常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法43073PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法43073 若 ,0 n u 1n n u 定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1n n u 收斂 部分和序列 n S ),2, 1(n 有界 . 若 1n n u 收斂 , ,收斂則 n S ,0 n u 部分和數(shù)列 n S n S 有界, 故 n S 1n n u 從而 又已知 故有界. 則稱 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) . 單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂. 證: “ ” “ ” 第1頁/共26頁 , Zn, nn vku 都有 設(shè) , 1 n n u 1n n v 且存在 , ZN 對(duì)一切 ,Nn 有 (1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù) 1n n v 則弱級(jí)數(shù) 1n n u (2) 若弱級(jí)數(shù)

2、 1n n u 則強(qiáng)級(jí)數(shù) 1n n v 證: 設(shè)對(duì)一切 和令 n S n 則有 收斂 , 也收斂 ; 發(fā)散 , 也發(fā)散 . 分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和, 則有 nn vku 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ), 因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性, 故不妨 第2頁/共26頁 (1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù) 1n n v 則有 n n lim 因此對(duì)一切 , Zn 有 n S 由定理 1 可知, 1n n u 則有 (2) 若弱級(jí)數(shù) 1n n u ,lim n n S 因此 ,lim n n 這說明強(qiáng)級(jí)數(shù) 1n n v 也發(fā)散 . k n S n k 也收斂 . 發(fā)散, 收斂, 弱級(jí)數(shù) 第3頁/共26

3、頁 ppp n 1 3 1 2 1 1 (常數(shù) p 0) 的斂散性. 解: 1) 若 , 1p 因?yàn)閷?duì)一切 , Zn 而調(diào)和級(jí)數(shù) 1 1 n n 由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù) 1 1 n p n n 1 發(fā)散 . 發(fā)散 , p n 1 第4頁/共26頁 , 1p 因?yàn)楫?dāng) nxn1, 11 pp xn 故 n n pp x nn 1 d 11 n n p x x 1 d 1 11 1 ) 1( 1 1 1 pp nn p 考慮強(qiáng)級(jí)數(shù) 11 2 1 ) 1( 1 pp n nn 的部分和 n 11 1 ) 1( 11 pp n k kk n 故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 . 時(shí),

4、1 ) 1( 1 1 p n 1 第5頁/共26頁 若存在 , ZN 對(duì)一切 ,Nn , 1 ) 1( n un , ) 1( 1 )2(p n u p n . 1 收斂則 n n u ; 1 發(fā)散則 n n u 第6頁/共26頁 證明級(jí)數(shù) 1 ) 1( 1 n nn 發(fā)散 . 證: 因?yàn)?2 ) 1( 1 ) 1( 1 n nn ),2, 1( 1 1 n n 而級(jí)數(shù) 1 1 1 n n 2 1 k k 發(fā)散 根據(jù)比較審斂法可知, 所給級(jí)數(shù)發(fā)散 . 第7頁/共26頁 , 1 n n u 1n n v ,liml v u n n n 則有 兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ; (2) 當(dāng) l = 0 ,

5、 1 收斂時(shí)且 n n v ; 1 也收斂 n n u (3) 當(dāng) l = , 1 發(fā)散時(shí)且 n n v . 1 也發(fā)散 n n u 證: 據(jù)極限定義, , 0對(duì), ZN存在 l n n v u )(l 設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù) 滿足 (1) 當(dāng) 0 l 時(shí), ,時(shí)當(dāng)Nn 第8頁/共26頁 nnn vluvl)()( , l取 由定理 2 可知 與 1n n u 1n n v 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ; )(Nn ),()(Nnvlu nn 利用 (3) 當(dāng)l = 時(shí), , ZN存在,時(shí)當(dāng)Nn ,1 n n v u 即 nn vu 由定理2可知, 若 1n n v 發(fā)散 , ; 1 也收斂則 n n u (1

6、) 當(dāng)0 l 時(shí), (2) 當(dāng)l = 0時(shí), 由定理2 知 1n n v 收斂 , 若 . 1 也發(fā)散則 n n u 第9頁/共26頁 , n u n v,liml v u n n n 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1) 當(dāng) 時(shí), l0 兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ; 特別取 , 1 p n n v 可得如下結(jié)論 : 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) , n u ,1p l0 lnn n lim p n ,1p l0發(fā)散 n u (2) 當(dāng) 且 收斂時(shí), 0l n v (3) 當(dāng) 且 發(fā)散時(shí), l n v 也收斂 ; n u 也發(fā)散 . n u 收斂 n u 第10頁/共26頁 n n n 1 lim 1 1 ln n n n

7、111 lnln(1) n nnn 1 ln lim1 1 n n n n 1 1 sin n n 的斂散性 . 解: n lim sin 1 nn 1 1 根據(jù)比較審斂法的極限形式知 . 1 sin 1 發(fā)散 n n n n 1 sin 例4.判定級(jí)數(shù) 的斂散性： 解：因 即 而級(jí)數(shù) 發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 1 1 n n 第11頁/共26頁 n n nu u 1 lim由 設(shè) n u 為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 ,lim 1 n n nu u 則 (1) 當(dāng) 1 (2) 當(dāng) 1 證: (1) ,1時(shí)當(dāng) 1 1 n n u u nn uu)( 1 1 2 )( n u 1 )( N Nn u , 1使取

8、 收斂 , .收斂 n u 時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ; 或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 . , ZN知存在,時(shí)當(dāng)Nn k )( 由比較審斂法可知 第12頁/共26頁 ,1時(shí)或 , 0, N uZN必存在 , 1 1 n n u u ,0lim Nn n uu 因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散. Nn 當(dāng) 時(shí) nn uu 11 n u N u 1lim 1 n n nu u 說明: 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例如, p 級(jí)數(shù) : 1 1 n p n n n nu u 1 lim p p n n n 1 )1( 1 lim 1 但, 1p 級(jí)數(shù)收斂 ; , 1p 級(jí)數(shù)發(fā)散 . 從而 第13頁/共26頁 lim n )0( 1 1

9、 xxn n n 的斂散性 . 解: n n nu u 1 lim n xn) 1( 1n xn x 根據(jù)定理4可知: ,10時(shí)當(dāng) x 級(jí)數(shù)收斂 ; ,1時(shí)當(dāng) x 級(jí)數(shù)發(fā)散 ; . 1 發(fā)散級(jí)數(shù) n n,1時(shí)當(dāng) x 第14頁/共26頁 對(duì)任意給定的正數(shù) ,lim n n n u 設(shè) 1n n u 為正項(xiàng)級(jí) ,lim n n n u 則 ;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) .,1)2(級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)當(dāng) 證明提示: , ZN存在 n n u 有時(shí)當(dāng),Nn 即 n n n u)()( 分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確. , )1( 11 1 1 數(shù), 且 第15頁/共26頁 時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂

10、也可能發(fā)散 . 1 例如 , p 級(jí)數(shù) : 1 1 p n n p n n n n u 1 )(1n, 1 p n n u 但 , 1p 級(jí)數(shù)收斂 ; , 1p 級(jí)數(shù)發(fā)散 . 第16頁/共26頁 1 1 n n n 收斂于S , 似代替和 S 時(shí)所產(chǎn)生的誤差 . 解: n n n nn u 1 n 1 )(0n 由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂 .令 , nn SSr 則所求誤差為 21 )2( 1 ) 1( 1 0 nn n nn r 21 ) 1( 1 ) 1( 1 nn nn 1 ) 1( 1 n n n nn) 1( 1 1 1 1 1 n 并估計(jì)以部分和 Sn 近 第17頁/共26頁 則各項(xiàng)符

11、號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù) n n uuuu 1 321 ) 1( 稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) . 定理7 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: 則級(jí)數(shù) ; ),2, 1() 1 1 nuu nn ,0lim)2 n n u n n n u 1 1 ) 1( 收斂 , 且其和 , 1 uS 其余項(xiàng)滿足 . 1 nn ur ,2, 1,0nun設(shè) 第18頁/共26頁 證: )()()( 21243212nnn uuuuuuS 1 u 是單調(diào)遞增有界數(shù)列, n S2 12 limuSS n n 又 )(limlim 12212 nn n n n uSS n n S2lim 故級(jí)數(shù)收斂于S, 且 ,

12、1 uS :的余項(xiàng) n S 0 n u2 nn SSr)( 21 nn uu 21nnn uur 1 n u 故 S 第19頁/共26頁 收斂 收斂 n n 1 ) 1( 4 1 3 1 2 1 1) 1 1 ! 1 ) 1( !4 1 !3 1 !2 1 1)2 1 n n n n n 10 ) 1( 10 4 10 3 10 2 10 1 )3 1 432 收斂 上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ? ; 1 ) 1 1 n n ; ! 1 )2 1 n n . 10 )3 1 n n n 發(fā)散收斂 收斂 第20頁/共26頁 定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) , 1 n n u 若 若原級(jí)數(shù)收斂

13、, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原級(jí) 1 11 ) 1( n n n , ! ) 1( 1 ) 1( 1 1 n n n 1 1 10 ) 1( n n n n 1n n u 收斂 , 1n n u 數(shù) 1n n u 為條件收斂 . 均為絕對(duì)收斂. 例如 ： 絕對(duì)收斂 ； 則稱原級(jí) 數(shù) 條件收斂 . 第21頁/共26頁 證: 設(shè) 1n n u n v ),2,1(n 根據(jù)比較審斂法 顯然 ,0 n v 1n n v 收斂, 收斂 1 2 n n v nnn uvu 2 , 1 n n u 1n n u 也收斂 )( 2 1 nn uu 且 n v , n u 收斂 ,令 第22頁/共26頁 .) 1()2(; sin ) 1 ( 1 2 1 4 n n n n e n n n 證: (1) , 1sin 44 nn n 而 1 4 1 n n 收斂 , 1 4 sin n n n 收斂 因此 1 4 sin n n n 絕對(duì)收斂 . 第23頁/共26頁 (2) 令 , 2 n n e n u n n nu u 1 lim lim n 1 2 ) 1( n e n n e n 2 2 11 lim n n e n 1 1 e 因此 1 2 ) 1( n n n e n 1 2 )