莫比烏斯帶只有一面的魔環(huán)

1、莫比烏斯帶：只有一面的魔環(huán) 小時(shí)候手工課，經(jīng)常有要把紙裁成帶然后再粘成環(huán)的活 要干。這個(gè)任務(wù)即使對(duì)小朋友來(lái)說(shuō)也是很簡(jiǎn)單的。但有時(shí)總 會(huì)有些馬大哈會(huì)犯糊涂，在把紙帶兩端粘成環(huán)之前不小心翻 了個(gè)面，紙環(huán)就變得歪歪斜斜的了。 這也不是什么大事，撕了重粘就好了。但是，既然紙環(huán)已經(jīng) 變成這樣了，何妨把玩一番呢？要知道，這就是鼎鼎有名的 莫比烏斯帶。 很多讀者應(yīng)該都知道莫比烏斯帶的特別之處：它只有一個(gè) 面，也只有一條邊。在數(shù)學(xué)上，這樣的曲面有一個(gè)特別的名 字：?jiǎn)蝹?cè)曲面。怎么證明它只有一個(gè)面呢？很簡(jiǎn)單，我們用 紅筆在上面沿著它的走向畫(huà)一條線（不跨越邊沿） ，在筆回 到起點(diǎn)的時(shí)候，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)紅筆已經(jīng)涂過(guò)了紙環(huán)

2、的所有面。 如圖： 這就可以很好說(shuō)明莫比烏斯帶只有一個(gè)面了。如果我們?cè)谄胀ǖ募埈h(huán)上面做同樣的操作的話，當(dāng)筆回到起 點(diǎn)時(shí)容易知道還有一面沒(méi)有涂過(guò)，所以普通紙環(huán)不是單側(cè)曲 面，實(shí)際上每個(gè)人都知道它有兩個(gè)側(cè)面。如果我們沿著這條紅線把環(huán)剪開(kāi)， 會(huì)得到什么呢？相信很多朋友都知道了，我也就不賣(mài)關(guān)子了：這個(gè)紙環(huán)會(huì)被 剪成一個(gè)中間旋轉(zhuǎn)了兩個(gè)半圈的大紙環(huán)：但是，可能沒(méi)有多少人留意到，經(jīng)過(guò)一番擺弄，這個(gè)紙環(huán)可以變成一個(gè)兩層的“莫比烏斯帶”。之所以要加引號(hào)，是因 為這個(gè)畢竟也是雙側(cè)曲面，而不像真正的莫比烏斯帶那樣是 單側(cè)曲面。要做到同樣的效果，我們也可以用兩層紙帶用類似做莫比烏 斯帶的方法來(lái)粘貼， 只不過(guò)兩層紙要分

3、別粘貼而已。好了，回到那個(gè)剪了一次的紙環(huán)那里去。 如果我們?cè)偌粢淮危?會(huì)發(fā)生什么事情呢？現(xiàn)在這個(gè)紙環(huán)已經(jīng)是不是單側(cè)曲面了， 所以剪開(kāi)以后應(yīng)該至少出現(xiàn)兩個(gè)環(huán)。問(wèn)題是，那會(huì)是怎么樣 的兩個(gè)環(huán)呢？ 好了，結(jié)果出來(lái)了，是兩個(gè)和剛才一樣的紙環(huán)，不過(guò)這兩個(gè) 紙環(huán)是套在一起的。如果我們擺弄一下，能把它們弄成剛才沒(méi)有開(kāi)剪之前的大紙 環(huán)的一個(gè)雙層版本。再擺弄一下，又能把它們弄成一個(gè)四層的“莫比烏斯帶”?？梢宰C明，如果我們這樣不停的剪下去，每次剪出來(lái)的都是 一樣的紙環(huán)（中間有兩圈旋轉(zhuǎn)的） ，而且都套在一起，還能 弄成一個(gè)多層的“莫比烏斯帶”。一個(gè)不大嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明應(yīng)該 是不復(fù)雜的。 （提示：將每次剪出來(lái)的都套成多層“

4、莫比烏 斯帶”，然后剪開(kāi)就成了多層的兩個(gè)半圈旋轉(zhuǎn)大紙環(huán)，又能 套成多層的“莫比烏斯帶”）那么，這東西有什么用呢？首先，這東西既然是數(shù)學(xué)家做出來(lái)的，肯定是有理論上的意 義的。事實(shí)上，這是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)單側(cè)曲面。在積分理論發(fā)展的過(guò)程中，由于曲面通常有兩側(cè)，所以人們要給曲面定個(gè)方向才能進(jìn)行積分。但是，當(dāng)時(shí)還沒(méi)有人知道是否存在這樣的曲面，它只有一側(cè)從而無(wú)法在它上面確定一 個(gè)積分的方向。而莫比烏斯帶正是這樣的一個(gè)單側(cè)曲面，它只有一個(gè)側(cè)面從 而無(wú)法定向。所以這類曲面又有一個(gè)名字叫“不可定向曲 面”。由于莫比烏斯帶只有一個(gè)面，這個(gè)面的長(zhǎng)度自然就是普通紙 環(huán)一面長(zhǎng)度的兩倍了。有人想到將這個(gè)特性用到傳送皮帶

5、 上，這樣的話就可以把磨損分?jǐn)偟礁嗟牡胤?，從而提高?帶的壽命。這個(gè)想法還獲得了美國(guó)的專利。利用莫比烏斯帶的想法獲得的專利還不止這一個(gè)。還記得那 個(gè)兩層“莫比烏斯帶”嗎？不記得也沒(méi)有關(guān)系， 看下圖：如果我們把紙帶想像成金屬帶，讓電流由其中一個(gè)夾子流入而從另一個(gè)夾子流出的話，在紙帶表面的電流有兩個(gè)可能的流動(dòng)方向，而這兩個(gè)方向的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)恰好互相抵消。也就是說(shuō)，電流在這個(gè)裝置流動(dòng)的時(shí)候不會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，所以也不會(huì)有電池感應(yīng)的現(xiàn)象發(fā)生。這就是一個(gè)無(wú)電感電阻。這種電阻就叫默比烏斯電阻。莫比烏斯帶在藝術(shù)和文化作品中也經(jīng)常被引用，作為“無(wú)限 循環(huán)”的一個(gè)象征。國(guó)際通用的循環(huán)再造標(biāo)志就是一個(gè)綠色 的、擺放成三角形的莫比烏斯帶。在哆啦 A 夢(mèng)（小叮當(dāng)） 漫畫(huà)中，就有一個(gè)形狀是莫比烏斯帶的道具，只要把它放在 門(mén)把手上，里邊的人開(kāi)門(mén)就會(huì)回到同一個(gè)房間里去。如果我 們看科學(xué)館門(mén)前的環(huán)狀雕塑，多半也利用了類似莫比烏斯帶 的性質(zhì)，有空的話經(jīng)過(guò)這些雕塑可以數(shù)一下這些環(huán)有多少個(gè) 面多少條邊沿，我估計(jì)絕大部分結(jié)果都是1。而至于埃舍爾的例子就更是眾人皆知，也不用我饒舌了。實(shí)驗(yàn)室中也有可能產(chǎn)生莫比烏斯帶形狀的粒子。前不久，一 群科學(xué)家在 JournalofChemicalPhysics 上發(fā)表了一篇論文， 其中預(yù)言了一種莫比烏斯帶形狀的碳單質(zhì)（準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)