平面向量數量積的物理背景及其含義26414PPT學習教案

1、會計學1 平面向量數量積的物理背景及其含義平面向量數量積的物理背景及其含義 26414 第1頁/共25頁 第2頁/共25頁 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，則，則AOB= （0 180）叫做向量）叫做向量a與與b的的夾角夾角。 O B A 當0時，a與b同向； OAB 當180時，a與b反向； OAB B 當90時，稱a與b垂直， 記為ab. O Aa b 第3頁/共25頁 我們學過功的概念，即一個物體在力我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產生位移的作用下產生位移s（如圖）（如圖） F S 力力F所做的功所做的功W可用下式計算可用下式計算 W=|F

2、| |S|cos 其中其中是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量 “數量積數量積”的概念。的概念。 第4頁/共25頁 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的，它們的 夾角為夾角為，我們把數量，我們把數量|a| |b|cos叫做叫做 a與與b的的數量積數量積（或（或內積內積），記作），記作ab ab=|a| |b| cos 規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數量積為零向量與任一向量的數量積為0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫 做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向 量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影 。 注意：向量注意：向量

3、的數量積是的數量積是 一個數量。一個數量。 第5頁/共25頁 第6頁/共25頁 第7頁/共25頁 第8頁/共25頁 向量的數量積是一個數量，那么它向量的數量積是一個數量，那么它 什么時候為正，什么時候為負？什么時候為正，什么時候為負？ ab=|a| |b| cos 當當0 90時時ab為正；為正； 當當90 180時時ab為負。為負。 當當 =90時時ab為零。為零。 注：a,b都是非零向量。 第9頁/共25頁 設設ba 、 是非零向量，是非零向量，be 是與 方向相同的方向相同的 單位向量，單位向量，ea 與 是的夾角，則的夾角，則 cos|) 1 (aeaae 0)2(baba |;|)

4、3 (bababa 同向時，與當 |;|bababa 反向時，與當 特別地特別地 2 |aaa aaa |或 2 a | cos)4( ba ba | )5(baba O A B a b B1 | cos| cosabababab 第10頁/共25頁 解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10 例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a與與b b的夾角的夾角 =120=120，求，求a ab b。 第11頁/共25頁 O A B |b|cos a b B1 ba 等于等于a 的長度的長度|a 方向上的投影在ab 與與 co

5、s|b 的乘積。的乘積。 第12頁/共25頁 練習：練習： 1 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向量b ，有，有a b= =0 2若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b0 3 3若若a 00，a b b = =0，則，則b= =0 4 4若若a b= =0，則，則a b中至少有一個為中至少有一個為0 5 5若若a0，a b= = b c，則，則a=c 6 6若若a b = = a c , ,則則bc, ,當且僅當當且僅當 a= =0 時成立時成立 7對任意向量對任意向量 a 有有 22 |aa 第13頁/共25頁 第14頁/共25頁 第15頁/共25頁 第16

6、頁/共25頁 二、二、平面向量的數量積的運算律平面向量的數量積的運算律： 數量積的運算律：數量積的運算律： cbcacba bababa abba )(3( )()()(2( ) 1 ( 其中，其中， cba 、是任意三個向量，是任意三個向量， R 注：注： )()(cbacba 第17頁/共25頁 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONM a+b b a c 向量a、b、a + b在c上的射影的數 量分別是OM、MN 、 ON, 證明運算律證明運算律(3) 第18頁/共25頁 例例 3：求證：求證

7、： （1）(ab)2a22abb2； （2）(ab)(ab)a2b2. 證明：證明：（1）(ab)2(ab)(ab) (ab)a(ab)b aabaabbb a22abb2. 第19頁/共25頁 例例 3：求證：求證： （1）(ab)2a22abb2； （2）(ab)(ab)a2b2. 證明：證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaab bb a2b2. 第20頁/共25頁 例例4、 2 ) (3 )2 ) (3 )abababab 求求（。 |6,|4,|6,|4,abababab 已已知知與與 的夾角為的夾角為 解解: 第21頁/共25頁 第22頁/共25頁 作業(yè)：作業(yè)： 第23頁/共25頁 3、用向量方法證明：直徑所對的圓周、