行列式的計算及應用

1、行列式的計算及應用+大學2014屆本科畢業(yè)論文論文題目:學生姓名:完成時間:*fe* H * 日所院系:數學科學學院所學專業(yè):數學與應用數學（金融方向）*導師姓名:行列式的計算及應用摘要在高等代數這門課程里,行列式是最基本而又重要的內容之一，同時也是數 學研究中的重要的工具之_ 在線性代數、數學分析、解析幾何等眾多課程理論中以及實際問題中許也發(fā)揮著重要作用，了解如何計算和應用行列式顯得尤為重本文首先闡述行列式的基本理論，在此研究的基礎上介紹了降階法，歸納法, 化三角形法等幾種常見的且有一定技巧的解行列式的方法，并列舉了相關的例 子，更直觀地了解解行列式方法的精髓。另外，本文又介紹了行列式在解析

2、幾何、 代數及其他課程當中的應用迸一步加深了對行列式的理解。最后本文又列舉實 例闡述行列式在實際當中的應用，實現了行列式的理論與實際相結合。研究行列 式的計算方法及其應用可以提高對行列式的認識，有利于把行列式的研究推向深 入。通過這一系列的方法可以迸一步提升對行列式的認識，為以后學習莫定了基 礎。關鍵詞：行列式，因式分解.化三角形法，歸納法,加邊法，Matlab軟件Determinant calculation and applicationAbstractThis course in advanced algebra, the determinant is one of the most b

3、asic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is particularly

4、important.This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understandin

5、g of the essence of the solution determinant method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve

6、 a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of meth

7、ods, laid the foundation for future learning*Keywords： determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software目錄1. 行列式的定義及性質11.1行列式的定義11.1.1 HE 列11.1.2 定義11.2行列式的相關性質12. 行列式的計算方法52.1幾種特殊行列式的結果52.1.1三角行列式52-1.2對角行列式52.2定義法52.3利用行列式的性質計算62.4降階法62.5歸納法72.6遞推法82.7拆項法92.8用

8、范德蒙徳行列式計算102.9化三角形法102.10加邊法112.11拉普拉斯翹的運用122.12行列式計算的Matlab實驗133.行列式的應用153.1行列式應用在解析幾何中153.2用行列式表示的三角形面積163.3應用行列式分解因式16173.5利用行列式來證明拉格朗日中值定理173.4利用行列式解代數不等式參考文獻1820附錄236行列式在實際中的應用總結 附錄附錄323謝辭241. 行列式的走義及性質1.1行列式的定義1.1.1排列在任意一個排列中,若前面的數大于后面的數,則它們就叫做一個逆瘵，在 任意一個排列中,逆瘵的總數就叫做這個排列的逆序數.1.1.2走義階行列式an ai2

9、ain就相當于全部不同行.列的個元素的乘積aijLa2j2 anjn(1-1-1)的代數和，這里jj2 -jn是1,2,/的一個排列,每一頂(1-1-1 )都按下列規(guī) 則帶有符號：當M J是偶幷洌時,(1-1-1 )是正值當M J是奇H洌時, (1-1-1 )是負值這一定義可以表述為=工 j山幾(1-1-2)這里表示對所有級排列求和.jjf jn由于行列指標的地位是對稱的,所以為了決定每一項的符號，我們也可以把 每一項按照列指標排起來，所以定義又可以表述為=工(-1)叫%0(1-1-3)1.2行列式的相關性質11 %記d=5山2a“nlnln2nn則行列式D叫做行列式D的轉置行列式.性質1行列

10、式和它的轉置行列式是相等的2】即D =D.證明：記D中的一般頂個元素的乘積是7它處于Q的不同行和不同列，所以它也處于D的不同行和不同列，在D中 應是所以它也是D中的一項反之，D的每一項也是D的一頂，即D和D有相同 的頂再由上面（1-2 ）和（1-3 ）可知這兩項的符號也相同，所以D =D.性質2kg2也26k%a”2 2勺“kjkcjka.證明：/ii2m%Clnn= kaiAil+kai2Ai2+- + ka,lAili= KailAil+ai2Ai2+-+ainA.t)性質3如果行列式的某行（列）的元素都為兩個數之和【2】,如+ q b2 + c2 bH + cn5a.2%那么行列式D就等

11、于下列兩個行列式的和:ain11 a!2仏D =b2bn+55Cln2%5 an2%可以參照性質2的證明得岀結論.性質4對換行列式中任意兩行的位置行列式值相反即若設anl anl ann則。=-D.證明：記D中的一般頂中的個元素的乘積是它在D中處于不同行、不同列,因而在卩中也處于不同行.不同的列,所 以它也是D,的一項反之，中的每一項也是D中的一項,所以D和D有相同 的頂，且對應的項絕對值相同.現在看該項的符號:它在D中的符號為（_ ）r（人上力山人）由于。是由交換Q的八R兩行而得到的所以行標的級排列12 7 4 變?yōu)椤凹壟帕衝-i -k-n，而列標的“級排列并沒有發(fā)生變化因此D和。中每 一對

12、相應的項絕對值相等，符號相反即Dl-D.性質5如果行列式中任有兩行元素完全相同,那么行列式為零.證明：設該行列式為D ,交換Q相同的那兩行,由性質4可得D = -D,故 0 = 0.性質6如若行列式中任有兩行或者兩列元素相互對應成比例,則行列式為 零.證明：設n階行列式中第/行的各個元素為第j行的對應元素的k倍，由性質 2 ,可以把R提到行列式外，然后相乘則剩下的行列式的第/行與第丿行兩行相 同再由性質5 ,最后得到行列式為零.性質7把任意一行的倍數加到另一行行列式的值不改變.2. 行列式的計算方法2.1幾種特殊行列式的結果2.1-1三角行列武=ana22 （上三角行列式）%（下三角行列式）2

13、.1-2對角行列武 ann2.2走義法例1用定義法證明ci2b2C.6*000b400055000=0.證明：行列式的一般項可表成% a2j：人%咳列標人，力，Js只能在123,4,5 中取不同的值,故 U 三個下標中至少有一個要取3,4,5中的一個數,則任意 一頂里至少有一個0為因子，故任一項必為零，即原行列式的值為零.03 c0aL2一即 ainai2023 chn120一心3 a2nai3-230ch,=230 一-一勺”0偽”0013=(-1)aL2_ni30a250冬”= (-1)5，-ama2n02.3利用行列式的性質計算例2 個階行列式Dn = |o.|的元素都滿足a. = -a

14、.,i, j = 1,2,那么 0叫做反對稱行列式，證明：奇數階的反對稱行列式的值等于0.證明：由山=-cijj 知 au = _aa ,即 ati =0J = 1,20CI12一勺3所以行列式2可寫為2 =120-CI.13冬30/lna2na3n,再由行列式的性當川為奇數時，得Dn = -Dn t因而得到D=0.2.4降階法例3計算（心2）級行列式心 X 0解：按第一列展開得到Xy000V0000Xy -00Xy -00:+ yx(_l 嚴-000 - Xy00 -y0000 -0X5-1)階00 - Xys-1）階原式=X=XXx”T + (-l)ST)xyx 嚴 + (1)(性(心2)

15、2.5歸納法形如行列式11 1 - 15D,嚴處 Ga；川L1門 /r-1門 /r-1小 /ra25ttn叫做階范德蒙(Vandermonde)行列式.下面證明,對每一個n(n 2), n階范德蒙行列式就等于衛(wèi)”衛(wèi)“這n個數的所有可能的差J (1 y / .a1：1L】an中，第行減第”-1行的勺倍，第1行減第2行的勺倍，即由下而上逐次地從每一行減它上一行的勺倍r得到11 10a2 - 1 一D” =0a； _ aia2& - a0cir cicici 3 a Ci、11a；-aAa25 - Cln 嘰%t _ %a；7_ a2町FT=（冬一 6）（一勺）ar勺）Cl最后面這個行列式是H- 1

16、級范德蒙德行列式,再由歸納法假設，它的值就是 6 - 5 djin）；而所有帶有5的差即為上式最后等式行列式的前面所以， 結論對級范德蒙德行列式也是成立的.由數學歸納法證明了結論.用連乘號,這個結果可以簡寫為11qdi1a.a：=口-勺）1 jin9（2-5-1）2.6遞推法給定一個遞推關系式,再給定某一個較低階初始行列式的值就可遞推求得所給階行列式的值，運用這種方法計算的方法就叫做遞推法。1an1115a2旳一個典型的例子是范德蒙德行列式.Dn=a；aa；分析:如果第一行全是把第一行變岀一排0其他位置將會變得不好掌握, 所以通過把第一列變岀一排0來降階；并且為了使降階后的行列式仍然具有原 來

17、的形式,不能用第一行的若干倍加到其他各行的辦法,而用逐行變零的方法.解：同上題第行減第-1行的倍，第”-1行減第2行的倍，即 由下而上逐次地從每一行減它上一行的勺倍，有13勺a； 一嘰匕一 6cr -clci“ /r-l r /r-23 一 色3yl n-2an - aiana；T_a占 aJcW= (a2-al)(a.-aly(an-ai)an；2=a 一 勺）a 一 勺）a-勺其中行列式Qt仍然是同樣形式的但階數少1的范德蒙德行列式，所以可以 按同樣的辦法反復降階從上面的計算知道,這樣的辦法做一次,岀現的因式是 第一列后面的每列的字母減去第一列的字母的差之積因此得Dn = a 一 6畑一

18、6）（-6）入=a -厲）a 一）a6）x（6 -）一）a -如仏 =（6-勺）（。3-勺）（色一勺）（6-冬）（勺一冬）（心一冬必（色一1）所以階范徳蒙德行列式為。二 -）jd2.7拆頂法把給定的行列式的某一行或者某一列的元素表述為兩數之和的形式,再根據 行列式的性質把原行列式表示為兩行列式的和的方法叫做拆項法把一個繁瑣的 行列式化簡為兩個簡單的行列式,把問題簡單化以便于計算.a2 色例4計算行列式D=也”.5a2 d”a2-5解：D” =5 a2 + a+05Cl2a”+心0a2- +心=4仇22” +九。L12.8用范德蒙德行列式計算122 2”32 37?2nn2例5計算Q = 3n解

19、：2中的各行元素都各自是一個數不同的方屛，方幕的次數從左到右依 次遞升,次數由1遞升至提取岀每一行的公因數，那么方屛的次數就由0増 至”-1 ,得到1 1 - 11 22 2“t Dn = h! 1 323心1 n irl上等式右端的行列式是階范德蒙德行列式，由(2-5-1 )公式得Dn =川(2 1)(3 _ 1)( 一 1) (3 2)(4 2)2)( 1)= n!(n-l)!(n-2)!-2!l!2.9化三角形法把原有的行列式簡化為上(下)三角形或者對角形或者階梯形行列式計算的 方法叫做化三角形法。Xnxk -m例6兀心7心.兀W 加解：將第2、3.、n列的元素都加到第一列上，提出公因式

20、，得原式二-加）1=1（工兀-加）1=1X2Xi m（工 一加）x2/=!1”1提取公因式亍兀-加）.1=1:1x2 一 mx2一八 + - （i = 2,3,，）（工兀一 m）-m-Hl階=（工兀一加）（5）1.1=12.10加邊法加邊法是把原來的行列式加上一行，一列然后再利用性質簡化進行計算的方法。它的一般做法是:1an10.00勺”w50a2nb2a21am0 atuib“ ami=?！?1 或久=S = =仇=1.特殊情況取旬=心= 讓我們以例6為例 IiX加邊得至10 兒-誌oxx - mx“x“心一加1 Xx20-m-1 -m 把第一行分別乘 1力口到第，行Q = 2,/ +1）

21、-10例7計算2階行列式2=” b；-10 0m (XI)階1X2 .亠mmm-110 0第i行提取（-7）（/ = 2,，兒 + 1）（加）-101 0-100 1(fi+丄)階n1 /=15X2 .土mmmm把第2列，第3列，第”+1列加到第一列-加）010 0001 0000 12.11拉晉拉斯定理的運用拉普拉斯定理:設任意取定行列式D中的klkn-l）個行挪么行列式D 就等于這k行元素所構成的所有R級子式和它們的代數余子式的乘積的和.解：由拉普拉斯展開定理,按照第1行和第2列展開得D”=W4b)DnT2(/7-1)階的行列式也按同樣方法展開得Dn =(啦也也久一叢)依次類推得Dtl=f

22、ja 一 bic.)i=l2.12行列式計算的Matlab實驗除了上述幾種常規(guī)方法,還可以借助一些數學軟件逬行計算,它不僅簡便易操作,而且計算效率高。求解方陣A的行列式時可調用det(A) 1 1兒1的絕對值.兒1證明：把平面中P（“,兒），Q（x2,y2）,兒）為三點擴充到三維空間里 設k是任意的常數.則:它的坐標分別為（心開,k）. （x2, y2，燈，厲兒，k） tPQ = (x2-xy2-yP0)f PR = (x3-xpy3-yp0)則PQPR = 0. Xz_A1 兒_牙)兒一PR sm S3.3應用行列式分解因式利用行列式分解因式主要在于構造 再根據行列式的性質來計算以便于提 取

23、公因式.例13解因式 %3 +x2 - x + 2 解:疋 +亍x+2 = x(x + l) (x 2)x2 x-21 x+l（把第一列加到第二列）x x + x 21 x+2(x + 2)(x-l)x+2（提取公因式）= 0 + 2)；(x l)=（% + 2X2 一 x + l）3.4利用行列式解代數不等式a + b + c例14求證不等式 abc,其中證明：要證明 d abc,只需證明cF+b+c 3abc 0 ；aci +b +c 一 3cibc= cbb ca b （把第二行、第三行各自加到第一行）c aa + b + ca+b+c a+b+=cabbcCl1 1 1=(a+ b +

24、 c)cabb c a=(a + b + c)(a2 +b2 +c2 -ab-bc-ac) =(a+ b + c)(a - by +(a- c)2 +(b- c)2a? + b +因為 abcw R3所以川+b+c 3abc n 0,故 abc得證.3.5利用行列式來證明拉格朗日中值走理卩】總結行列式從線性方程組的問題引出來，成為線性代數中一個最基本的工具.在 高深的高等數學領域里和現實生活里的實際問題當中，都有著直接或者間接的聯 系.行列式一般有很多種計算方法,綜合性要求也很高，比較靈活,這就要求我 們平時在學習當中多練習多總結一般常用來計算行列式的方法主要有降階法. 歸納法,化三角形法，范

25、德蒙德行列式等本文先從行列式的定義以及性質岀發(fā), 介紹了求解行列式比較基本的方法隨后又介紹了幾種比較常見的有技巧的方 法，如加邊法降階法、化三角形法等,加深了對行列式的研究最后還列舉了 用數學軟件Matlab求解行列式的方法,給求行列式帶來了極大的方便.行列式在數學科學領域中有著普遍的應用，本文介紹了行列式在解析幾何、 代數及其他課程中的應用通過這一系列應用逬一步提高對行列式的認識,為以 后的學習發(fā)揮著重大作用最后又列舉了行列式在現實中的應用，化抽象為具體, 更加深入理解行列式的作用.參考文獻1北京大學數學系幾何與代數教研小組編高等數學（第三版）ML2003.1-1202毛綱源線性代數解題方法技巧歸納M