面 力的值。力的值。 vr, vv v v 應(yīng)力矢

13、量應(yīng)力矢量 的大小和方向不僅和點(diǎn)的位置有的大小和方向不僅和點(diǎn)的位置有 關(guān)，而且和面元法線方向關(guān)，而且和面元法線方向 有關(guān)。如何描述一有關(guān)。如何描述一 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？ 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 九個(gè)應(yīng)力分量九個(gè)應(yīng)力分量 ： 第一個(gè)指標(biāo)第一個(gè)指標(biāo) 表示面元的法線方表示面元的法線方 向，稱面元指標(biāo)。第二指標(biāo)向，稱面元指標(biāo)。第二指標(biāo) 表表 示應(yīng)力的分解方向，稱方向指標(biāo)。示應(yīng)力的分解方向，稱方向指標(biāo)。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，應(yīng)力分量垂直于面時(shí)，應(yīng)力分量垂直于面 元元, ,稱為正應(yīng)力。當(dāng)稱為正應(yīng)力。當(dāng) 時(shí)，應(yīng)時(shí)，應(yīng) 力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為 剪應(yīng)力剪應(yīng)力 。 zzyz

14、x yzyyx xzxyx ijij 或 333231 232221 131211 ji ji i j 直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量 1 x 一點(diǎn)處應(yīng)力分量正負(fù)的規(guī)定一點(diǎn)處應(yīng)力分量正負(fù)的規(guī)定 外法線與坐標(biāo)軸同向的面元稱為正面，外法線與坐標(biāo)軸同向的面元稱為正面， 反之為負(fù)面。反之為負(fù)面。 ij 九個(gè)應(yīng)力分量九個(gè)應(yīng)力分量 的正向規(guī)定的正向規(guī)定; ;正面上與坐標(biāo)軸同向正面上與坐標(biāo)軸同向 為正；負(fù)面上與坐標(biāo)軸反向?yàn)檎秊檎回?fù)面上與坐標(biāo)軸反向?yàn)檎?上述規(guī)定正確地反映了作用與反作用原理和上述規(guī)定正確地反映了作用與反作用原理和 “受拉為正、受壓為負(fù)受拉為正、受壓為負(fù)”的傳統(tǒng)觀念，數(shù)學(xué)處理也的

15、傳統(tǒng)觀念，數(shù)學(xué)處理也 比較統(tǒng)一。但剪應(yīng)力正向和材料力學(xué)規(guī)定不同。比較統(tǒng)一。但剪應(yīng)力正向和材料力學(xué)規(guī)定不同。 1.2.21.2.2平衡方程平衡方程和邊界條件和邊界條件 考慮單元體沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的力考慮單元體沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的力 的平衡條件，按泰勒級(jí)數(shù)展開并的平衡條件，按泰勒級(jí)數(shù)展開并略略 去高階小量后，分別得到去高階小量后，分別得到微元體沿微元體沿 x x1 1方向、方向、x x2 2方向、方向、x x3 3方向的力的平方向的力的平 衡條件，如右式：衡條件，如右式： 即 運(yùn)動(dòng)微分方程 ： 0 1 3 31 2 21 1 11 F xxx 0 2 3 32 2 22 1 12 F xxx 0 3

16、 3 33 2 23 1 13 F xxx 0 , ijji F 2 2 , t u F i ijji 剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律 考慮微元體的力矩平 衡。分別對(duì)通過形心 C，沿x1，x2，x3方 向的軸取矩，則得到 剪應(yīng)力互等定律： 即： ; ; ; 1331 3223 2112 jiij 斜面應(yīng)力公式斜面應(yīng)力公式 由四面體微元的平衡條由四面體微元的平衡條 件，可以得到任意斜面件，可以得到任意斜面 上的應(yīng)力公式，上的應(yīng)力公式，又稱又稱 Cauchy(Cauchy(哥西哥西) )公式：公式： 其中, v v jie e v ij , 應(yīng)力張量 是斜面的法向矢量 3332321313 3232

17、221212 3132121111 vvv vvv vvv v v v 任意斜面上的應(yīng)力任意斜面上的應(yīng)力 斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用 1. 1. 求斜面上的各種應(yīng)力求斜面上的各種應(yīng)力 ( (已知正截面上的應(yīng)力已知正截面上的應(yīng)力 張量和斜面的法向矢量張量和斜面的法向矢量) ) 22 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 , , cos,cos,cos nv jiijnn nn v v v v v v 1 vvvv vv vv v x,x,x, nv vvv v 其大小為 斜面剪應(yīng)力： 其大小為 斜面正應(yīng)力： 斜面應(yīng)力的方向： 斜面應(yīng)力的大?。?斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用

18、 2. 2. 給定力邊界條件給定力邊界條件 若斜面是物體的邊界面，且給定面力若斜面是物體的邊界面，且給定面力 ，則，則未未 知應(yīng)力場的力邊界條件知應(yīng)力場的力邊界條件 ijij vT即, vT v T 的方向余弦 為邊界面外法線其中nml nmlT nmlT nmlT zyzxzz zyyxyy zxyxxx , ; ; ; 你會(huì)寫你會(huì)寫 出分量出分量 形式嗎？形式嗎？ 1.2.3 1.2.3 主應(yīng)力和主方向主應(yīng)力和主方向 概念概念: :當(dāng)面元上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力等于零，此時(shí)當(dāng)面元上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力等于零，此時(shí) 的面元法線方向稱為的面元法線方向稱為主方向主方向，相應(yīng)的正應(yīng)力稱為，相應(yīng)的正應(yīng)力稱

19、為主主 應(yīng)力應(yīng)力，所在的面為，所在的面為主平面主平面。 3, 2, 1; 3, 2, 10ijv ijviji v jjvjijiv vevevv v 0 jviji vv i v 求某個(gè)法線方向求某個(gè)法線方向 ，使?jié)M足方程，使?jié)M足方程 即即 , , 換標(biāo)后換標(biāo)后, ,即求對(duì)即求對(duì) 的線性代數(shù)的線性代數(shù) 方程組方程組 你會(huì)用數(shù)學(xué)的你會(huì)用數(shù)學(xué)的 語言表示嗎？語言表示嗎？ 求解主應(yīng)力和主方向求解主應(yīng)力和主方向 線性代數(shù)方程組線性代數(shù)方程組 存在非零解的存在非零解的 必要條件是系數(shù)行列式等于零，即必要條件是系數(shù)行列式等于零，即 得得 的的特征方程特征方程 3, 2, 1, 0jv ijviji 0

20、333231 232221 131211 v v v v 0 32 2 1 3 JJJ vvv 1 3 2 該方程的三個(gè)特征根即為主應(yīng)力值，將主應(yīng)力值該方程的三個(gè)特征根即為主應(yīng)力值，將主應(yīng)力值 代入線性方程組，即可求得各主應(yīng)力值對(duì)應(yīng)的主方代入線性方程組，即可求得各主應(yīng)力值對(duì)應(yīng)的主方 向。通常，將主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小排列，稱為向。通常，將主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小排列，稱為 第一主應(yīng)力第一主應(yīng)力 , ,第二主應(yīng)力第二主應(yīng)力 和第三主應(yīng)力和第三主應(yīng)力 。 你是否發(fā)你是否發(fā) 現(xiàn)張量與現(xiàn)張量與 矩陣的某矩陣的某 種關(guān)系？種關(guān)系？ 應(yīng)力張量的不變量應(yīng)力張量的不變量 特征方程中出項(xiàng)的系數(shù)特征方程中出項(xiàng)的系數(shù)

21、J J1 1、J J2 2、J J3 3分別稱為分別稱為應(yīng)力應(yīng)力 張量的第一、第二、第三不變量張量的第一、第二、第三不變量。 應(yīng)力張量的不變量的具體表述應(yīng)力張量的不變量的具體表述 det 3 1 2 1 2 1 2 1 2 121321 333231 232221 131211 3 2 1 2221 1211 3231 1311 3332 2322 2 3213322111 JJJeJ JJ trJ kijkijkjiijk ijijijijjjii ii 與坐標(biāo)與坐標(biāo) 軸的選軸的選 取無關(guān)取無關(guān) 1.2.4 球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量 某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以分解為兩

22、部分，球形應(yīng)某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以分解為兩部分，球形應(yīng) 力張量力張量 和應(yīng)力偏量張量和應(yīng)力偏量張量 ，即，即 其中，其中， I m S SI m mzzyzx yzmyyx xzxymx zyxm m m m m S I 321 3 1 3 1 , 00 00 00 應(yīng)力偏量張量的不變量應(yīng)力偏量張量的不變量 應(yīng)力偏量張量的第一不變量應(yīng)力偏量張量的第一不變量 應(yīng)力偏量張量的第二不變量應(yīng)力偏量張量的第二不變量 應(yīng)力偏量張量的第三不變量應(yīng)力偏量張量的第三不變量 因因 恒負(fù)，常改寫為恒負(fù)，常改寫為 0 1 kk SI ijijijij SSSSII 2 1 2 1 12 kijkijkijkij SS

23、SIIISSSI 3 1 3 1 3 1 2 1213 2 I kijkijijij SSSIJSSIJJ 3 1 , 6 1 2 1 , 0 33 2 13 2 32 2 21221 1.3 應(yīng)變應(yīng)變 1.3.1 變形和應(yīng)變變形和應(yīng)變 1.3.2 協(xié)調(diào)方程協(xié)調(diào)方程 1.3.3 主應(yīng)變和主方向主應(yīng)變和主方向 1.3.1 變形和應(yīng)變變形和應(yīng)變 1. 1.位移位移的描述的描述 zyxuu, zyxvv, zyxww, 剛體位移 變形 構(gòu)形構(gòu)形 2. 2.應(yīng)變應(yīng)變的描述的描述 過點(diǎn) 沿坐標(biāo)軸方向取三個(gè)互相 垂直的微線段 、 、 ，其 長度分別為 、 、 ，物體 在外力作用下發(fā)生變形，過點(diǎn)P 的這三個(gè)

24、微線段的長度和它們之 間的夾角將發(fā)生改變。 微線段相對(duì)長度的改變稱為點(diǎn)的 正應(yīng)變，用 表示。規(guī)定正應(yīng)變 以伸長為正，縮短為負(fù)。 微線段間夾角的改變量稱為點(diǎn)的 剪應(yīng)變，用 表示。規(guī)定剪應(yīng)變 以微線段間夾角減少為正，增大 為負(fù)。 P dxdydz PAPBPC 先復(fù)習(xí)材料力先復(fù)習(xí)材料力 學(xué)中應(yīng)變的定學(xué)中應(yīng)變的定 義。應(yīng)變的感義。應(yīng)變的感 性認(rèn)識(shí)！性認(rèn)識(shí)！ 3. 3. 幾何方程幾何方程 由上圖可知：線元的長度變化與方向改變是描述物體變形 (包括體積變化和形狀畸變)的關(guān)鍵量 PQ 321 ,aaaP 332211 ,daadaadaaQ 長度變化： QP 321 ,xxx P 332211 ,dxxd

25、xxdxxQ PQ： ii aOPea iii daadOQeaa ii dadOPOQPQea ii xPOex iii dxxdQOexx ii dxdPOQOQPex QP： 應(yīng)變的理性應(yīng)變的理性 認(rèn)識(shí)！認(rèn)識(shí)！ PQ線元的長度平方為： jiijii dadadadadddsaa 2 0 QP 線元 的長度平方為： mmdx dxdddsxx 2 采用拉格朗日描述法( )： imm axx i i m m da a x dx 有： ji j m i m dada a x a x ds 2 則： jiij dadaEdsds2 2 0 2 ij j m i m ij a x a x E 2

26、1 ( ) 應(yīng)變的應(yīng)變的 嚴(yán)格定嚴(yán)格定 義！義！ 則： ij j m mj i m miij a u a u E 2 1 j m i m i j j i a u a u a u a u 2 1 采用拉格朗日描述法： immim auaax求導(dǎo)得 i m mi i m a u a x 本課程的研究對(duì)象是位移比物體最小尺寸小得多的 小變形情況，這時(shí)位移分量的一階導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于1 1 1 j i a u 1 j j x u 略去高階小量后 j i j k kj k i j k k i j i x u a u x u a x x u a u 因而在描述物體變形時(shí)，對(duì)坐標(biāo) 和 可以不加區(qū)別 i a i x

27、在小變形情況下 ijjiijij uuE , 2 1 ij 稱為哥西(Cauchy)應(yīng)變張量或小應(yīng)變張量，是二階對(duì)稱張量 1 1 11 x u 1 2 2 1 2112 2 1 x u x u 2 2 22 x u 2 3 3 2 3223 2 1 x u x u 3 3 33 x u 3 1 1 3 1331 2 1 x u x u 應(yīng)變位移公式 or 幾何方程 應(yīng)變位移方應(yīng)變位移方 程或稱為幾程或稱為幾 何方程何方程 分析長度變化 線元 PQ方向的單位矢量為 iii i v ds da ds d ee a 00 0 ds da v i i 為線元 PQ的方向余弦 引進(jìn)定義 0 ds ds

28、v 表示變形前后線元的長度變化，稱為長度比 則 jiijjiijv vvvv ds ds 121 2/1 0 通常定義 方向線元的工程正應(yīng)變 為變形后 線元長度的相對(duì)變化 v 即 1 0 0 vv ds dsds 故有 jiijv vv 展開 133132232112333322221111 222vvvvvvvvvvvv i e當(dāng)取 分別為 時(shí) ，有3 , 2 , 1i 332211 zyx 應(yīng)變量張量 的三個(gè)對(duì)角分量分別等于坐標(biāo)軸方向 三個(gè)線元的工程正應(yīng)變 ij 分析方向改變 線元 QP方向的單位矢量為 iii i v ds dx ds d ee x 方向余弦 v j j i j j ii

29、 i a x ds ds ds da a x ds dx v 1 0 0 i m mi i m a u a x 利用，任意線元變形后的方向余弦可用位移表示成 v j j i jii v a u v 1 利用 和 的表達(dá)式，忽略二階小量后可得 v v v vv 1 1 11 故 vij j i ii vv a u vv 變形前的兩個(gè)任意線元 和 PQ PR，其單位矢量分別為 和 ， t 方向余弦分別為 和 i v i tPQ PR ， 和 的夾角余弦為 iit vtt,cos ，其單位矢量分別為 和 ， 方向余弦分別為 和 變形后，兩線元變?yōu)?和 QPRP t i v i t QPRP ， 和

30、的夾角余弦為 jijitv t21,cos ttt 若變形前兩方向的線元互相垂直，并令若變形前兩方向的線元互相垂直，并令 為變形后為變形后 線元間直角的減小量，則線元間直角的減小量，則 vtjiij tv 22,cos 2 cos t 通常定義兩正交線元間的直角減小量為工程剪應(yīng)變通常定義兩正交線元間的直角減小量為工程剪應(yīng)變 vt jiijvtvt tv22 若 為坐標(biāo)軸方向的單位矢量，例如 ，其余的 方向余弦均為零，則由上式得 jitv ji 1, 1t, ijij 2ji 由上面的討論可以看到，小應(yīng)變張量的六由上面的討論可以看到，小應(yīng)變張量的六 個(gè)分量個(gè)分量 的幾何意義是：當(dāng)指標(biāo)的幾何意義是

31、：當(dāng)指標(biāo) 時(shí)，時(shí)， 表示沿坐標(biāo)軸表示沿坐標(biāo)軸 方向線元的正應(yīng)變。以伸長方向線元的正應(yīng)變。以伸長 為正，縮短為負(fù)；當(dāng)指標(biāo)為正，縮短為負(fù)；當(dāng)指標(biāo) 時(shí)，時(shí)， 的兩倍的兩倍 表示坐標(biāo)軸表示坐標(biāo)軸 與與 方向兩個(gè)正交線元間的剪方向兩個(gè)正交線元間的剪 應(yīng)變。以銳化應(yīng)變。以銳化( (直角減小直角減小) )為正，鈍化為正，鈍化( (直角增直角增 加加) )為負(fù)為負(fù) 。 ij ji ij i ji ij i j 幾何 意義 1.3.2 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 六個(gè)應(yīng)變分量通過六個(gè)幾何方程與三個(gè)位移相聯(lián)系六個(gè)應(yīng)變分量通過六個(gè)幾何方程與三個(gè)位移相聯(lián)系 i j j i ij x u x u 2 1 ij 給定，上式

32、就是關(guān)于 的微分方程。由于方程數(shù)目多于 未知函數(shù)的數(shù)目，因此，若任意給定 ，方程不一定有解。 只有當(dāng) 滿足某種可積條件，或稱應(yīng)變協(xié)調(diào)關(guān)系時(shí)，才能由 上述方程積分得到單值連續(xù)的位移場 。 i u ij ij i u 從幾何上講，若某一初始連續(xù)的物體按給定的應(yīng)變狀態(tài)從幾何上講，若某一初始連續(xù)的物體按給定的應(yīng)變狀態(tài) 變形時(shí)，能始終保持連續(xù)，既不開裂，又不重疊，則所給變形時(shí)，能始終保持連續(xù)，既不開裂，又不重疊，則所給 的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的( (如下圖如下圖) )。 對(duì)于單值連續(xù)的位移場，位移分量對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)與求對(duì)于單值連續(xù)的位移場，位移分量對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)與

33、求 導(dǎo)順序無關(guān)，由此可以導(dǎo)出應(yīng)變分量的協(xié)調(diào)條件。導(dǎo)順序無關(guān)，由此可以導(dǎo)出應(yīng)變分量的協(xié)調(diào)條件。 小應(yīng)變張量 的二階偏導(dǎo)數(shù)為 ij ikljjkliklij uu , 2 1 式中逗號(hào)前是分量指標(biāo)，逗號(hào)后是導(dǎo)數(shù)指標(biāo) 為了建立不同應(yīng)變分量間的關(guān)系，把兩個(gè)分量指標(biāo)和兩為了建立不同應(yīng)變分量間的關(guān)系，把兩個(gè)分量指標(biāo)和兩 個(gè)導(dǎo)數(shù)指標(biāo)雙雙對(duì)換可得個(gè)導(dǎo)數(shù)指標(biāo)雙雙對(duì)換可得 kijllijkijkl uu , 2 1 同理 ijlkkjlijlik uu , 2 1 jikllikjikjl uu , 2 1 當(dāng)位移場單值連續(xù)，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，偏導(dǎo)當(dāng)位移場單值連續(xù)，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，偏導(dǎo) 數(shù)與

34、求導(dǎo)順序無關(guān)，于是數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，于是 0 , ikjljlikijklklij 應(yīng)變協(xié)應(yīng)變協(xié) 調(diào)方程調(diào)方程 協(xié)調(diào)方程數(shù)目為六個(gè)，在直角坐標(biāo)系中的常用形式是 0 21 12 2 2 1 22 2 2 2 11 2 xxxx (22，11)或(11，22) 0 32 23 2 2 2 33 2 2 3 22 2 xxxx (33，22)或(22，33) 0 31 13 2 2 3 11 2 2 1 33 2 xxxx (11，33)或(33，11) 3 12 2 31 1 23 132 11 2 2 1 xxxxxx (23，11)或(31，21) 1 23 3 12 2 31 213 22

35、2 2 1 xxxxxx (31，22)或(12，32) 2 31 1 23 3 12 321 33 2 2 1 xxxxxx (12，33)或(23，13) 綜上所述，物體的變形可以用位移矢量場綜上所述，物體的變形可以用位移矢量場( (三個(gè)位移三個(gè)位移 分量分量) )來描述，也可用應(yīng)變張量場來描述，也可用應(yīng)變張量場( (六個(gè)應(yīng)變分量六個(gè)應(yīng)變分量) )來描述。來描述。 當(dāng)用位移描述時(shí)，只要位移函數(shù)連續(xù)且足夠光滑，協(xié)調(diào)當(dāng)用位移描述時(shí)，只要位移函數(shù)連續(xù)且足夠光滑，協(xié)調(diào) 方程就自動(dòng)滿足。當(dāng)用應(yīng)變描述時(shí)，六個(gè)應(yīng)變分量必須方程就自動(dòng)滿足。當(dāng)用應(yīng)變描述時(shí)，六個(gè)應(yīng)變分量必須 首先滿足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應(yīng)

36、變場才能積分幾何首先滿足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應(yīng)變場才能積分幾何 方程，得到相應(yīng)的位移場。方程，得到相應(yīng)的位移場。 1.3.3 主應(yīng)變和主方向主應(yīng)變和主方向 和討論應(yīng)力狀態(tài)相類似。我們把剪應(yīng)變等于零的面叫做主和討論應(yīng)力狀態(tài)相類似。我們把剪應(yīng)變等于零的面叫做主 平面，主平面的法線方向叫做主應(yīng)變方向，主平面上的正應(yīng)平面，主平面的法線方向叫做主應(yīng)變方向，主平面上的正應(yīng) 變就是主應(yīng)變。變就是主應(yīng)變。 設(shè)設(shè) 為沿應(yīng)變張量主方向的單位矢量，為沿應(yīng)變張量主方向的單位矢量， 為相應(yīng)的主應(yīng)變，為相應(yīng)的主應(yīng)變， 則按照張量主方向的定義有則按照張量主方向的定義有 v v vv v 0 jijvij v 令上式的系數(shù)

37、行列式為零，就得到確定主應(yīng)變的特征方程令上式的系數(shù)行列式為零，就得到確定主應(yīng)變的特征方程 0 32 2 1 3 III vvv 3322111 ii I其中 )()( 2 1 2 31 2 23 2 121133332222112 ijijjjii I )(2 2 1233 2 3122 2 23113123123322113213 kjiijk eI 分別稱為第一、第二和第三應(yīng)變不變量 沿主方向取出邊長為沿主方向取出邊長為 、 、 的正六面體，變形后其的正六面體，變形后其 相對(duì)體積變化為相對(duì)體積變化為( (略去高階小量略去高階小量) ) 1 dx 2 dx 3 dx dV dVVd v 32

38、1 321333222111 111 dxdxdx dxdxdxdxdxdx 1332211 I 因此第一應(yīng)變不變量表示每單位體積變形后的體積變化，因此第一應(yīng)變不變量表示每單位體積變形后的體積變化， 又稱體積應(yīng)變。又稱體積應(yīng)變。 和應(yīng)力張量一樣，應(yīng)變張量也可分解為球形應(yīng)變張量和應(yīng) 變偏量張量之和 I kk 3 1 ijijkkij 3 1 其中 m m m ijmijkk 00 00 00 3 1 稱為球形應(yīng)變張量 則 m m m ijkkijij 333231 232221 131211 3 1 稱為應(yīng)變偏量張量稱為應(yīng)變偏量張量 容易看出 0 ii 即應(yīng)變偏量張量不產(chǎn)生體積變化，僅表示形狀畸

39、變即應(yīng)變偏量張量不產(chǎn)生體積變化，僅表示形狀畸變 1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 1.4.1 廣義虎克定律廣義虎克定律 1.4.2 彈性應(yīng)變能函數(shù)彈性應(yīng)變能函數(shù) 1.4.3 屈服函數(shù)和屈服面屈服函數(shù)和屈服面 1.4.4 兩個(gè)常用屈服條件兩個(gè)常用屈服條件 1.4.5 增量理論增量理論 1.4.6 全量理論全量理論 1.4.1廣義虎克定律廣義虎克定律 E xx xx 熟悉 E vv xx xxzzyy 沿沿x x方向單軸拉伸方向單軸拉伸： 同理，沿同理，沿y y或或z z方向單軸拉伸方向單軸拉伸： E yy yy E v yy xxzz E zz zz E v zz yyxx 三個(gè)方向同時(shí)受力三個(gè)

40、方向同時(shí)受力 yyxxzzzz zzxxyyyy zzyyxxxx v E v E v E 1 1 1 三向拉伸三向拉伸 詳細(xì)證明見教材。 容易證明：在純剪切狀態(tài)下，我們 E v 12 同時(shí)受到軸向拉伸和剪切作用時(shí)同時(shí)受到軸向拉伸和剪切作用時(shí) kkzyx ijijij E v E v E v E v 其中， I 1 1 E v e 21 321 v E KKe kkm 213 , 3 1 v E GG 12 ,2S 體積應(yīng)變：體積應(yīng)變： 平均應(yīng)力：平均應(yīng)力： 應(yīng)力偏量張量與應(yīng)變偏量張量：應(yīng)力偏量張量與應(yīng)變偏量張量： 平面問題平面問題 0 zzyzx 1 xxy E 1 yyx E yxz E

41、11 2 xyxyxy GE 0 yzxz 平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)力問題： 薄板，在厚度方薄板，在厚度方 向無載荷向無載荷 平面應(yīng)平面應(yīng) 力的本力的本 構(gòu)關(guān)系構(gòu)關(guān)系 0w 平面應(yīng)變問題：長平面應(yīng)變問題：長 柱體，在柱體，在z方向位方向位 移受到限制移受到限制 2 1 11 xxy E 2 1 11 yyx E 1 2 xyxy G 平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系 可以寫成統(tǒng)一形可以寫成統(tǒng)一形 式！如何寫？式！如何寫？ 1.4.2 彈性應(yīng)變能函數(shù)彈性應(yīng)變能函數(shù) 當(dāng)外力緩慢地當(dāng)外力緩慢地( (不致引起不致引起 物體產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)物體產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)) )加到加到 物體上時(shí)物體上時(shí), ,便可忽略系統(tǒng)便

42、可忽略系統(tǒng) 的動(dòng)能的動(dòng)能, ,同時(shí)也略去其他同時(shí)也略去其他 能量能量( (如熱能等如熱能等) )的消耗的消耗, , 則外力勢能的變化就全部則外力勢能的變化就全部 轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能( (一種勢能一種勢能) ) 儲(chǔ)存于物體的內(nèi)部。儲(chǔ)存于物體的內(nèi)部。 設(shè)材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性的，各表面上的應(yīng)力合力對(duì) 微元所做的外力功 1111 00 111111132111 dVddxddxdxdA 應(yīng)變能密度函數(shù)應(yīng)變能密度函數(shù) 由應(yīng)變能密度函數(shù)定義得：由應(yīng)變能密度函數(shù)定義得： 則則 其中，其中， 和和 分別為物體分別為物體 變形前后的應(yīng)變能密度。取變形前的初始狀態(tài)為變形前后的應(yīng)變能密度。取變形前的初始

43、狀態(tài)為 參考狀態(tài)，因而參考狀態(tài)，因而 則則 ij ijijij d dV dA W 0 dWd W d ij ij ijij )0()( 0 WWdW dV dA ij ij )0(W ij W 0)0(W 意義：意義：(1)變形過程中物體內(nèi)儲(chǔ)存起來的應(yīng)變能變形過程中物體內(nèi)儲(chǔ)存起來的應(yīng)變能 密度等于單位體積的外力功密度等于單位體積的外力功；(2)變形后物體內(nèi)變形后物體內(nèi) 的應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀的應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀 態(tài)有關(guān)，而與物體達(dá)到最終變形狀態(tài)前的變形歷態(tài)有關(guān)，而與物體達(dá)到最終變形狀態(tài)前的變形歷 史無關(guān)。史無關(guān)。 體變能和畸變能體變能和畸變能 由于體

44、積變化所儲(chǔ)存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能由于體積變化所儲(chǔ)存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能 ( (簡稱為簡稱為體變能體變能) )為：為： 22 2 18 1 18 1 22 3 KKK u zyx m mmV v E e K m 213 2 2 1 2 1 J G su ijijf 2 2 1 2 1 18 1 J G I K uuW fV 其中，彈性體積膨脹系數(shù)：其中，彈性體積膨脹系數(shù)： 由于形狀變化所儲(chǔ)存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能由于形狀變化所儲(chǔ)存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能( (簡稱簡稱 為畸變能為畸變能) )為：為： 總應(yīng)變能為：總應(yīng)變能為： 1.4.3 屈服函數(shù)和屈服曲面屈服函數(shù)和屈服曲面 簡單應(yīng)力狀態(tài)下簡單應(yīng)力狀態(tài)

45、下, ,屈服應(yīng)力可由簡單拉伸屈服應(yīng)力可由簡單拉伸( (壓縮壓縮) ) 實(shí)驗(yàn)圖明顯看出實(shí)驗(yàn)圖明顯看出 , ,較復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服條件較復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服條件, , 一般地要由實(shí)驗(yàn)確定一般地要由實(shí)驗(yàn)確定. .但對(duì)于理論分析來說但對(duì)于理論分析來說, , 則要?jiǎng)t要 求在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上給出屈服條件的解析表達(dá)式。求在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上給出屈服條件的解析表達(dá)式。 0 ij f 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的初始彈性狀態(tài)的界限稱為屈服條在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的初始彈性狀態(tài)的界限稱為屈服條 件。一般說來它可以是應(yīng)力，應(yīng)變，時(shí)間，溫度等的件。一般說來它可以是應(yīng)力，應(yīng)變，時(shí)間，溫度等的 函數(shù)，可以寫成函數(shù)，可以寫成 0,Tt ijij 屈服

46、屈服 函數(shù)函數(shù) 在六維在六維 應(yīng)力空應(yīng)力空 間中間中屈屈 服曲面服曲面 屈服函數(shù)其它形式的寫法屈服函數(shù)其它形式的寫法 0, 321 f 0 ij Sf 各向同性材料，與各向同性材料，與 坐標(biāo)的選取無關(guān)坐標(biāo)的選取無關(guān) 靜水應(yīng)靜水應(yīng) 力無關(guān)力無關(guān) 平面平面在主應(yīng)力空間中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由在主應(yīng)力空間中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由 向量向量 來描述來描述。設(shè)以。設(shè)以 表示主應(yīng)表示主應(yīng) 力空間中三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位向量，力空間中三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位向量， 則則 向量是主應(yīng)力偏向量，向量是主應(yīng)力偏向量， 向量與主向量與主 應(yīng)力軸的夾角相等，正交于過原點(diǎn)的平應(yīng)力軸的夾角相等，正交于過原點(diǎn)的平 面面 OPkji,

47、 ONOQ kjiksjsis OP 321322 321 kji OQ ON 0 321 平面 所以應(yīng)力偏向量 總是在平面內(nèi)，因而只要用兩個(gè)參數(shù)就可以確定它。 OQ 0 321 sss 平面 m 321 : 屈服曲面屈服曲面 則如果點(diǎn)則如果點(diǎn) 是屈服點(diǎn)，是屈服點(diǎn)， 那么直線那么直線 上所有的點(diǎn)上所有的點(diǎn) 必然都是屈服點(diǎn)。必然都是屈服點(diǎn)。 在主應(yīng)力空間內(nèi)，屈服在主應(yīng)力空間內(nèi)，屈服 面是一個(gè)以直線面是一個(gè)以直線 為軸為軸 線且母線平行于直線線且母線平行于直線 ( (垂直于平面垂直于平面 ) )的正圓的正圓 柱面。柱面。 P 重要重要 結(jié)論！結(jié)論！ 屈服屈服 曲面曲面 屈服曲線屈服曲線 2 o N

48、 N L ML P M P 屈服曲面在平面屈服曲面在平面 上的投影為圓。上的投影為圓。 屈服曲線的重要特性：屈服曲線的重要特性： 屈服曲線是一條封閉曲線，坐標(biāo)原點(diǎn)被屈服曲線是一條封閉曲線，坐標(biāo)原點(diǎn)被 原點(diǎn)包圍在內(nèi)，屈服曲線內(nèi)部是彈性應(yīng)原點(diǎn)包圍在內(nèi)，屈服曲線內(nèi)部是彈性應(yīng) 力狀態(tài)，外部則是塑性應(yīng)力狀態(tài)。力狀態(tài)，外部則是塑性應(yīng)力狀態(tài)。 屈服曲線與任意一條從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的屈服曲線與任意一條從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的 向徑必然相交一次，而且僅相交一次。向徑必然相交一次，而且僅相交一次。 屈服曲線對(duì)于三個(gè)坐標(biāo)軸及其垂線均對(duì)稱。屈服曲線有六條對(duì)稱線，這屈服曲線對(duì)于三個(gè)坐標(biāo)軸及其垂線均對(duì)稱。屈服曲線有六條對(duì)稱線，這 六條直線把屈服曲線分割成十二個(gè)成六條直線把屈服曲線分割成十二個(gè)成 角的形狀相同的扇形；只要求角的形狀相同的扇形；只要求 出這十二個(gè)中的任何一個(gè)，就可根據(jù)對(duì)稱性作出整個(gè)屈服曲線。出這十二個(gè)中的任何一個(gè)，就可根據(jù)對(duì)稱性作出整個(gè)屈服曲線。 30 1.4.4 常用屈服條件常用屈服條件 1.1. TrescaTresca屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則（最大剪應(yīng)力屈服條件）（最大剪應(yīng)力屈服條件） 當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值 時(shí)，材料發(fā)時(shí)，材料發(fā) 生屈服，即：生屈服，即： 即以上三式中至少有一個(gè)等式成立，材料才開即以上三式