數(shù)值分析常微方程數(shù)值解法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 數(shù)值分析常微方程數(shù)值解法數(shù)值分析常微方程數(shù)值解法 8-2 第1頁(yè)/共81頁(yè) 8-3 ),()( )1()()( nnn yyyxfyxfy或 ) 18( )( )(,()( 0 yay bxaxyxfxy yyLyxfyxf Lipschitzyxf ),(),( : )(),(條件李卜希茲滿足只要 第2頁(yè)/共81頁(yè) 8-4 2 22 0 2 2 2 2 4 4 4 41 2 2 2 21 2 2 1)0( x y x y x y cy c x y xdx y dy xy dx dy y xyy x 第3頁(yè)/共81頁(yè) 8-5 n xxx 10 0 )( )(,()( yay bxax

2、yxfxy 第4頁(yè)/共81頁(yè) 8-6 0 )( )(,()( yay bxaxyxfxy 第5頁(yè)/共81頁(yè) 8-7 )(,( 0000 xxyxfyy） P1 P2 y(x) P0 x2x1x0 N ab hNnnhxxn ), 1 ,0( 0 對(duì)等距節(jié)點(diǎn) )28(,2, 1 )( ),( 00 1 Nn yxy yxhfyy nnnn 第6頁(yè)/共81頁(yè) 8-8 ),( ),()(,(),( )(,(),(),( ),()(,( 1121 1111211122222 111111111 000010001 上在近似曲線而用 可得：相交于與 為斜率，可得切線：為切點(diǎn)，以再以 yxPP yxhfy

3、xxyxfyyyxPxx xxyxfyyyxfyxP yxhfyxxyxfyy ),( )(,(: )(,(:)(),( 111nnnnnnnnnn nnnnnnnn yxhfyxxyxfyyxx xxyxfyyxyyyx 相交得與 可作直線一般地假定已求出 ,.),.,2 , 1)()( , 10 10 Ni N yyyNixyxyy xxx 的近似值的初值問題的 與所對(duì)應(yīng)的微分方程出在重復(fù)上述過程，即可求 10 PP ：時(shí)，可求，當(dāng)近似以 1111 )(yxxxyy 第7頁(yè)/共81頁(yè) 8-9 )()( 2 ),( ),( ),(),( 2 1 1 局部的截?cái)嗾`差稱為 nnn nnnn nn

4、nnn xy h hxE yxhfyy hxEyxhfyy 11 2 ),( 2 )(,)( )( ! 2 )(,()( )( ! 2 )()()( nnnn nnnn yxfy nnnn yxyyxyh xy h xyxhfxy xy h xyhxyhxy ，并以的線性部分作為近似式取 第8頁(yè)/共81頁(yè) 8-10 3)-(8),( ),()( ),(),()( 1 ),()()( 1 )( 2 )()( 1 )( )( 2 )()( 1 )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 )( 111 1 111 ,1 11 1 011 010 nnnn nnnn nnnnn nnnnn n

5、nnn nnnn yxhfyy yxhfyxy yxfhxEyy h yxfhxEyy h y h xyxy h xf y h xyxy h xf f h yy h xf f h yy h xf )( 2 ),( 2 nn y h hxE 第9頁(yè)/共81頁(yè) 8-11 )( 3 )( )( 3 ),(2 )(,()( 6 )()( 2 1 )( )( )( 6 )( 2 1 )(: 3 3 11 2 11 2 021 nn nnnnn nnnnnn y h hxE y h yxhfyy xyxfy h xyxy h xy f h yy h xf ，去掉誤差項(xiàng) ， 也稱為中點(diǎn)法公式 還可利用三點(diǎn)公

6、式 4)-(8 ),(2 11nnnn yxhfyy 第10頁(yè)/共81頁(yè) 8-12 1 111 )(,()()( )(,()()()(,()( 1 1 n n n n n n n n x x nn x x nn x x x x dxxyxfxyxy dxxyxfxyxydxxyxfdxxy 所以 1 )(,( n n x x dxxyxf )(,(),( nnn xyxfyxf 公式為 則有 Euleryxhfy yxfxxyy nnn nnnnnn ),( ),()( 11 yf(x, y) xn x xn+1 圖8-2 第11頁(yè)/共81頁(yè) 8-13 y f(x, y) xn x xn+1圖

7、8-3 y f(x, y) xn x xn+1 圖8-4 ),(),(,(),( 1111111 nnnnnnnn yxhfyyxyxfyxf則有 5)-(8 ),(),( 2 )(,( 111 1 nnnnn x x nn yxfyxf h ydxxyxfyy n n 第12頁(yè)/共81頁(yè) 8-14 )( 2 ),( 2 nn y h hxE )( 2 ),( 2 nn y h hxE )(),( 1 p n hohxE 第13頁(yè)/共81頁(yè) 8-15 1 )(,( n n x x dxxyxf )(0)( 12 )( 12 ),( 3 33 hy h f h hxE n 第14頁(yè)/共81頁(yè) 8

8、-16 111 )(e nnn yxy 于是有記),(,()( ), 2 , 1 , 0( 2 )( 2 )(,()()( 1 22 11 nnnn nnnnn xyxhfxyy nM h y h xyxhfxyxyR 6)-(8 )( 2 1 )( 1 2 111 nn nnn xxyh yxyR 第15頁(yè)/共81頁(yè) 8-17 7)-(8 1 2 e )1()1(:)1( )( 1 )(1 abL n abL h ab n e L hM ehLhLabhn 所以： 從而有因?yàn)?n nnn nnnnnnn nnnnnnn nnnn nnn hLM h yxyhLR yxfxyxfhyxyR y

9、xhfyxyxhfxyR yyyxy yxy e)1( 2 )()1( ),()(,()( ),()(,()( )( )(e 2 1 1 1 1111 111 1)1( 2 1)1( 1)1( )1( 2 )1( 2 )1( 2 e 1 12 0 2 1 22 1 n n n k k nn hL L hM hL hLMh hLM h ehL Mh hLM h 第16頁(yè)/共81頁(yè) 8-18 )(lim 0 nn h xyy 第17頁(yè)/共81頁(yè) 8-19 第18頁(yè)/共81頁(yè) 8-20 8)-(8 ), 1 , 0( ),(),( 2 ),( )( 11 ) 1( 1 )0( 1 kyxfyxf h

10、 yy yxhfyy k nnnnn k n nnnn ) 1( 1 )( 1 ) 1( 11 )( 11 )( 1 ) 1( 1 2 ),(),( 2 k n k n k nn k nn k n k n yy hL yxfyxf h yy 第19頁(yè)/共81頁(yè) 8-21 法。改進(jìn)由此導(dǎo)出一種新方法 代一次，求解時(shí)，每步可以只迭太高，用公式 要求不。如果實(shí)際計(jì)算時(shí)精度求再利用 。時(shí)，或小于預(yù)先給定的 ，當(dāng)，對(duì)足夠大的計(jì)算出 復(fù)迭代，然后由第二個(gè)式子反，首先算出 ，按較大，如給定收斂。但這樣做計(jì)算量 時(shí)，迭代常數(shù)。因此，當(dāng)為其中 Euler yyx yyyy yykyy y yx hL Lipsc

11、hitzL kkk kk )88( ),( , )88( ),( 1 2 0 211 )( 11 ) 1( 1 )( 1 ) 1( 1 )( 1 )2( 1 ) 1 ( 1 )0( 1 00 第20頁(yè)/共81頁(yè) 8-22 9)-(8 ),(),( 2 ),( 111 1 nnnnnn nnnn yxfyxf h yy yxhfyy 校正 預(yù)測(cè) 10)-(8 )( 2 ),( ),( 211 112 1 kk h yy hkyxfk yxfk nn nn nn 第21頁(yè)/共81頁(yè) 8-23 y y f x f xyyxfxy xyhxyhxyhxyxy nnnnn )(),()( )( 2 1

12、)()()()( 2 1 注意到 )()( : )()( 2 )()()( 2 : )()()( )(,( )(,(),( )()(,(),( 3 11 3 2 211 2 1 112 1 hOyxy hOxy h xhyxykk h yy hOxyhxy y f hk x f hxyxf hkxyhxfhkyhxfk xyxyxfyxfk nn nnnnn nn nn nnnn nnnnn 于是 因此 第22頁(yè)/共81頁(yè) 8-24 的數(shù)值解。求初值問題 1)0( ) 10( y xyy 1, 9 .0, 2 .0, 1 .0, 1 .0 2 2 )( 2 : , 12 )1 ( :r )1

13、( : 10921 111 11 011 111 1 xxxxh y h h yyy h yy Euleryy yhyyy h y yhyyyEule yhhyyyEuler nnnnnn nnn n nnnn nnnn 取 梯形法 法計(jì)算可以利用才能開始，還要 只給定了中點(diǎn)法： 法后退 法解 隱式 隱式 第23頁(yè)/共81頁(yè) 8-25 第24頁(yè)/共81頁(yè) 8-26 Y =-y, y(0)=1的解的解y(1)的近似值的近似值(y(1)=0.367879) h歐拉法歐拉法后退歐拉法后退歐拉法中點(diǎn)法中點(diǎn)法梯形法梯形法 0.1.348678.385543.374310.367573 0.01.3660

14、33.369711.367944.367877 0.001.367700.368052.367879.367876 0.0001.367800.367800.367881.368020 第25頁(yè)/共81頁(yè) 8-27 第26頁(yè)/共81頁(yè) 8-28 第27頁(yè)/共81頁(yè) 8-29 )(,(*:*, ,),()(,( 11)-(8 )(,()()( ),( ) 10( )( )()( , )()( 1 1 1 1 hxyhxfkk xxhxyhxf hxyhxhfxyxy yxfy hxy h xyxy h xyxy nn nnnn nnnn n nn nn 即記作 上的平均斜率）稱作區(qū)間這里 ） 得

15、到解于是由微分方程 由微分中值定理開始我們從研究差商 第28頁(yè)/共81頁(yè) 8-30 )( 2 1 * 21 kkk 第29頁(yè)/共81頁(yè) 8-31 ) 10( llhxx nln ),( 1nn yxfk 1 lhkyy nln 第30頁(yè)/共81頁(yè) 8-32 12)-(8 ),( ),( )( 12 1 22111 lhkyxfk yxfk kckchyy nln nn nn )()( 3 11 hOyxy nn 13)-(8 )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 第31頁(yè)/共81頁(yè) 8-33 )()()( )(),(),(),(),( ),( )(),

16、( 2 2 12 1 hOxylhxy hOyxfyxfyxflhyxf lhkyxfk xyyxfk nn nnnnynnxnn nln nnn 由： 14)-(8 )()()()()( 32 2211 hOxylhcxycchxyy nnnn 15)-(8 2 1 1 2 21 lc cc 第32頁(yè)/共81頁(yè) 8-34 16)-(8 2 , ),( 1 2 12 1 21 k h yxfk yxfk hkyy n n nn nn 第33頁(yè)/共81頁(yè) 8-35 第34頁(yè)/共81頁(yè) 8-36 )( 3322111 kckckchyy nn )( 2211 kbkbmhyy nmn )(,(),

17、( 22112 kbkbmhymhxfyxfk nnmnmn 第35頁(yè)/共81頁(yè) 8-37 17)-(8 )(,( ),( ),( )( 22113 12 1 3322111 kbkbmhymhxfk lhkylhxfk yxfk kckckchyy nn nn nn nn 第36頁(yè)/共81頁(yè) 8-38 18)-(8 6 1 3 1 2 1 1 1 23 2 3 2 2 32 321 21 lmbc mclc mclc ccc bb 19)-(8 )2,( 2 , 2 ),( )4( 6 213 12 1 3211 hkhkyhxfk k h y h xfk yxfk kkk h yy nn

18、nn nn nn 第37頁(yè)/共81頁(yè) 8-39 20)-(8 ),( ) 2 , 2 ( 2 , 2 ),( )22( 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy ii ii ii ii nn 第38頁(yè)/共81頁(yè) 8-40 2 2 1 2 2 , 2 2 1 2 12 , 2 ) 2 , 2 ( ),( )22()22( 6 324 213 12 1 43211 hkhkyhxfk hkhky h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 第39頁(yè)/共81頁(yè)

19、 8-41 1) 0 ( 10 2 y x y x yy )( 2 2 2 211 1 1 12 1 kk h yy hky x hkyk y x yk nn n n n n n n 第40頁(yè)/共81頁(yè) 8-42 1 12 1 2 ) 2 (2 ) 2 ( 2 k h y h x k h yk y x yk n n n n n n )(2( 6 )(2 )( 2 ) 2 (2 ) 2 ( 43211 3 34 2 23 kkkk h yy hky hx hkyk k h y h x k h yk nn n n n n n n 第41頁(yè)/共81頁(yè) 8-43 第42頁(yè)/共81頁(yè) 8-44 第43頁(yè)

20、/共81頁(yè) 8-45 第44頁(yè)/共81頁(yè) 8-46 5 11) (chyxy h nn 第45頁(yè)/共81頁(yè) 8-47 ， 2 1 h n y )( 15 1 )( 16 1 )( )( 2 2)( 1 2 1 2 11 2 1 11 2 11 5 2 11 h n h n h nn h n h nn h nn h nn yyyxy y yxy yxyh cyxy 的事后誤差估計(jì)式：由此得 故： 第46頁(yè)/共81頁(yè) 8-48 否合適。具體做法是：，從而判斷所選步長(zhǎng)是 ，檢查偏差：半前后兩次計(jì)算的結(jié)果這樣，可以通過步長(zhǎng)折 1 2 1 h n h n yy )( 11) ( h nn yxy 2 /

21、 1 2 / 1 1 kk h n h nk yy 2/ 11 k h nn yy 即可取 第47頁(yè)/共81頁(yè) 8-49 0)0( 10 , 2 y xey KR yx 法解初值問題：用變步長(zhǎng)四階標(biāo)準(zhǔn) 2 1e ln 2 x y 第48頁(yè)/共81頁(yè) 8-50 第49頁(yè)/共81頁(yè) 8-51 21)-(8 )( 011 1101 rnrnn rnrnnn fffh yyyy 第50頁(yè)/共81頁(yè) 8-52 )(,()(xyxfxy 22)-(8 d)(,()()( 1 1 n n x x nn xxyxfxyxy )()( 2 1 )( ! 2 1 )( 11 2 2 nnnnn x xxxxyxx

22、xx dx fd xR n )()(,( 1 11 1 xRf xx xx f xx xx xyxf n nn n n nn n ） 第51頁(yè)/共81頁(yè) 8-53 于是得差分公式表示近似值并仍用截去誤差 ，則得：將上式代入式 ),(d)( d)()3( 2 )()()228( 1 1 11 nnn x x x x nnnn yxffxxR xxRff h xyxy n n n n 示公式。為一個(gè)二階阿當(dāng)姆斯顯可見公式 據(jù)積分中值定理可得： 其局部截?cái)嗾`差為： )238( ),( ),( 12 5 d)()( 2 1 d)()( 2 1 d)( 23)-(8 )3( 2 11 3 11 11 1

23、1 1 11 nnnn x x nnnn x x nnn x x n nnnn xxyhxxxxxyR xxxxxyxxRR ff h yy n n n n n n 第52頁(yè)/共81頁(yè) 8-54 24)-(8 ),( )( )( 1 )2(2 1 1101 nrnnn rr r rnrrnrnr r nn xxyhT fBfBfB A h yy 第53頁(yè)/共81頁(yè) 8-55 25)-(8 ),( )( )( 11 ) 2(2 1 * 1 1 * 0 * 1 1 * 1 nrnnn rr r rn rr n r n r r nn xxyhT fBfBfB A h yy 第54頁(yè)/共81頁(yè) 8-5

24、6 第55頁(yè)/共81頁(yè) 8-57 26)-(8 ),( ),( 720 251 )9375955( 24 13 55 1 3211 nnnnn nnnnnn xxyhR ffff h yy 第56頁(yè)/共81頁(yè) 8-58 27)-(8 ),( )( 720 19 )5199( 24 12 55 2111 nnnn nnnnnn xxyhT ffff h yy 28)-(8 ),( )5199( 24 ),( )9375955( 24 111 2111 111 3211 nnn nnnnnn nnn nnnnnn yxff ffff h yy yxff ffff h yy 校正 預(yù)測(cè) 第57頁(yè)/共

25、81頁(yè) 8-59 第58頁(yè)/共81頁(yè) 8-60 )( 720 19 )( 720 251 )5(5)5(5 nn yhyh和 19 251 )( )( )( 720 19 )( )( 720 251 )( 11 11 )5(5 11 )5(5 11 nn nn nnn nnn cxy pxy xyhcxy xyhpxy 所以： 第59頁(yè)/共81頁(yè) 8-61 )( 270 19 )( )( 270 251 )( 1111 1111 nnnn nnnn cpcxy cppxy )( 270 19 )( 270 251 : 111 111 nnn nnn cpc cpp 和 因此，可以期望用 第60

26、頁(yè)/共81頁(yè) 8-62 29)-(8 ),( )( 270 19 )5199 ( 24 ),( )( 270 251 )9375955( 24 111 1111 2111 111 11 3211 nnn nnnn nnnnnn nnn nnnn nnnnnn yxff cpcy fffm h yc mxfm cppm fff h yp 計(jì)算 修正校正值 校正 計(jì)算 修正預(yù)測(cè)值 預(yù)測(cè) 第61頁(yè)/共81頁(yè) 8-63 )( 11011221101 nnnnnnn yyyhyyayy 2 0 1 1 1 )()()( jj jnjjnjn xyhxyxyT 5) 5 ( 112 5 1 4) 4( 1

27、12 4 1 3) 3 ( 112 3 1 2 112 2 1 10121210 )( ! 5 1 )( 5)21()( ! 4 1 )( 4)21( )( ! 3 1 )( 3)21()( ! 2 1 )( 2)21( )()()21()()1 ( hxyhxy hxyhxy hxyxyT nn nn nn 第62頁(yè)/共81頁(yè) 8-64 14416 1338 1224 12 1 1121 1121 1121 10121 210 )179( 24 1 )1418( 24 1 )9( 24 1 )1 ( 24 3 )1 ( 24 27 11 1011 1210 第63頁(yè)/共81頁(yè) 8-65 30

28、)-(8 )( 40 1 )2(39 8 1 ) 5(5 1121 n nnnnnn xyhT yyyhyyy )( 2211033221101 nnnnnnnn yyyhyyyayy 31)-(8 )( 45 14 )2( 3 4 )5(5 2131 n nnnnn xyhT yyy h yy 第64頁(yè)/共81頁(yè) 8-66 32)-(8 ),( )2(39 8 1 ),( )22( 3 4 111 1121 111 2131 nnn nnnnnn nnn nnnnn yxfy yyyhyyy yxfy yyy h yy 計(jì)算 校正 計(jì)算 預(yù)測(cè) 第65頁(yè)/共81頁(yè) 8-67 33)-(8 ),

29、( )( 121 9 )2(39( 8 1 ),( )( 121 112 )22( 3 4 111 1111 1121 111 11 211 nnn nnnn nnnnnn nnn nnnn nnnnn yxfy pccy yymhyyc mxfm cppm yyy h yp 計(jì)算 修正校正值 校正 計(jì)算 修正預(yù)測(cè)值 預(yù)測(cè) 第66頁(yè)/共81頁(yè) 8-68 34)-(8 )( ),( )( ),( 00 00 vxvvuxv uxuvuxu TTT vuyyxfvuxy),( ),(),( ,),()( 000 35)-(8 , )( ),( 00 yxyyxfy 第67頁(yè)/共81頁(yè) 8-69 )

30、,( ),( 1 1 nnn nnn n n n n vux vux h v u v u ),( ),( 1 1 nnnnn nnnnn vuxhvv vuxhuu 22 6 , 2 , 2 2 , 2 ),( 43211 4 4 34 3 3 23 2 2 12 1 1 1 KKKK h yy l k hKyhxfK l k K h y h xfK l k K h y h xfK l k yxfK nn nn nn nnnn ),( 1nnnn yxhfyy 第68頁(yè)/共81頁(yè) 8-70 )368 ( 22 6 22 6 ),( ),( 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 ),( ),( 4321143211 334334 223223 112222 11 llll h vvkkkk h uu hlvhkuhxlhlvhkuhxk l h vk h u h xll h vk h u h xk l h vk h u h xll h vk h u h xk vuxlvuxk nnnn nnnnnn