平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義26414PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 26414 第1頁/共25頁 第2頁/共25頁 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，則，則AOB= （0 180）叫做向量）叫做向量a與與b的的夾角夾角。 O B A 當(dāng)0時，a與b同向； OAB 當(dāng)180時，a與b反向； OAB B 當(dāng)90時，稱a與b垂直， 記為ab. O Aa b 第3頁/共25頁 我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）（如圖） F S 力力F所做的功所做的功W可用下式計算可用下式計算 W=|F

2、| |S|cos 其中其中是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量 “數(shù)量積數(shù)量積”的概念。的概念。 第4頁/共25頁 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的，它們的 夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做叫做 a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），記作），記作ab ab=|a| |b| cos 規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫 做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向 量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影 。 注意：向量注意：向量

3、的數(shù)量積是的數(shù)量積是 一個數(shù)量。一個數(shù)量。 第5頁/共25頁 第6頁/共25頁 第7頁/共25頁 第8頁/共25頁 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它 什么時候為正，什么時候為負(fù)？什么時候為正，什么時候為負(fù)？ ab=|a| |b| cos 當(dāng)當(dāng)0 90時時ab為正；為正； 當(dāng)當(dāng)90 180時時ab為負(fù)。為負(fù)。 當(dāng)當(dāng) =90時時ab為零。為零。 注：a,b都是非零向量。 第9頁/共25頁 設(shè)設(shè)ba 、 是非零向量，是非零向量，be 是與 方向相同的方向相同的 單位向量，單位向量，ea 與 是的夾角，則的夾角，則 cos|) 1 (aeaae 0)2(baba |;|)

4、3 (bababa 同向時，與當(dāng) |;|bababa 反向時，與當(dāng) 特別地特別地 2 |aaa aaa |或 2 a | cos)4( ba ba | )5(baba O A B a b B1 | cos| cosabababab 第10頁/共25頁 解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10 例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a與與b b的夾角的夾角 =120=120，求，求a ab b。 第11頁/共25頁 O A B |b|cos a b B1 ba 等于等于a 的長度的長度|a 方向上的投影在ab 與與 co

5、s|b 的乘積。的乘積。 第12頁/共25頁 練習(xí)：練習(xí)： 1 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向量b ，有，有a b= =0 2若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b0 3 3若若a 00，a b b = =0，則，則b= =0 4 4若若a b= =0，則，則a b中至少有一個為中至少有一個為0 5 5若若a0，a b= = b c，則，則a=c 6 6若若a b = = a c , ,則則bc, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a= =0 時成立時成立 7對任意向量對任意向量 a 有有 22 |aa 第13頁/共25頁 第14頁/共25頁 第15頁/共25頁 第16

6、頁/共25頁 二、二、平面向量的數(shù)量積的運算律平面向量的數(shù)量積的運算律： 數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律： cbcacba bababa abba )(3( )()()(2( ) 1 ( 其中，其中， cba 、是任意三個向量，是任意三個向量， R 注：注： )()(cbacba 第17頁/共25頁 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONM a+b b a c 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù) 量分別是OM、MN 、 ON, 證明運算律證明運算律(3) 第18頁/共25頁 例例 3：求證：求證

7、： （1）(ab)2a22abb2； （2）(ab)(ab)a2b2. 證明：證明：（1）(ab)2(ab)(ab) (ab)a(ab)b aabaabbb a22abb2. 第19頁/共25頁 例例 3：求證：求證： （1）(ab)2a22abb2； （2）(ab)(ab)a2b2. 證明：證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaab bb a2b2. 第20頁/共25頁 例例4、 2 ) (3 )2 ) (3 )abababab 求求（。 |6,|4,|6,|4,abababab 已已知知與與 的夾角為的夾角為 解解: 第21頁/共25頁 第22頁/共25頁 作業(yè)：作業(yè)： 第23頁/共25頁 3、用向量方法證明：直徑所對的圓周、