概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙大版)第二章課件完整版

1、 在上一章中，我們們把隨隨機(jī)事件看作樣樣本空間間 的子集；這這一章里我們將們將引入隨隨機(jī)變變量的概概念， 用隨隨機(jī)變變量的取值來值來描述隨隨機(jī)事件。 一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量 引例：引例： E1: 將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。 e1=（正，正）（正，正） 2 e2=（正，反）（正，反） 1 e3=（反，正（反，正) 1 e4=（反，反）（反，反） 0 令令X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)”，則則X是一個隨著試是一個隨著試 驗(yàn)結(jié)果不同而取值不同的量，其對應(yīng)關(guān)系如下：驗(yàn)結(jié)果不同而取值不同的量，其對應(yīng)關(guān)系如下： 由上可知，對每一個樣本點(diǎn)由上可

2、知，對每一個樣本點(diǎn)e，都有一個，都有一個X的取值的取值X(e) 基本結(jié)果基本結(jié)果(e) 正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)X(e) 與之對應(yīng)。與之對應(yīng)。我們把我們把X稱為定義在這個試驗(yàn)上的隨機(jī)變量。稱為定義在這個試驗(yàn)上的隨機(jī)變量。 E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). 令令X=“正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)” E3：某產(chǎn)品的使用壽命：某產(chǎn)品的使用壽命X,X=0. 反面反面 正面正面 令令 , 0 , 1 X E4：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的 情況情況. 一般地，對每一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們都可以引入一般地，對每一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們

3、都可以引入 一個變量一個變量X，使得試驗(yàn)的每一個樣本點(diǎn)都有一個，使得試驗(yàn)的每一個樣本點(diǎn)都有一個X 的取值的取值X(e)與之對應(yīng)，這樣與之對應(yīng)，這樣就得到隨機(jī)變量的概念就得到隨機(jī)變量的概念. 設(shè)設(shè)E是一個隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為是一個隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為S=e，在，在E 上引入一個變量上引入一個變量X，如果對，如果對S中每一個樣本點(diǎn)中每一個樣本點(diǎn)e，都，都 有有一個一個X的取值的取值X(e)與之對應(yīng)，我們就與之對應(yīng)，我們就稱稱X為定義為定義 在隨機(jī)試驗(yàn)在隨機(jī)試驗(yàn)E的一個隨機(jī)變量的一個隨機(jī)變量. （2）引入隨機(jī)變量的目的：）引入隨機(jī)變量的目的： 用隨機(jī)變量的取值范圍表示隨機(jī)事件，利用高等數(shù)用隨機(jī)變

4、量的取值范圍表示隨機(jī)事件，利用高等數(shù) 學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。 事件事件“正面至少出現(xiàn)一次正面至少出現(xiàn)一次”可表示為可表示為:“X1 1”； 2、 隨機(jī)變量的表示：隨機(jī)變量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示; 例如：上例中，事件例如：上例中，事件“正面出現(xiàn)兩次正面出現(xiàn)兩次”可表示為可表示為: “0X2”表示事件表示事件“正面至少出現(xiàn)一次正面至少出現(xiàn)一次”。 “X=2” ； 例如：上例中例如：上例中P(X=2)=1/4； P(X)=3/4； P(0X 2)=3/4； 隨機(jī)變量的取值具有一定的概率隨機(jī)變量的取值具有一定的概率： (4)隨機(jī)變量的類型：隨機(jī)變量的類型：

5、 這兩種類型的隨機(jī)變量因其取值方式的不同這兩種類型的隨機(jī)變量因其取值方式的不同 各有特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時注意它們各自的特點(diǎn)及描述方各有特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時注意它們各自的特點(diǎn)及描述方 式的不同。式的不同。 具有隨機(jī)性具有隨機(jī)性:在一次試驗(yàn)之前不知道它取哪一個在一次試驗(yàn)之前不知道它取哪一個 值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。 隨機(jī)變量的特點(diǎn)隨機(jī)變量的特點(diǎn): 離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量。 例例1（用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件）用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件）一報童一報童 賣報，每份報賣報，每份報0.50元元, 其成本為其成本為0.30元。元。 報館每天給報館每天給 報童

6、報童1000份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。 解：分析解：分析 報童賠錢報童賠錢 賣出報紙的錢不夠成本賣出報紙的錢不夠成本 當(dāng)當(dāng) 0.50 X1000 0.3時，報童賠錢時，報童賠錢. 故故報童賠錢報童賠錢 X 600 令令X=“報童每天賣出的報紙份數(shù)報童每天賣出的報紙份數(shù)” 試將試將“報童賠錢報童賠錢”這一事件用這一事件用X的取值表的取值表 示出來。示出來。 （1）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量X可能取哪些值？可能取哪些值？ （2）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量X取某個值的概率是多大？取某個值的概率是多大？ 3、隨機(jī)變量的概率分布、隨機(jī)變量的概率分布 引入隨機(jī)變量后引入隨機(jī)變

7、量后, 上述說法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑荷鲜稣f法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑?對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心下列兩件事情：對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心下列兩件事情： （1）試驗(yàn)會發(fā)生一些什么事件？）試驗(yàn)會發(fā)生一些什么事件？ （2）每個事件發(fā)生的概率是多大？）每個事件發(fā)生的概率是多大？ 對一個隨機(jī)變量對一個隨機(jī)變量X，若給出了以上兩條，我們，若給出了以上兩條，我們 就說給出了就說給出了隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布(也稱分布律）。也稱分布律）。 這一章我們的中心任務(wù)是學(xué)習(xí)這一章我們的中心任務(wù)是學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布. 2 離散型隨機(jī)變量及

8、其分布 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X X所有可能的取值是有限個或無所有可能的取值是有限個或無 窮可列個，則窮可列個，則稱稱X X為離散型隨機(jī)變量。為離散型隨機(jī)變量。 一、一、 離散型隨機(jī)變量的離散型隨機(jī)變量的 2.離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律的分布律 要掌握一個離散型隨機(jī)變量的分布律，必須要掌握一個離散型隨機(jī)變量的分布律，必須 且只需知道以下兩點(diǎn)：且只需知道以下兩點(diǎn)： (1) X所有可能的取值所有可能的取值: : (2)(2)X取每個值時的概率取每個值時的概率: , 3 , 2 , 1,)( , 21 kpxXP xxxX kk k 稱稱 (1) 式為式為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X

9、X的分布律的分布律. )1(, 3 , 2 , 1)( kpxXP kk 離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格 法描述。法描述。 1)1)公式法公式法: 2)2) 表格法表格法: , 3 , 2 , 1)( kpxXP kk 21k ppp xxX 21 X012 pk1/42/41/4 例例1：將一枚硬幣連擲兩次，求將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次正面出現(xiàn)的次 數(shù)數(shù)X ”的分布律。的分布律。 解：解： 在此試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有：在此試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有： e1=（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）； e3=（反，正（反，正

10、) ；e4=（反，反）。（反，反）。 于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)X ”的分布律：的分布律： 圖形表示 程序 x=0, 1, 2; pk=1/4,2/4,1/4; figure(color,w) plot(x,pk,r.,MarkerSize,31) ylim(0 0.6) xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(co

11、lor,w) plot(x,pk,r.,MarkerSize,31) hold on plot(x,pk,r-.) ylim(0 0.6) hold off xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w) bar(x,pk,0.1,r) ylim(0 0.6) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)

12、,FontSize,21); xlim(0,2.3) text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w) stem(x,pk,r.,MarkerSize,31) ylim(0 0.6) xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(

13、pk(3),FontSize,21); 離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì) 例例: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為： 1)2 , 3 , 2 , 1,0) 1 k k k p kp .10, 2 , 1, 10 )( k a kXP 試求常數(shù)試求常數(shù)a. . 11 10 1 ap k k 解：由 為常數(shù)。為常數(shù)。0,.,2 , 1 , 0, ! )( k k akXP k 例例3: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為： x k k e k x 0 ! 提提示示： 試求常數(shù)試求常數(shù)a. 000 1, ! . kk k kkk paaae kk ae 解解

14、：由由 得得， 練習(xí)練習(xí):設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為： ,3,2, 1,) 3 2 ( kbkXp k 試確定常數(shù)試確定常數(shù)b. 解：由分布律的性質(zhì)，有解：由分布律的性質(zhì)，有 11 ) 3 2 ()( k k k bkXP 12 1 3 2 3 2 bb 2 1 b 2 97. 003. 03 X所有可能的取值為：所有可能的取值為：0，1，2，3； 取到正品；取到次品令A(yù)A 97. 0)(,03. 0)( APAP則：則： )()0(AAAPXP )()1(AAAAAAAAAPXP 設(shè)有產(chǎn)品設(shè)有產(chǎn)品100件，其中件，其中3件是次品。從中有放回件是次品。從中有放回 地任取地任取

15、3件，求件，求“取得次品件數(shù)取得次品件數(shù)X ”的分布律。的分布律。 211 3 97. 003. 0 C 3 97. 0 30 3 97. 0C 3 , 2 , 1 , 0,97. 003. 0)( 3 3 kCkXP kkk 97. 003. 03 2 97. 003. 0 22 3 C 33 3 03. 0C )()2(AAAAAAAAAPXP 這個分布其實(shí)就是將要介紹二項(xiàng)分布。我們先來這個分布其實(shí)就是將要介紹二項(xiàng)分布。我們先來 看一個重要的試驗(yàn)看一個重要的試驗(yàn)伯努利（伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)。）試驗(yàn)。 3 03. 0)()3(AAAPXP (1)n(1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)

16、試驗(yàn) 1、伯努利（、伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)）試驗(yàn) 將試驗(yàn)將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n次次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互若各次試驗(yàn)的結(jié)果互 不影響不影響,則稱這則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的. (2)n重重努利試驗(yàn)努利試驗(yàn) 滿足下列條件的試驗(yàn)稱為伯努利（滿足下列條件的試驗(yàn)稱為伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)）試驗(yàn): 每次試驗(yàn)都在相同的條件下每次試驗(yàn)都在相同的條件下重復(fù)重復(fù)進(jìn)行；進(jìn)行； 每次試驗(yàn)只有每次試驗(yàn)只有兩個兩個可能的結(jié)果可能的結(jié)果:A及及 每次試驗(yàn)的結(jié)果相互每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立。獨(dú)立。 nkppCkXP knkk n ,.,2 , 1 , 0,)1()( 若用若用X表示表示n

17、重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 則則n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生k次的概率為：次的概率為： 證明：證明：在在n重貝努利試驗(yàn)中，事件重貝努利試驗(yàn)中，事件A在前在前k次出次出 現(xiàn)，而在后現(xiàn)，而在后n-k次不出現(xiàn)的概率為次不出現(xiàn)的概率為: 若滿足上述條件的試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行若滿足上述條件的試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次次,則稱這則稱這 一串試驗(yàn)為一串試驗(yàn)為n重伯努利重伯努利(Bernoulii)試驗(yàn)。試驗(yàn)。 .)(pAPA 且且 knkk n ppCkXP )1()( ., 2 , 1 , 0nk knk kn k ppAAAAAAP )1()( _ 而事件而事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)

18、生次試驗(yàn)中發(fā)生k次的方式為：次的方式為： k n C 所所以以為為二二項(xiàng)項(xiàng)展展開開式式中中的的一一項(xiàng)項(xiàng)而而 由由于于 ,)1( , 1)1()1( 0 knkk n n knk n k k n ppC ppppC :,記記作作的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為稱稱pnX ),(pnBX 用用X表示表示n重重Bernoulli試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次發(fā)生的次 數(shù)，數(shù)， ，則，則X的分布律為的分布律為: ;.,2,1 ,0 )1( nk ppCkXP knkk n 此時此時稱稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布,記為記為 XB(n,p). 將將 一枚均勻的骰子擲一枚均勻的

19、骰子擲4次，求次，求3次擲出次擲出5 點(diǎn)點(diǎn) pAP )(且且 解：解：令令A(yù)=“擲出擲出5 5點(diǎn)點(diǎn)”，點(diǎn)點(diǎn)”“擲擲不不出出5 A 6 5 )(, 6 1 )( APAP且且 ) 6 1 ,4( bX 324 5 6 5 6 1 )3( 3 3 4 CXP 程序和結(jié)果 x = 0:4; y = binopdf(x,4,1/6); figure(color,w) plot(x,y,r.,MarkerSize,31) figure(color,w) bar(x,y,0.1,r) pxequal3=y(4) pxequal3 = 0.01543209876543 例例2 2： 設(shè)有設(shè)有8080臺同類型

20、設(shè)備，各臺工作是相互臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互 獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.010.01，且一臺設(shè)，且一臺設(shè) 備的故障能有一個人處理。備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由其一是由4 4個人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)個人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2020臺；臺； 其二是由其二是由3 3個人共同維護(hù)個人共同維護(hù)8080臺。臺。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及 時維修的概率的大小。時維修的概率的大小。 1,2,3,420 i X A ii 解： 以 記“第一人維護(hù)的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺

21、數(shù)”。 以表示事件“第 人維護(hù)的臺中發(fā)生故障不能 及時維修”，則知80臺中發(fā)生故障不 按第一種方法。 能及時維修的 概率為： 12341 2P AAAAP AP X 20,0.01 ,Xb而故有： 1 0 21 k P XP Xk 1 20 20 0 10.010.990.0169 kk k k C 1234 0.0169P AAAA即有： 80 ,80,0.01 , 80 Y Yb 按第二種以 記臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)， 此時 故臺中發(fā)生故障而不能及時維修 方法。 的概率為： 3 80 80 0 410.010.990.0087 kk k k P YC 例例3 3：某人騎了自行車從學(xué)校到

22、火車站，一路 上 要經(jīng)過3個獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0p1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次紅燈的概率。 (3, )Ybp 3 3 1 ()(1), 0,1,2,3 kkk P YkC ppk 22 3 2 (2)(1)P YC pp 解：這是三重貝努利試驗(yàn) 例例4 4：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p， 0p0為一常數(shù)，為一常數(shù)，n是任意正整數(shù)。設(shè)是任意正整數(shù)。設(shè)npn=, 則對任一固定的非負(fù)整數(shù)則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有，有 考慮到直接計(jì)算上式較麻煩，當(dāng)考慮到直接計(jì)算上式較麻煩，當(dāng)n很大很大p很小時，很小

23、時， 有下列近似計(jì)算公式：有下列近似計(jì)算公式： 1、 故故證明：設(shè)證明：設(shè), n pn kn k k nnn knnn k )1()1( )1()1( ! e n nk n ）時時，（當(dāng)當(dāng)對對固固定定的的-1, knkkn n k n k n nnk knnn ppC )1()( ! )1()1( )1( ! )1( lim k e ppC k kn n k n k n n ! )1( lim k e ppC k kn n k n k n n 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X所有可能的取值為所有可能的取值為0,1,2, 而而 取每個值的概率為取每個值的概率為: .2,1 ,0, ! ke k kXP k

24、 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布(Poisson),記為記為 : 1) 泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：這兩個分布的泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：這兩個分布的 X ( ). 說明說明： 數(shù)學(xué)模型都是數(shù)學(xué)模型都是Bernoulli概型。概型。Poisson分布分布 是二項(xiàng)分布當(dāng)是二項(xiàng)分布當(dāng)n很大很大p 很小時的近似計(jì)算。很小時的近似計(jì)算。 20,0.05, 1, k n k kk n np e C ppnp k 二項(xiàng)分布與泊松分布有以下近 公 式 似： 當(dāng)時 其中 ！ 程序?qū)Ρ瘸绦驅(qū)Ρ炔此煞植寂c二項(xiàng)分布泊松分布與二項(xiàng)分布 poisspdf(k, Lambda) （a) n=20; p

25、=0.04; (b) n=8; p=0.4; 上兩圖程序代碼 figure(color,w) n=20; p=0.04; x = 0:n; y = binopdf(x,n,p); plot(x,y,r, LineWidth,3) xlim(0,n) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); hold on plot(x,z,g-., LineWidth,3) hold off legend(二項(xiàng)分 布:n=20,p=0.04,lambda=n*p=0. 8) figure(color,w) n=8; p=0.4; x = 0:n; y = binopdf(x,n,p); pl

26、ot(x,y,r, LineWidth,3) xlim(0,n) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); hold on plot(x,z,g-., LineWidth,3) hold off legend(二項(xiàng)分 布:n=8,p=0.4,lambda=n*p=3.2) 上述例上述例2的解答：的解答： 5 300 300 0 (5)0.010.99 kkk k P XC 5 0 300 300 99. 001. 0)5( k kkk CXP求求解解 3 5 0 3 ! k k e k 0.9161 查查表表 300 0.013np 3、 Poisson分布的應(yīng)用分布的應(yīng)用

27、分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k, Lambda)函數(shù)編程解上一題 n=300; p=0.01; n1=5; x = 0:n1; y = binopdf(x,n,p); binosum=sum(y) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); Poissonsum=sum(z) binosum = 0.91709643671569 Poissonsum = 0.91608205796870 分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k, Lambda)函數(shù)編程解上一題 n=300; p=0.01; n1=5; y = binocdf(n1,n

28、,p) % binosum=sum(y) lama=n*p; z=poisscdf(n1,lama) % Poissonsum=sum(z) y = 0.91709643671569 z = 0.91608205796870 X 0 1 pk 1-p p 一個只有兩個結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，都可以一個只有兩個結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，都可以 用（用（0）分布來描述。如新生嬰兒的性別，）分布來描述。如新生嬰兒的性別， 打靶中與不中等等。打靶中與不中等等。 即即X的分布律為：的分布律為： 1, 0,)1 ()( , 1),( 1 kppkXP npnBX kk 則中，若在二項(xiàng)分布 則稱則稱X服從（服從（0 ）分布。

29、）分布。 作業(yè)題（同濟(jì)大學(xué)） P46：2題、5題、7題 3 3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 引例：設(shè)引例：設(shè)X=“擲一顆骰子時擲出的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子時擲出的點(diǎn)數(shù)”，記，記 PX1= F(1） PX2= F(2） PX3= F(3） 一般地：對任意的實(shí)數(shù)一般地：對任意的實(shí)數(shù)記記, x )()(xFxXP 我們把我們把 稱為稱為 )(xF 設(shè)設(shè)X X為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量, , 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù), ,稱稱 為為 定義域?yàn)椋憾x域?yàn)椋?值域?yàn)椋褐涤驗(yàn)椋?x )()(xXPxF x a 函數(shù)函數(shù)F(a)的值等于的值等于X的取值落入?yún)^(qū)間的取值落入?yún)^(qū)間(-,a 內(nèi)的概率值。如何求？內(nèi)的概率值

30、。如何求？ ),( x 1 , 0)( xF 3） )()( )()()()2( aFbF aXPbXPbXaP )()()1(bFbXP 0 （ ab )(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF )(xF ()( )( )P aXbF bF a ()P aXb( )( )()F bF aP Xa ()P aXb( )( )()()F bF aP XaP Xb ()P aXb( )( )()F bF aP Xb ； ； ； 0 0 01 0 0 aFaXaFbFbXa aFaXaFbFbXa aFaFaXaFbFbXa PP PP PP 例例1：已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布律為的分布

31、律為: X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/4 ) 2 3 () 2 3 ()1( : XPF解解 ),(),()2( xxF求求 . 2 3 )(處的值處的值在在 xxF .),(并作圖并作圖xF (1)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù) (2)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 4 3 )1()0( XPXP 0)()(0 xXPxFx時時，當(dāng)當(dāng) )()(10 xXPxFx 時時，當(dāng)當(dāng) )()(21xXPxFx 時時，當(dāng)當(dāng) )()(2xXPxFx 時時，當(dāng)當(dāng) 2, 1 21, 4/3 10, 4/ 1 0, 0 )( x x x x xF 4 1 ) 0( XP 4 3 ) 1() 0( XPXP

32、1) 2() 1() 0( XPXPXP P(0 x 1)=F(1)-F(0)=? P(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0) =3/4-1/4+1/4 =3/4 是右連續(xù)函數(shù)，即是右連續(xù)函數(shù)，即 0)(lim)( xFF x 是一個單調(diào)不減函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù) 且且, 1)(0)2( xF )() 1 (xF )()3(xF 1)(lim)( xFF x )()(lim 0 xFxF xx 試說明試說明F(x)能否作為某個隨機(jī)變量能否作為某個隨機(jī)變量X的的 分布函數(shù)分布函數(shù) 其他, 0 0,sin )( xx xF 例例1：設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) 求求: (1) 常數(shù)常數(shù)A，B的值；的值

33、； (2) P(0X1) 例例2：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： xBarctgxAxF,)( 1)( 0)( )1( F F 由性質(zhì)由性質(zhì)解：解： 1) 2 ( 0) 2 ( BA BA 1 2 1 B A )0()1()10()2(FFXP 4 1 0, 1 0,0 )()( x x x x xFC 例例3:下列函數(shù)中可作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的是下列函數(shù)中可作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的是 ( ) arctgxxFB x xFA 2 1 4 3 )()( 1 1 )()( 2 1 2 )()(arctgxxFD 10)()(FA 說明： 0 2 1 )()(FB 12)()(FD

34、 ) 0()(lim) 1)(, 0)() )() )( 00 FxFiii FFii xFi C x 單增 為正確答案易證 C 4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 定義： 對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 若存在 非負(fù)的函數(shù) 使對于任意實(shí)數(shù) 有： ( ),f x ()( )( ) x P XxF xf t dt ( ),F x , x ( )f x其中 稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度。 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， 連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿一個區(qū)間，對這連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿一個區(qū)間，對這 種類型的隨機(jī)變量不能象離散型的那樣用種類型的隨機(jī)變量不能象離散型的那樣用分分 布律布律描述，而是用描述，

35、而是用概率密度概率密度描述。描述。 與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似 ()( )P xXxxf xx 00 ()( )() ( )( ) xx F xxF xP xXxx f xF xlimlim xx ( )f x 的性質(zhì)： 1) ( )0f x + 2) ( )1f x dx 2 1 1221 1221 () ( ) ()( ) x x xx xx P xXxf t dtF xF x 3) 對于任意的實(shí)數(shù) ， 4) ( ) ( )( )f xx F xf x在連續(xù)點(diǎn) ， ( )f x即在的連續(xù)點(diǎn) ( )f xXx表示 落在點(diǎn) 附近的概率的多少 ( )yf x 1面積為 1 x 2 x 1

36、2 P xXx 5）連續(xù)型隨機(jī)變量）連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一實(shí)數(shù)的概率值取任一實(shí)數(shù)的概率值 為零為零. )(0)(:為任一實(shí)數(shù)即aaXP 注意注意: 5)表明求連續(xù)型隨機(jī)變量落在一個表明求連續(xù)型隨機(jī)變量落在一個 區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點(diǎn)的區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點(diǎn)的 情況。即情況。即 )()()(bXaPbXaPbXaP 隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布率、 密度函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？ 區(qū)別區(qū)別：分布函數(shù)數(shù)描述隨隨機(jī)變變量的取值規(guī)值規(guī)律， 隨隨機(jī)變變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)連續(xù) 型的；分布率只能描述離散型隨隨機(jī)變變量的 取值規(guī)值規(guī)律；密度函數(shù)數(shù)只能描述連續(xù)連續(xù)型隨隨機(jī) 變變量的取

37、值規(guī)值規(guī)律。 聯(lián)聯(lián)系： ()( )discrete random variables k P XxF x： ( )( )continuous random variablesf xF x： 例例1、已知連續(xù)型隨機(jī)變量已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 1, 1 10, 0, 0 )( 2 x xx x xF 求求(1) P(0. 3 X 0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)指數(shù) 分布分布。記為 0 ( ) 0 0 x ex f x x ( )XE 1 0 ( ) 0 0 x ex F x x 00 (|)P XttXt 0 0 () () P Xtt P Xt 0 0 1() 1()

38、 t F tt e F t ()P Xt X具有如下的無記憶性： 正態(tài)分布 定義：設(shè)X的概率密度為 其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為 可以驗(yàn)算： 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xex ， 2 ( ,)XN ( )1f x dx + ( )f x dx 2 2 t Iedt 記 2 21 2 x t t edt 令 2 2 1 2 t edt 22 () 2 2 xy Iedxdy 2 2 2 00 r dredr 2I( )1f x dx 2 , 2 , 稱為位置參數(shù)(決定對稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性) max 2 1 ( ) 1 2

39、( ) 2 3 ( )0 ( ,) x f xx ff limf x XN 關(guān)于對稱 0 f x 1 x 55 0.5 1.0 f x x 1.5 0.798 0.399 0.266 0 X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 當(dāng)固定時，越大，曲線的峰越低，落 在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一個指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量 服從或近似服從正態(tài)分布。 (0 1) ZNZ記， ，稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2 2 1 2 x Zxe 的概率密度： 2 2 1 ( ) 2 t x Zxedt 的分布函數(shù)： 1xx ( )yx ( )x ()x 0 y x xx )

40、 1 , 0(, ),( 2 N X NX 則定理：若 X Z證明：設(shè) 則則Z的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: ）（xZPxF)(）（x X P xXP 一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 )(x x t dte 2 2 2 )( 2 1 x zZ zde t 2 2 2 1 令 ) 1 , 0( N X 即： 重要結(jié)論： )() 1 (xXPxF )()()2( 1221 xFxFxXxP )()( 12 xx ) 1 , 0(),( 2 N X NX 則若 )( xX P )( x 例： 2 ( ,)XN ()() (1)( 1)2 (1) 10.6826 P XPX (2 )2 (2)

41、10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查書后附表 99.74% 32 68.26% 23 95.44% 例：一批鋼材(線材)長度 (1)若=100，=2，求這批鋼材長度小于97.8cm 的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長度至少 有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問至多取何值？ 2 () ( ,)X cmN (97.8)P X 解：(1) 97.8 100 () 2 1(1.1) 1 0.86430.1357 查附表 = 9710390%PX(2) 令： 103 10097 1003 ()()2 () 190% 即 3 ()0.95 3 1.645 1.823

42、7 例：設(shè)某地區(qū)男子身高 (1) 從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若從中隨機(jī)找5個男子測身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？ 2 ()(169.7,4.1 )X cmN (175)P X 解： (1) 5175(5, ), 0.0985 cmbp p (2) 設(shè) 人中有Y人身高大于，則Y 其中 175 169.7 1() 4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表 5 (1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 114 5 (1)(1)0.3253P YC pp mu=16

43、9.7; sigma=4.1; plarge175=1-normcdf(175,mu,sigma) plargeless1=1-binopdf(0,5,plarge175) plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175) plarge175 = 0.09806037254757 plargeless1 = 0.40311956686400 plargeequal1 = 0.32446915435455 編程畫出幾個正態(tài)分布的概率密 度和分布函數(shù)曲線 mu=10; sigma=3; x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma); y1=normp

44、df(x,mu,sigma); y2=normcdf(x,mu,sigma); figure(color,w) plot(x,y1,r,LineWidth,3) legend(Normal probability density function (pdf)m u=10 sigma=3) figure(color,w) plot(x,y2,g,LineWidth,3) legend(Normal cumulative distribution function (cdf) mu=10 sigma=3) ) 10()( zXP .分位點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上的點(diǎn) z 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上

45、 分位點(diǎn)分位點(diǎn) 1）定義：）定義：設(shè)設(shè)XN（0，1），稱滿足），稱滿足 z 陰影部分面陰影部分面 積為積為 001.0005.005.0 )3()2()1 (zzz例例5：求求 95. 005. 01)( 05. 0 z解： 57. 2 005. 0 z同理得 645. 1 05. 0 z查表得 10. 3 001. 0 z 編程計(jì)算例5的結(jié)果 X=norminv(p,mu,sigma) %p為累積概 率值，mu為均值，sigma為標(biāo)準(zhǔn)差，X 為臨界值，滿足：p=PXx。 因?yàn)槔?是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以mu0， sigma=1. P1，所以當(dāng)分別取0.05, 0.005, 0.0 01時候，對應(yīng)

46、的上分位點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布函數(shù)值分別為0.95，0.995, 0.999 mu=0; sigma=1; z0_05=norminv(1-0.05,mu,sigma) z0_005=norminv(1-0.005,mu,sigma) z0_001=norminv(1-0.001,mu,sigma) z0_05 =1.64485362695147 z0_005 =2.57582930354890 z0_001 =3.09023230616782 作業(yè)題（同濟(jì)大學(xué)） P47：12題、16題、 18題和24題 補(bǔ)充：實(shí)際應(yīng)用中，如何求信號 的概率分布率 1、采樣 2、統(tǒng)計(jì)直方圖 3、頻率直方圖概率分布

47、率 求二維信號（圖像）的灰度概率分 布 頻率直方圖概率分布率 5 隨機(jī)變量的函數(shù)分布 問題：已知隨機(jī)變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 1. X離散離散 ,:)( 21k yyyXgY離散離散 )()( kk yXgPyYP )(關(guān)鍵關(guān)鍵反解反解GX )(GXP m iii xxxG, 21 如如 加法加法 使使 對應(yīng)的對應(yīng)的X的那些可能值的那些可能值, 其概率之和其概率之和 k yXg )( (1)先求出先求出Y的分布函數(shù)與的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)之間的關(guān)系：的分布函數(shù)之間的關(guān)系： )()Y()(yXgPyPyF Y )()( 11 ygFygXP X (2)再兩邊同時對再兩邊同時對y求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)