拉普拉斯變換數(shù)學方法PPT學習教案

1、會計學1 拉普拉斯變換數(shù)學方法拉普拉斯變換數(shù)學方法 2021-8-12 第1頁/共46頁 2021-8-13 拉氏變換拉氏變換 第2頁/共46頁 2021-8-14 ,js , 1j ,js 22 rs arctan )sin(cosjrs j res sincosje j 第3頁/共46頁 2021-8-15 )()()(sjvsusG s 第4頁/共46頁 2021-8-16 js ),( ),( vv uu jvusG)( 例： js 2),( 1),( 22 vv uu 2) 1( 1)( 22 2 j ssG 第5頁/共46頁 2021-8-17 )()( )()( )( 1 1 n

2、 m psps zszsK sG 當sz1,zm時，G(s)=0，則稱z1,zm 為G(s)的零點； 當sp1,pm時，G(s)=，則稱p1,pm 為G(s)的極點。 第6頁/共46頁 2021-8-18 0 )()()(dtetfsFtfL st 有時間函數(shù)f(t)，t0，則f(t)的拉氏變換記作： Lf(t)或 F(s)，并定義為： (21) f(t)的拉氏變換F(s)存在的兩個條件： （1）在任一有限區(qū)間上， f(t)分段連續(xù)，只有有限個間斷點； （2）當t時， f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足 ： at Metf)( 該條件使得積分絕對值收斂。 第7頁/共46頁 2021-

3、8-19 j j stds esF j sFLtf )( 2 1 )()( 1 )( 1 sFL 已知f(t)的拉氏變換F(s)，求原函數(shù)f(t) 的過程稱作拉氏反 變換，記作： 定義為如下積分： 其中：為大于F(s)所有奇異點實部的實常數(shù)。 (22) 第8頁/共46頁 2021-8-110 0, 1 0, 0 )( 1 t t t 1 單位階躍函數(shù) 定義為： 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為： ss e dtettL st st 1 0 )( 1)( 1 0 第9頁/共46頁 2021-8-111 0, 0 0, )( t t t )0()()( 1)( 0 0 fdttft dtt 2 單位脈沖函

4、數(shù) 定義為： 單位脈沖函數(shù)的重要性質： 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為： 1 0 )()( 0 t edtettL stst 第10頁/共46頁 2021-8-112 0, 0, 0 )( tt t tf 3 單位斜坡函數(shù) 定義為： 單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為： 22 0 00 1 0 1 )( 0 s e s dt s e dt s e s e tdttetL st st stst st 第11頁/共46頁 2021-8-113 at etf)( 4 指數(shù)函數(shù) 定義為： 指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為： asas e dtedteeeL tas tasstatat 1 0 )( 0 )( 0 第12頁/共46

5、頁 2021-8-114 )( 2 1 sin tjtj ee j t 5 正弦函數(shù) 用歐拉公式表示為： 其拉氏變換為： 22 0 sinsin s dtettL st )( 2 1 cos tjtj eet 6 余弦函數(shù) 用歐拉公式表示為： 其拉氏變換為： 22 0 coscos s s dtettL st 第13頁/共46頁 2021-8-115 7 冪函數(shù)（作業(yè)） 其拉氏變換為： 1 0 ! n stnn s n dtettL 例： 33 2 2! 2 ss tL 常用時間函數(shù)的拉氏變換表，可通過直接查表求時間函數(shù)的 拉氏變換。 第14頁/共46頁 2021-8-116 1. 線性性質線

6、性變換 )()( )()()()( 2211 22112211 sFKsFK tfLKtfLKtfKtfKL (2-3) 第15頁/共46頁 2021-8-117 atatf, 0)( 2. 實數(shù)域的位移定理延時定理 (2-4) 其中f(t-a)是函數(shù)f(t)在時間上延 遲a秒的延時函數(shù)，且： )()(sFeatfL as 第16頁/共46頁 2021-8-118 )( 1 1 )( 1 1 )()()( 11 Tt T t T Ttftftf )1 ( 111 )( sTsT e Ts e TsTs tfL 圖示方波函數(shù)表達為： 利用單位階躍函數(shù)的拉氏變換，以及拉 氏變換的線性性質和延時定理

7、： 第17頁/共46頁 2021-8-119 )( 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( 44 )() 2 () 2 ()()( 2222 1111 Tt T T t T T t T t T Ttf T tf T tftftf )21 ( 4 4444 )()( 2 22 22 2 22 2 2222 sT T s sT T s T s ee sT e sT e sT e sTsT tfLsF 圖示三角波函數(shù)表達為： 利用單位斜坡函數(shù)的拉氏變換，以及拉 氏變換的線性性質和延時定理： 第18頁/共46頁 2021-8-120 - 0 1 ( )( ) 1 T st sT L f tf t e dt e

8、 2.4 拉氏變換的性質 3. 周期函數(shù)的拉氏變換 設f(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即： ()( )f tnTf t 則f(t)的拉氏變換為： 第19頁/共46頁 2021-8-121 ( )( ),( ( )()26 at f tF sa L ef tF sa 若的拉氏變換為則 對任一常數(shù)實數(shù)或復數(shù)），都有 （ ） 4. 復數(shù)域位移定理(也稱衰減定理) 2222 1 sincos ()() ! () atat at n n sa L etL et sasa n L et sa 復數(shù)域位移定理的應用： 第20頁/共46頁 2021-8-122 , 1 ()( )(2-7) a s L f a

9、tF aa 對于任意常數(shù) 有 2.4 拉氏變換的性質 5. 相似定理（也稱尺度定理） 第21頁/共46頁 2021-8-123 ( )( )( ) ( )( )(0 )2 8 (0 )( ) f tF sft L ftsF sf ff t 若時間函數(shù)的拉氏變換為，且其一階導數(shù)存在，那么 （ ） 其中是時間正向趨近于零時的值。 2.4 拉氏變換的性質 6. 微分定理 0 ( )( ) ( ) ( ) t f tF s F s Lf t dt s 假設的拉氏變換，則 7. 積分定理 第22頁/共46頁 2021-8-124 Back 8 終值定理終值定理 原函數(shù)原函數(shù)f(t)f(t)的穩(wěn)態(tài)性質的穩(wěn)

10、態(tài)性質 sF(s)sF(s)在在s=0s=0鄰域內的性質鄰域內的性質 第23頁/共46頁 2021-8-125 Back 9 初值定理初值定理 第24頁/共46頁 2021-8-126 ( )( ),( ) ( )( )(2-17) L f tF stf t d L tf tF s ds 若則函數(shù)的拉氏變換為 2.4 拉氏變換的性質 10. tf(t)的拉氏變換 ( )( ),( )/ ( ) ( )(2-18) s L f tF sf tt f t LF s ds t 若則函數(shù)的拉氏變換為 11. f(t)/t的拉氏變換 第25頁/共46頁 2021-8-127 0 () ( )( ) (

11、) t Lf tgdF s G s 2.4 拉氏變換的性質 12. 卷積定理 0 () ( )( )( ) t f tgdf tg t 函數(shù)f(t)和g(t)的卷積定義為： 拉氏變換的卷積定理：若 函數(shù)f(t)和g(t)滿足拉氏變換存在的 條件，則f(t)和g(t)的卷積的拉氏變換一定存在，且： 其中，函數(shù)f(t)和g(t)滿足：當t0時， f(t)=g(t)=0 第26頁/共46頁 2021-8-128 1. 1. 定義：從象函數(shù)定義：從象函數(shù)F(s)F(s)求原函數(shù)求原函數(shù)f(t)f(t)的運算稱的運算稱 為拉氏反變換。記為為拉氏反變換。記為 。 由由F(s)F(s)可按下式求出可按下式求

12、出 式中式中C C是實常數(shù)，而且大于是實常數(shù)，而且大于F(s)F(s)所有極點的實所有極點的實 部。部。 直接按上式求原函數(shù)太復雜，一般都用查直接按上式求原函數(shù)太復雜，一般都用查 拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)F(s)必須必須 是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。 )( 1 sFL )0()( 2 1 )()( 1 tdsesF j sFLtf jC jC st 2.5 拉氏反變換的數(shù)學方法 第27頁/共46頁 2021-8-129 第28頁/共46頁 2021-8-130 若若F(s)F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需

13、不能在表中直接找到原函數(shù)，則需 要將要將F(s)F(s)展開成若干部分分式之和，而這展開成若干部分分式之和，而這 些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。 例例1 1： 例例2 2：求：求 的逆變換。的逆變換。 解：解： ab ee tf bsasabbsas sF btat )( ) 11 ( 1 )( 1 )( 則 t etsFLtf sssss sF 1)()( 1 111 ) 1( 1 )( 1 22 ) 1( 1 )( 2 ss sF 第29頁/共46頁 2021-8-131 12 12 1212 ,: ( -)( -).( -) ( )(2-22)

14、( -)( -).( -) /;,.,.,( ) m n mmnm nm K s zs zs z F s s ps ps p Kbap ppz zzF s 如果則 式中：和分別式的極點和零點， 均為實數(shù)或共軛復數(shù)。 1 10 1 10 .( ) ( )(2-21) ( ). :(1,2,., ),(1,2,.,) mm mm nn nn ij b sbsbB s F s A sa sasa a in bjmnm 其中為實數(shù)，且。 第30頁/共46頁 2021-8-132 12 12 1 , ( -)( -).( -) ( ) ( -)( -).( -) 1( ) 2( ) m n nm K s

15、 zs zs z F s s ps ps p F s F srp 本節(jié)學習即表達成如下形式的象函數(shù)的拉氏反變換方法： 根據(jù)象函數(shù)的極點形式，分兩種情況進行討論： 、無重極點的情況； 、有 個重極點 ，其余極點各不相同的情況； 第31頁/共46頁 2021-8-133 12 12 12 ()( ) ( -) ( ) ( ) ( ).(2-24) ( )- ,., (1,2,., )(2-25) ( (1) ( ) ( )0 ) ) () ( i i iisp i i n n n is KKKB s F s A ss ps ps p K KK in dA s pA s F s B pB s Ks

16、p A s A p d A p s 無重極點的情況下，F(xiàn)(s)必定可展開成部分分式之和，即： 其中，為待定系數(shù)。 式中， 為的 無重極點 根， i p 。 -1 1 () ( ) ( )(2-27) () i n p ti i i B p f tL F se A p 第32頁/共46頁 2021-8-134 2 32 123 2 123 2 12 145551 2-6( ) 2122212 1( )0,-1-2-3 2 ( )() ( ) ( )62422()4()2()4 3 () ( )145551()10()-3( i i ss F s sss A sppp A sA p dA s A

17、sssA pA pA p ds B p B sssB pB pB 例 求的拉氏反變換。 令求解極點： ，； 求，計算： ， 計算； ， 3 123 -1-1-1-1-3 )12 () 4 () 2.51.53 5 2.51.53 ( ) ( )2.51.53 123 i i i ttt p B p K A p KKK f tL F sLLLeee sss 計算各分式待定系數(shù)：； ； 拉氏反變換： () () i i i B p K A p 第33頁/共46頁 2021-8-135 3124 11 21 ( )20(1)(3) 27( ). ( )(1)(1- )(2)(4) ( ), 11-2

18、4 ( )20()(2) (1)43 ( )( 2 )(1)(3) ( )20( )(2) (1- ) ( )(2 ) sj sj B sss F s A ssj sj ss KKKK F s sjsjss B sjj Ksjj A sjjj B sjj Ksj A sj 例 求拉氏反變換 解： 則 32 44 1-(1)(-1 43 (1)(3) ( )20 ( 1) 1 (2)5 ( )( 1)( 1)2 ( )20( 3)( 1) (1)3 ( )( 3)( 3) ( 2) 434-3-5-3 ( ) 11-24 ( ) ( )(43 )(4-3 ) s s j t j jj B s K

19、s A sjj B s Ksj A sjj jj F s sjsjss f tLF sj ej e 因此， )24 -()24 -24 53 4()3 ()53 (8cos6sin )53 j ttt tjtjtjtjttt ttt ee eeej eeee ettee ( ) ( -) ( ) i iisp B s Ks p A s 第34頁/共46頁 2021-8-136 11 1112112 1 11211 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )() ().() ( ) ( ). ()() 1 ) ( ) ) (2( 1 i r nrn nrrr rr rrn r F srp B sB

20、 s F s A saspspsp F s KKKKKK F s spspspspspsp K r F s 假如有 個重極點 ，其余極點均不相同，即： 那么可展開成如下部分分式之和： 其中： 有重極點的情況 1 1 1 1 ( )() (2-29) ! () ( )()(1,2,., )(2-30) () j r r sp r j jjsp j d F s sp ds B p KF s spjrrn A p 1 12 1-1-21112 1 12 ( ) ( ). (1)!(2)! . nrr p trr r p tptpt rrn KK f tLF sttKe rr KeKeK e 第35頁

21、/共46頁 2021-8-137 3 13511124 332 3 1122 3 1222 22 2 3 13 2 1 2.8( ) (2) (3) 1 ( ) (2)3(2) (0)(3)(2)(2) 11 ( )(2) (3)2 -(23)1 ( )(2) 4(3) 1 ( )(2) 2! ss ss s F s s ss KKKKK F s ssssssss KF s s s s ds KF s s dsss d KF s s ds 例： 求拉氏反變換。 解： 2 22 2 400 3 533 3 113 2!(3)8 11 ( ) 24(2) (3) 11 ( ) (3) 3(2) s

22、 ss ss d s sds KF ss ss KF ss s s 第36頁/共46頁 2021-8-138 32 1 2 2 2 2 3 2 2 3 -11311 ( ) 8(2)243(3)2(2)4(2) ( ) ( ) 11311 - 1311 () 4 2 24824 2 3 324 tttt tt F s sssss f tLF s t t tee eteee 所以， 第37頁/共46頁 2021-8-139 利用MATLAB中的函數(shù)residue將原函數(shù)展開成 部分分式，然后查拉氏變換的表格得到原函數(shù)。函數(shù) 格式： r,p,k=residue(b,a);%返回多項式b/a之比的部

23、分分 式展開項中的殘差、極點和直接項。 b,a=residue(r,p,k)；%將部分分式展開項還原成 多項式 第38頁/共46頁 2021-8-140 第39頁/共46頁 2021-8-141 2 2 9 2.9( ) 1 MATLAB: 44 ( )1 11 ( )( )44 tt s F s s F s SS f ttee 例求函數(shù)的原函數(shù) 解：根據(jù)計算得到 所以， 432 432 222 2321 2.10( ) 4762 MATLAB - 0.50.521121 ( )11 1-111(1)(1)1(1) ( )( )sin2 ttt ssss F s ssss jj F s sjs

24、jsssss f ttetete 例求原函數(shù)， 解：根據(jù)運行結果: 第40頁/共46頁 2021-8-142 第41頁/共46頁 2021-8-143 11 -10-10 11 ( )( ) 00 00 (2-33) (0 )(0 ) 1 ( ) ( )( )( )( )( ) 2 ( )( )( ) ( ) ( )( ) nnmm nnmm nnmm ii n d ydyd xdx aaa ybbb x dtdtdtdt xy A s Y sA sB s X sB s A sB sB s Y sX A sA s 對于一般的 階線性常系數(shù)非齊次微分方程， 考慮其初始條件和 根據(jù)微分定理進行拉氏變換，得： 解出象函數(shù)： -1-1-100 ( ) 3 ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ci s A sBsB s y tL Y sLLX sy ty t A sA s 拉氏反變換求得常微分方程的解： 第42頁/共46頁 2021-8-144 2 222 2.11( )( ) ( )( )( ) (0