第8章回歸分析預測法

1、1 Market survey , 0( 0 2 2 ， 即服從正態(tài)分布， 的隨機變量。方差為是一個均值為 隨機誤差，其中 iNe e eyebxay i i iiiii (2)(2) 其中：其中：(2)中：中： a 和和b回歸系數(shù)回歸系數(shù) ；a截距截距;b斜率。斜率。 13 v由一組觀察值畫出散點圖，如圖所示，這樣由一組觀察值畫出散點圖，如圖所示，這樣 的直線可畫出很多條，而的直線可畫出很多條，而回歸直線只有一條回歸直線只有一條， 因為只有回歸直線最接近實際觀察值。要擬因為只有回歸直線最接近實際觀察值。要擬 合一條最理想的回歸直線，就要確定合一條最理想的回歸直線，就要確定a和和b。 確定確定

2、a和和b的方法有多種，其中應用最多的是的方法有多種，其中應用最多的是 14 i y 回歸直線回歸直線 ),( nn yx ),( 11 yx ),( 22 yx ),( ii yx 15 0)(2 b Q 0)(2 a Q 3 min)()( 1 1 2 111 2 i n i ii n i ii n i ii n i ii n i i xbxay bxay bxayyyeQ ）求極值，有：即對（ （3） （4） （5） 設任意一個回歸值設任意一個回歸值 實際觀察實際觀察y y 之間存在的誤差之間存在的誤差 為為e e ，令，令 則有則有: : min 1 2 n i i eQ 16 2 11

3、1 111 0 5 bna 0 4 iiii n i ii n i i n i ii ii n i i n i n i i xbxayx bxxaxyx xy bxay ）得：由（ ）得：由（ （6） （7） 17 因變量的平均值。 自變量的平均值；其中： n y n x x xnx yxnyx xxn yxyxn b xby n x b n y a i i i ii ii iiii ii y )( 2 2 2 2 （8） min 1 2 n i i eQ 18 19 1、離差平方和的分解、離差平方和的分解 v總變差：總變差： 回余 QQQQ yyyy yyL iii iyy 21 22 2

4、稱：稱：Q1剩余變差，或殘差平方和剩余變差，或殘差平方和 Q2為回歸變差為回歸變差 20 回歸方程回歸方程F顯著性顯著性檢驗；檢驗； 相關系數(shù)相關系數(shù)r顯著性顯著性檢驗。檢驗。 檢驗方程中：檢驗方程中：y=a+bxy=a+bx 中的中的a,ba,b是否能夠描述收是否能夠描述收 集到的數(shù)據(jù)反映的規(guī)律，集到的數(shù)據(jù)反映的規(guī)律， ）（ 其表達式為： 余 回 1/ / mnS mS F 21 v將通過上式計算將通過上式計算F的值，與的值，與F分布表查到的分布表查到的Fc 臨界值比較，從而判斷回歸方程是否具有顯臨界值比較，從而判斷回歸方程是否具有顯 著性著性。 則回歸模型與則回歸模型與 實際直線方程擬和程

5、度不好，實際直線方程擬和程度不好，x和和y之間的變之間的變 化不符合實際直線的變化，預測模型無效?；环蠈嶋H直線的變化，預測模型無效。 22 檢驗相關系數(shù)檢驗相關系數(shù)r r，反映自變量，反映自變量x x與因變量與因變量y y之間之間 的線性相關關系的強弱程度。其計算方法為：的線性相關關系的強弱程度。其計算方法為： 2 2 2 2 2 2 2 i 2 )( )( 11 10 )( )( 1 )( y 1 yy yy S S S S r rr yy yy yy y S S S S r i ii i ii i 總 余 總 回 總 余 總 回 計算式為：，則可見， ）（ （1） （2） 23 1 )

6、( 1-m-n 2 mn yyS S ii y 余 %/15yS y （12） （13） 精精確確度度令令人人滿滿意意。）成成立立時時，回回歸歸方方程程的的當當（13 24 在一元線性回歸模型中，是指對于自變量在一元線性回歸模型中，是指對于自變量x的一個給定的一個給定 值值x x，=a+bx，就可以得到一個，就可以得到一個 ，稱為點估計。，稱為點估計。 回歸模型通過檢驗合格之后，則該模型可用來預測了回歸模型通過檢驗合格之后，則該模型可用來預測了, 但通常指出預測區(qū)間，這個區(qū)間又稱為但通常指出預測區(qū)間，這個區(qū)間又稱為。 對于觀察數(shù)據(jù)量對于觀察數(shù)據(jù)量n 30的小樣本而言，因變量的小樣本而言，因變量

7、y的估計的估計 值值 的的 -， + 25 2 2 0 )1( , 2/ )( )(1 1t xx xx n S i ymn 其中： 分布的臨界值；的 顯著水平，在式中： t1)-m-(n 2/t )1( , 2/ mn 26 年份年份1988198919901991199219931994 結婚人數(shù)結婚人數(shù) X(百對百對) 47404355667270 銷售額銷售額y (百萬元百萬元) 40353744555856 某地區(qū)某地區(qū)19881994年結婚人數(shù)與某家電產(chǎn)品銷年結婚人數(shù)與某家電產(chǎn)品銷 售額如表所示，假定售額如表所示，假定1995年該地區(qū)的結婚人年該地區(qū)的結婚人 數(shù)將達數(shù)將達74百對，

8、試預測同時期年該家電產(chǎn)品百對，試預測同時期年該家電產(chǎn)品 的銷售額。的銷售額。 表表 27 。如圖如圖 由圖可知：結婚人數(shù)與由圖可知：結婚人數(shù)與 家電產(chǎn)品的家電產(chǎn)品的 銷售量呈線性關系，故可用一元線銷售量呈線性關系，故可用一元線 性回歸模型進行預測。性回歸模型進行預測。 2 2 i ii 2 i 2 i iiii ii xnx yxnyx xxn yxyxn b xby n x b n y a )( 并將有關計算并將有關計算a,b的數(shù)據(jù)填入表中的數(shù)據(jù)填入表中 結婚人數(shù)結婚人數(shù) 家電產(chǎn)品的銷售量家電產(chǎn)品的銷售量 28 年份年份結婚人數(shù)結婚人數(shù) Xi(百對百對) 銷售額銷售額 Yi(百萬元百萬元)

9、xyxy 19884740220916001880 19894035160012251400 19904337184913691591 19915544302519362420 19926655435630253630 19937258518433644176 19947056490031363920 n=7=393=325=23123=15655=19017 調(diào)查資料數(shù)據(jù)和回歸計算數(shù)據(jù)表調(diào)查資料數(shù)據(jù)和回歸計算數(shù)據(jù)表 29 由表中的數(shù)據(jù)計算由表中的數(shù)據(jù)計算a,b 445 7 393730325 n x b n y a 730 393231237 325393190177 xxn yxyxn b

10、 ii 2 2 i 2 i iiii . . . )( 則所求的一元線性回歸預測方程為：則所求的一元線性回歸預測方程為： =a+bx=5.44+0.73x b=0.73的經(jīng)濟含義是該地區(qū)結婚人數(shù)每增加的經(jīng)濟含義是該地區(qū)結婚人數(shù)每增加1 百對，該家電銷售額將百對，該家電銷售額將0.73百萬元。百萬元。 30 3、模型檢驗、模型檢驗 v(1)方差分析方差分析 57.770 7 325393 19017 n yx yxS ii iixy 86.1058 7 393 23123 )( 2 2 2 n y xS i ixx 71.565 7 325 11565 )( )( 2 2 2 2 n y yyy

11、SS i iiyy總 31 S回 回=SXY/Sxx=770.57/1058.86=560.77,m=1 S余 余=Syy-SXY/SXX=565.71-770.571058.86=4.94 n-m-1=7-1-1=5, S總 總=Syy=565.71， ，n-m-1=7-1=6, (2)F檢驗檢驗 58.567 5/94. 4 7 .560 1/ mnS mS F 余 回 則： 32 v當當=0.05, vFc(,m,n-m-1)=Fc(0.05,1,5)=6.61 vF=567.58Fc=6.61 v回歸模型具有顯著性水平，即回歸模型具有顯著性水平，即x和和y高度相高度相 關，模型有效。關

12、，模型有效。 33 (3)相關系數(shù)相關系數(shù)r顯著性檢驗顯著性檢驗 立模型有效。具有高度線性相關，建與說明 總 回 yx rmnr S S c 9956. 07545. 0)51,05. 0( 9956. 01r 34 994. 0 117 94. 4 1-m-n 余 S S y 4 4、預測模型點估計及置信區(qū)間、預測模型點估計及置信區(qū)間 1995年的結婚人數(shù)x =74(百對)時,在同期內(nèi)相 應的家電產(chǎn)品銷售額為: =5.44+0.7374=59.46(百萬元) 5 5、計算標準誤差、計算標準誤差 35 v當置信度為當置信度為95.4%時，時， 預測值預測值y0的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為: v0-

13、2Sy，0+2Sy =59.46-20.994，59.46+20.994 =57.47，61.45 36 在進行市場預測時，常常會遇到變量并非是在進行市場預測時，常常會遇到變量并非是 兩者之間的關系，而是幾個因素共同發(fā)生的作兩者之間的關系，而是幾個因素共同發(fā)生的作 用，用一元線性回歸分析法就不能進行預測了，用，用一元線性回歸分析法就不能進行預測了， 這時要用多元線性回歸方程進行預測。這時要用多元線性回歸方程進行預測。 影響因變量的因素有兩個或兩個以上，且自影響因變量的因素有兩個或兩個以上，且自 變量與因變量的分布呈線性趨勢的回歸，用這變量與因變量的分布呈線性趨勢的回歸，用這 種回歸分析進行預測

14、的方法稱為多元線性回歸種回歸分析進行預測的方法稱為多元線性回歸 預測。預測。 37 v一般形式：一般形式：=a+b X +b X +b X v其中：其中： X ，X ，X 為自變量，為自變量， v a, b , b , , b 為回歸方程的參數(shù)為回歸方程的參數(shù) v存在兩個自變量條件下的多元線性回歸方程存在兩個自變量條件下的多元線性回歸方程 稱為二元線性回歸方程，它是多元回歸方程稱為二元線性回歸方程，它是多元回歸方程 的特例。的特例。 38 多元回歸方程（以二元為例）線性回歸預測法多元回歸方程（以二元為例）線性回歸預測法 的步驟如下：的步驟如下： =a+b X +b X +b X（1） 2 2

15、221122 212 1 2 111 2211 xbxxbxnayx xxbxbxnayx xbxbnay 39 v將相關數(shù)據(jù)代入上式方程組，得到參數(shù)將相關數(shù)據(jù)代入上式方程組，得到參數(shù)a, b , b , 則多元回歸方程為：則多元回歸方程為： v =a+b X +b X （2） 40 i i ii ii yny yxbyxbyay R yy yy R 2 221 2 2 2 1 )( )( 1 簡捷公式為： 當給定一個當給定一個，并根據(jù)自由度，并根據(jù)自由度=n-m-1,=n-m-1,就可查出就可查出r rc c判斷判斷 了了 檢驗每一個自變量與因變量在指定的顯著水平上是否檢驗每一個自變量與因變

16、量在指定的顯著水平上是否 存在線性相關關系。存在線性相關關系。 例題（略）。例題（略）。 41 以上學到得的都是線性的，但在實際應用中，碰到的以上學到得的都是線性的，但在實際應用中，碰到的 問題經(jīng)常是非線性的，有些可將其線性化，有如下形問題經(jīng)常是非線性的，有些可將其線性化，有如下形 式：式： (1) (1) 令令x=sintx=sint， 則（則（1 1）可變?yōu)椋海┛勺優(yōu)椋簓=a+x (2)y=a+x (2) 即（即（1 1）可轉化為線性方程。）可轉化為線性方程。 42 BtAy lnbBlna,A,ylny lnblnayln aby t t令 （3） （4） 43 BtAy lntBlna

17、,A,ylny blntlnayln y 則有： 令： b at b 44 bxay xyy 則有： 令 t b , t b ay bxay lnt,x,yy blntay 則有： 令 45 應用應用2 某店在某店在19962005年的商品流通費用率和商品年的商品流通費用率和商品 零售額的具體情況見表零售額的具體情況見表8-5，若，若2006年商品年商品 銷售額銷售額36.33萬元，請預測萬元，請預測2006年的商品流年的商品流 通費用率。通費用率。 46 年份年份1996199719981999200020012002200320042005 Yi(%)7.06.25.85.35.04.64

18、.54.44.24.051.0 Xi(萬元萬元)10.211.713.015.016.519.022.025.028.532 解解題步驟：題步驟： （1）散點圖）散點圖 （2）確定預測模型）確定預測模型 bxay xyy 則有： 令 t b , t b ay 47 可得預測模型可得預測模型: =2.5611+42.8725/x 5611.2 10 5922.0 8726.42 10 0.51 8725.42 )5822.0(03959.010 0.515922.02140.310 )( 2 2 2 n x b n y a xxn yxyxn b ii ii iiii 48 當x=36.33時，

19、 2006=2.5611+42.8726/x=3.74% 9898.0 02.5158.268105922.03959.010 0.515922.02140.310 )( )( r 2 2 2 2 2 iiii iiii yynxxn yxyxn 49 v則預測模型為：則預測模型為： =2.2256+7.621x= 2.2256+7.621/x v(2)對回歸預測模型的統(tǒng)計檢驗對回歸預測模型的統(tǒng)計檢驗 20 9 )6 .30( 04.124 )( 32224.0 9 )387.1 ( 53599.0 )( 2 2 2 2 2 2 n y yS n x xS i iyy i ixx 50 2857. 1 32224. 0 )45571. 2( 20 7143