常系數(shù)線性微分方程PPT學習教案

1、會計學1 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程 )(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程: 0 qyypy (1)的通解的通解 *yYy 常見類型常見類型 ),(xPm,)( x m exP ,cos)(xexP x m ,sin)(xexP x m 難點難點：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法. )()(xPexf m x (1) 非齊次非齊次 (2) 齊次齊次 2211 yCyCY 第1頁/共32頁 設(shè)非齊方程（設(shè)非齊方程（1）的特解為：）的特解為： x exQy )(* )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 不是特征方

2、程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 0 2 qp ),()(xQxQ m 可可設(shè)設(shè) 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2( , 0 2 qp , 02 p ),()(xxQxQ m 可設(shè)可設(shè) ;)(* x m exQy ;)(* x m exxQy mm mm m bxbxbxbQ 1 1 10 第2頁/共32頁 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3( , 0 2 qp , 02 p ),()( 2 xQxxQ m 可可設(shè)設(shè) 綜上討論綜上討論 ,)(*xQexy m xk 設(shè)設(shè) 是重根是重根 是單根是單根 不是根不是根 2 ,1 0 k 注意注意 上述結(jié)論可推廣到上述

3、結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性 微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）. .)(* 2x m exQxy 第3頁/共32頁 特別地特別地 x Aeqyypy 是特征方程的重根 是特征方程的單根 不是特征方程的根 x x x ex A xe p A e qp A y 2 2 2 , 2 , * 第4頁/共32頁 .23 2 的通解的通解求方程求方程 x xeyyy 解解 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程 , 023 2 rr 特征根特征根 ，21 21 rr , 2 21 xx ececY 是是單單根根，2 ,)(* 2x eBAxxy 設(shè)設(shè) 代入方

4、程代入方程, 得得xABAx 22 , 1 2 1 B A x exxy 2 )1 2 1 (* 于是于是 原方程通解原方程通解 為為 .)1 2 1 ( 22 21 xxx exxeCeCy 例例1 1 第5頁/共32頁 .xyyy的的一一個個特特解解求求1332 解解特征方程特征方程 ,rr032 2 不不是是特特征征根根，0 ,)(*BAxxy 可可設(shè)設(shè) 例例2 2 代入方程代入方程, 得得13)(32 xBAxA 3 1 1 B,A . 3 1 )(* xxy于是，得一特解于是，得一特解 3, 1 21 rr 特征根特征根 第6頁/共32頁 型型二、二、sin)(cos)()(xxPx

5、xPexf nl x sincos)(xPxPexf nl x 22 i ee P ee Pe xixi n xixi l x xi nl xi nl e i PP e i PP )()( ) 22 () 22 ( ,)()( )()(xi m xi m exPexP ,)( )(xi m exPqyypy 設(shè)設(shè), )(* 1 xi m k eQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式 nlm,max 次次復復系系數(shù)數(shù)多多項項式式是是m m Q 第7頁/共32頁 xi m exPqyypy )( )( 設(shè)設(shè) , )(* 1 * 2 xi m k eQxyy * * 2 * 1 xj m xj m xk

6、eQeQexyyy sin)(cos)(*xxBxxAexy mm xk 次次多多項項式式，是是其其中中mxBxA mm )(),( nlm,max 是共軛復根是共軛復根 不是特征根不是特征根 i i k 1 0 注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程. xi m xi m exPexP )()( )()( 第8頁/共32頁 .sin4的的一一個個特特解解求求xyy 解解特特征征方方程程 例例3 3 是是單單（特特征征）根根， ).sincos(*xBxAxy 故故可可設(shè)設(shè) ii 01 2 r. ir 代代入入原原方方程程，得得 xxBx

7、Ax xBxAxxBxA sin4)sincos( )sincos()cossin(2 .B,A02 原方程的特解原方程的特解.cos2*xxy 原方程通解原方程通解 為為 .cos2sincos 21 xxxCxCy 第9頁/共32頁 .2cos的的通通解解求求xxyy 解解特特征征根根 例例4 4 不不是是（特特征征）根根， .2sin)(2cos)(* 0101 xBxBxAxAy 設(shè)設(shè) ii2 . ir 、類類項項代代入入原原方方程程，比比較較各各同同xxx2sin2sin .B,B,A,A 9 4 00 3 1 0101 通解通解 xxxy2sin 9 4 2cos 3 1 * xx

8、xxCxCy2sin 9 4 2cos 3 1 sincos 21 的的系系數(shù)數(shù)，得得、 2cos2cosxxx 第10頁/共32頁 .2cossin的的通通解解求求xxxyy 解解特特征征根根 例例5 5 原原方方程程特特解解 、由由例例 3. ir 原方程通解原方程通解 : .2sin 9 4 2cos 3 1 cos 2 1 sincos 21 xxxxxxCxCy ，例例4 ，特特解解：xxyxyycos2* sin4 1 特特解解：xxyy2cos *y*y* y 21 4 1 ，xxxy2sin 9 4 2cos 3 1 * 2 第11頁/共32頁 .tan的通解的通解求方程求方程

9、xyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos 21 xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解 ,sin)(cos)( 21 xxcxxcy 設(shè)設(shè) , 1)( xw , cos)( tanseclnsin)( 22 11 Cxxc Cxxxxc 原方程通解原方程通解 為為 .tanseclncossincos 21 xxxxCxCy 例例6 6 第12頁/共32頁 )(xfqyypy 是重根是重根 是單根是單根 不是根不是根 2 ,1 0 k )()()1(xPexf m x )(*xQexy m xk sin)(cos)()()2(xxPxxPexf nl x s

10、in)(cos)(*xxBxxAexy mm xk (待定系數(shù)法待定系數(shù)法) 是共軛復根是共軛復根 不是特征根不是特征根 i i k 1 0 第13頁/共32頁 間間鏈條滑過釘子需多少時鏈條滑過釘子需多少時下垂米，試問整個下垂米，試問整個 邊邊的一邊下垂米，另一的一邊下垂米，另一上，運動開始時，鏈條上，運動開始時，鏈條 一無摩擦的釘子一無摩擦的釘子一質(zhì)量均勻的鏈條掛在一質(zhì)量均勻的鏈條掛在 解解 例例1010 o x m8 m10 , , 米米鏈條下滑了鏈條下滑了經(jīng)過時間經(jīng)過時間 設(shè)鏈條的線密度為設(shè)鏈條的線密度為 xt 則由牛頓第二定律得則由牛頓第二定律得 ,)8()10( 2 2 gxgx d

11、t xd m . 0)0(, 0)0(, 99 xx g x g x即即 第14頁/共32頁 解此方程得解此方程得 , 1)( 2 1 )( 3 1 3 1 tgtg eetx , 8, x即即整個鏈條滑過釘子整個鏈條滑過釘子 代入上式得代入上式得 )().809ln( 3 秒秒 g t 第15頁/共32頁 思考題思考題1 寫出微分方程寫出微分方程 x exyyy 22 8644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 第16頁/共32頁 思考題思考題1解答解答 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為 2 644xyyy * 1 y x eyyy 2 844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為 * 2 y * 2 y * 1

12、 * yy 則所求特解為則所求特解為 044 2 rr特征根特征根2 2, 1 r CBxAxy 2* 1 x eDxy 22* 2 （重根）（重根） * 2 y * 1 * yy CBxAx 2 . 22x eDx 第17頁/共32頁 一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: : 1 1、 x eyay 2 ； 2 2、 x xeyyy 323； 3 3、xxyycos4 ； 4 4、xyy 2 sin . . 二、二、 求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解: : 1 1、0,1,54 00 xx yyyy； 2 2、 xx exeyyy

13、2, , 1,1 11 xx yy； 3 3、)2cos( 2 1 4xxyy , , 0,0 00 xx yy. . 練練 習習 題題 1 第18頁/共32頁 ).( 1sin)(2cos)( )( 0 xf xxdxxfxxf xf x 求求 可導，且滿足可導，且滿足四、設(shè)四、設(shè) 第19頁/共32頁 練習題練習題1 答案答案 一、一、1 1、 221 1 sincos a e axCaxCy x ； 2 2、)3 2 3 ( 22 21 xxeeCeCy xxx ； 3 3、xxxxCxCysin 9 2 cos 3 1 2sin2cos 21 ； 4 4、 2 1 2cos 10 1 2

14、1 xeCeCy xx . . 二、二、1 1、xey x 4 5 )511( 16 1 4 ； 2 2、 xxx e x e x ex ee y 26 ) 1 2 1 ( 6 12 23 ； 3 3、)2sin1( 8 1 2sin 16 1 xxxy . . 第20頁/共32頁 .sincos)(xxxf 四、四、 第21頁/共32頁 解法解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變 量代換可化為常系數(shù)微分方程量代換可化為常系數(shù)微分方程. )( 1 )1(1 1 )( xfypyxpyxpyx nn nnnn 的方程的方程(其中其中 n ppp 21, 形如形

15、如 叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù)) 特點特點：各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自 變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同 第22頁/共32頁 作變量變換作變量變換,ln xtex t 或或 , 1 dt dy xdx dt dt dy dx dy , 1 2 2 22 2 dt dy dt yd xdx yd 將自變量換為將自變量換為, t ,23 1 2 2 3 3 33 3 dt dy dt yd dt yd xdx yd 第23頁/共32頁 上述結(jié)果可以寫為上述結(jié)果可以寫為 ,Dyyx ,)1()( 2 2 2 2 yDDyDD dt dy dt yd

16、yx ,)2)(1()23( 23 23 2 2 3 3 3 yDDDyDDD dt dy dt yd dt yd yx 用用D表示對自變量表示對自變量t求導的運算求導的運算, dt d dt d D 即即 第24頁/共32頁 .)1()1( )( ykDDDyx kk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量t 的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程 線性微分方程.求出這個方程的解 求出這個方程的解 ， t把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解. 一般地，一般地， 例例求歐拉方程求歐拉方程 223 34xyxyxyx 的通解的通解 解解作變量變換作變

17、量變換,ln xtex t 或或 第25頁/共32頁 原方程化為原方程化為 ,34)1()2)(1( 2t eDyyDDyDDD 即即,332 223t eDyyDyD 或或 .332 2 2 2 3 3 t e dt dy dt yd dt yd (1) 方程方程(1)所對應(yīng)的齊次方程為所對應(yīng)的齊次方程為 , 032 2 2 3 3 dt dy dt yd dt yd 其特征方程其特征方程, 032 23 rrr 第26頁/共32頁 特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0 321 rrr 所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為 . 3 3 2 1 3 321 xC x C CeCe

18、CCY tt 設(shè)特解為設(shè)特解為, 22 bxbey t 代入原方程，代入原方程， 得得 . 2 1 b 所給歐拉方程的通解為所給歐拉方程的通解為. 2 1 23 3 2 1 xxC x C Cy , 2 2 x y 即即 第27頁/共32頁 )0(024 2 2 2 xy dx dy x dx yd x 例例2（04年研究生入學考試題）年研究生入學考試題） 的通解為的通解為 歐拉方程歐拉方程 t ex dt dy xdt dy e dx dt dt dy dx dy t 1 111 2 2 22 2 22 2 dt dy dt yd xdx dt dt yd xdt dy xdx yd 【解解】 令令 則則 代入原方程，整理得代入原方程，整理得023 2 2 y dt dy dt yd 2 21 2 21 x c x c ececy tt 通解為通解為 xtln 第28頁/共32頁 歐拉方程解法思路歐拉方程解法思路 變系數(shù)的線