棱柱棱錐的面積和體積精編版

1、 柱體體積公式的推導：柱體體積公式的推導： 等底面積等高的幾個柱體等底面積等高的幾個柱體 被平行于平面被平行于平面的平面所的平面所 截截面面積始終相等截截面面積始終相等 體積相等體積相等 V長方體 長方體 abc V柱體 柱體 Sh 定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。 h1 S1 h2 S2 h S h S 取任意兩個錐體，它們取任意兩個錐體，它們 的底面積為的底面積為S S，高都是，高都是h h 平行于平面平行于平面的任一平面去截的任一平面去截 截面面積始終相等截面面積始終相等 兩個錐體體積相等兩個錐體體積相等 定理一、等底面積等高的兩個錐體體積

2、相等。定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。 h1S1 h1 S2 h S h S ， SS SS 21 SS 21 證明：取任意兩個錐體，設它們的底面積為證明：取任意兩個錐體，設它們的底面積為S S，高都是，高都是h h。 把這兩個錐體把這兩個錐體 放在同一個平面放在同一個平面上，這是它們的頂點都在和平面上，這是它們的頂點都在和平面平行的同一個平平行的同一個平 面內，面內，用平行于平面 用平行于平面的任一平面去截它們，的任一平面去截它們， 截面分別與底面相似，截面分別與底面相似， 設截面和頂點的距離分別是h1，截面面積分別是S1，S2 根據(jù)祖搄原理，這兩個錐體的體積相等。根據(jù)祖搄原理，這兩

3、個錐體的體積相等。 2 2 12 2 2 11 , h h S S h h S S 錐體的體積公式錐體的體積公式 定理三：如果一個錐體的底面積是定理三：如果一個錐體的底面積是S S， 高是高是h h，那么它的體積是，那么它的體積是 V V錐體 錐體 ShSh 3 1 棱錐的側面積和體積棱錐的側面積和體積 1 1、正棱錐的側面積：、正棱錐的側面積：S= chS= ch 2 2、等底面積等高的兩個棱錐的體積相等。、等底面積等高的兩個棱錐的體積相等。 3 3、如果一個棱錐的底面積是、如果一個棱錐的底面積是S,S,高是高是h h， 那么它的體積是那么它的體積是 V V錐體 錐體 ShSh 3 1 2

4、1 例1：三棱柱的底面是邊長為5的等邊三角 形，其中一條側棱與底面兩邊都成600的 角，側棱長為4，求三棱柱的側面積。 AB C AB C 例例2.2.如圖是一石柱如圖是一石柱, , 石柱頂上部是一個正四石柱頂上部是一個正四 棱錐棱錐, ,下部是一個正四棱柱下部是一個正四棱柱. . 已知正四已知正四 棱柱底面邊長棱柱底面邊長0.50.5米米, , 高高1 1米米, , 正四棱錐正四棱錐 的高是的高是0.30.3米米. .石料比重石料比重d d為每一立方米為每一立方米 24002400千克千克. . 求這個石柱的重量求這個石柱的重量. . 解解: V棱錐 棱錐= V棱柱 棱柱= .025. 03

5、 . 05 . 0 3 1 32 米米 ,25. 015 . 0 32 米米 所以石柱的重量所以石柱的重量 P=(V棱柱棱柱+V棱錐棱錐)d=660(千克千克). 0.5米米 1米米 0.3米米 例例3.3.在三棱錐在三棱錐V-ABCV-ABC中中,AC=BC=13,AB=10,AC=BC=13,AB=10，三，三 個側面與底面所成的二面角均為個側面與底面所成的二面角均為6060o o,VO,VO平平 面面ABC, ABC, 交平面交平面ABCABC于于O.OO.O在三角形內部。在三角形內部。 B A C V E O F D OD為為VD在平面在平面ABC內的射影內的射影, 根據(jù)根據(jù) 三垂線定

6、理三垂線定理, 得得VDAB.于是于是VDO為側面為側面VAB 與底面所成二面角的平面角，與底面所成二面角的平面角，VDO= 60o. 同理同理VEO=VFO=60o. C V 解解:（1） 過過O在平面在平面ABC 內分別內分別 作作AB、AC、BC的垂線的垂線,D、F、E 為垂足為垂足. 連結連結VD、VF、VE. A E O F D B 因為因為VO平面平面ABC,OD AB, 顯然顯然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即點即點O到到 ABC三邊距離相等三邊距離相等. 因此因此 O是是ABC的內心的內心. .3 3 10 60 . 3 10 .60 ,12 13)2( 22

7、 ODtgVOh OD ABCS ADACCD DOC COACBC ABC 內內切切圓圓半半徑徑 的的易易知知得得 共共線線、則則 ，連連 C V E O F D . 3 3200 3 310 60 3 1 3 1 ) 3( hSV ABCABCV A B 例例4. 4. 已知正四棱錐相鄰兩個側面所成二面已知正四棱錐相鄰兩個側面所成二面 角為角為120120o o, , 底面邊長底面邊長a, a, 求它的高、體積求它的高、體積. . AB C D S E O AB C D S E O 解解：連結連結ACAC、BDBD交于交于O O，連結，連結SOSO， 則則SOSO為正四棱錐的高為正四棱錐的

8、高. . 過過B B作作BESC, EBESC, E為垂足為垂足. .連結連結DE,DE, 則則DEBDEB為二面角為二面角D-SC-BD-SC-B的平面角的平面角, , 所以所以DEB=120DEB=120o o. . A S B C D E O . 6 1 2 1 3 1 3 1 . 2 1 2 1 4 3 . 2 3 , 3 1 3 6 60 , 2 2 32 22 3 1 2 1 2 aaaShV aaOCSCSO aSCSCECOCSOCRT aECaBEOEB aOCOBaAB 中中 又又 連結連結OE, 例例5.5.如圖三棱錐如圖三棱錐V-ABCV-ABC中中, D, D為為BC

9、BC上一點上一點,E,E為為 AV AV上一點上一點, BCED, BCAV, ED AV, BCED, BCAV, ED AV, 已知已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求求: :三棱錐的體積三棱錐的體積. . V A B C D E V A B C D E BC=6, ED=4, AV=8. 32)( 3 1 , AEVESV VVV BCEVA EDVABCVA BCEABCV BCEABCEVABCV 平面 解： E V A B C D BC=6, ED=4, AV=8. 32)( 3 1 , CDBDSV VVV VADBC

10、VABCEDBC VDAABCV VDACVDABABCV 平面平面 例例6、如圖、如圖,在長方體在長方體ABCD-A1B1C1D1中中,G為為 A1B1上的點上的點,E、F在棱在棱AB上上,H在在C1D1上上. (1).若點若點G在在A1B1上滑動上滑動, H在在C1D1上滑動上滑動,線段線段 EF在在AB上滑動上滑動,則則VH-EFG的值有何變化的值有何變化? (2).若點若點G滑動到滑動到B1,E、F滑動到滑動到A、B點點,H滑動滑動 到到D1點點,則則VH-EFG體積為多少體積為多少? A B C D A1 B1 C1D1 G H EF A D B C E 證明：在平面證明：在平面BC

11、DBCD內，作內，作DE BCDE BC，垂足為，垂足為E E， 連接連接AE, DEAE, DE就是就是AEAE在平面在平面BCDBCD上的射影。上的射影。 根據(jù)三垂線定理，根據(jù)三垂線定理，AE BCAE BC。 AEDAED。 例例7 7：已知：三棱錐：已知：三棱錐A-BCDA-BCD的側棱的側棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 側面?zhèn)让鍭BCABC與底面所成的角為與底面所成的角為 求證：求證：V V三棱錐 三棱錐 S S ABCABCADcos ADcos 3 1 S S AB CAB C ADcos ADcos 3 1 BC AEcos AD BC AEcos AD 2 1

12、3 1 V V三棱錐 三棱錐 S S B CD B CD AD AD 3 1 BC DE AD BC DE AD 1 3 1 2 3 1 例例8 8：已知：已知: :三棱錐三棱錐A-BCDA-BCD的側棱的側棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 側面?zhèn)让鍭BCABC與底面所成的角為與底面所成的角為 求證：求證：V V三棱錐 三棱錐 S S ABCABCADcos ADcos A D B C E 問題問題1 1、ADcosADcos有什么幾何意義？有什么幾何意義？ F 結論：結論： V V三棱錐 三棱錐 S S AB C AB C DF DF 3 1 3 1 例例9 9、已知：三棱錐、已

13、知：三棱錐A-BCDA-BCD的側棱的側棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 側面?zhèn)让鍭BCABC與底面所成的角為與底面所成的角為 求證：求證：V V三棱錐 三棱錐 S S ABCABCADcos ADcos A D B C E 結論：結論： V V三棱錐 三棱錐 V VC-AED C-AED V VB-AED B-AED 問題問題2、解答過程中的、解答過程中的 BC AEcos AD BC AEcos AD其中其中 AEcos ADAEcos AD可表示什么意思？可表示什么意思？ 2 1 2 1 3 1 AEcosED S AED EDAD 2 1 又又BE與與CE都垂直平面都垂直平

14、面AED，故，故BE、CE 分別是三棱錐分別是三棱錐B-AED、C-AED的高。的高。 分析：分析： 練習練習1 1： 將長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個三棱錐，將長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個三棱錐， 這個三棱錐的體積是長方體體積幾分之幾？這個三棱錐的體積是長方體體積幾分之幾？ （請列出三棱錐體積表達式）（請列出三棱錐體積表達式） A B CD A C B D 問題問題1、你能有幾種、你能有幾種 解法？解法？ 問題問題2、如果這是一、如果這是一 個平行六面?zhèn)€平行六面 體呢？或者體呢？或者 四棱柱呢？四棱柱呢？ 練習練習2:2: 從一個正方體中，如圖那樣截去四個三棱錐，得從一個正方體中，

15、如圖那樣截去四個三棱錐，得 到一個正三棱錐到一個正三棱錐A-BCDA-BCD，求它的體積是正方體體，求它的體積是正方體體 積的幾分之幾？積的幾分之幾？ C D A B 問題問題2、如果改為、如果改為求求 棱長為棱長為a a的正四面的正四面 體體A-BCDA-BCD的體積。的體積。 你能有幾種解法？你能有幾種解法？ 問題問題1、你能有幾種、你能有幾種 解法？解法？ 解一、補形，將三棱解一、補形，將三棱 錐補成一個正方體。錐補成一個正方體。 解二、利用體積公式解二、利用體積公式 V四面體 四面體 S BCDh 3 1 解三、將四面體分割為解三、將四面體分割為 三棱錐三棱錐C-ABE和三棱和三棱 錐錐D-ABE E 練習：練習： 1 1、四面體、四面體O-