大學(xué)化學(xué)第07章-生命化學(xué)基礎(chǔ)

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 第七節(jié)第七節(jié) 周期為周期為2L2L的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù) 定理:設(shè)周期為2L的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件,則 1 0 )sincos( 2 )( n nn l xn b l xn a a xf 它的傅立葉級數(shù)展開式為: :,為其中系數(shù) nn ba ,.)2, 1 ,0(cos)( 1 ndx l xn xf l a l l n ,.)2, 1(sin)( 1 ndx l xn xf l b l l n 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 當(dāng)f(x)為奇函

2、數(shù)時(shí): ,.)2 , 1(sin)( 2 0 ndx l xn xf l b l n 1 sin)( n n l xn bxf 其中系數(shù)bn為: 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí): 1 0 cos 2 )( n n l xn a a xf 其中系數(shù)an為:,.)2 , 1 , 0(cos)( 2 0 ndx l xn xf l a l n 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 證明說明: , l x z 只要令 )(:, l x zlxl換成把 )()()(zF lz fxf ,2)(滿足狄里克雷條件的周期函數(shù)為周期為zF 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院

3、數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 :)(展開成傅立葉級數(shù)把zF 1 0 )sincos( 2 )( n nn nzbnza a zF nzdzzFbnzdzzFa nn sin)( 1 ,cos)( 1 其中 于是有并注意到在上述的式中令),()(.xfzF l x z 1 0 )sincos( 2 )( n nn l xn b l xn a a xf l l n l l n dx l xn xf l bdx l xn xf l a sin)( 1 cos)( 1 而且 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例1 設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù),它在-2,2)上表

4、達(dá)式為: f(x)= 0, -2x0 k. 0 x2 (常數(shù)k0),把f(x)展開成傅立葉級數(shù). 解: 此時(shí)L=2 )0(0 2 sin 2 cos 2 1 2 0 2 0 n xn n k dx xn kan kkdxdxa 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 2 0 2 0 2 cos 2 sin 2 1xn n k dx xn kbn = ,.6 , 4 , 2, 0 ,.5 , 3 , 1, 2 n n n k )cos1 ( n n k 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理

5、系 .) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 )( xxxkk xf 0 x y k 2-2 其圖形如下 ,.)4, 2, 0,(xx 2 ,.4, 2, 0 k x收斂于在 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 一一 定義在區(qū)間定義在區(qū)間-L,L-L,L上函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開上函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開 把函數(shù)f(x)展開為傅里葉級數(shù)的步驟是: 1.確定函數(shù)f(x)的周期2L,以及它在-L,L上的奇偶性, 或者根據(jù)題意確定對0,L上函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓還是 偶延拓. 2.選定相應(yīng)公式準(zhǔn)確計(jì)算f(x)的傅里葉系數(shù)an,n=0,1

6、,2,. 與bn,n=1,2,并寫出相應(yīng)的傅里葉級數(shù). 3.根據(jù)狄里克雷定理寫出所得到的傅里葉級數(shù)的和函 數(shù)S(x). 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 給定函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開應(yīng)注意如下幾點(diǎn): (1)準(zhǔn)確確定函數(shù)f(x)的周期,與判斷它的奇偶性, 對于傅里葉級數(shù)的計(jì)算是很重要的. 由定積分性質(zhì)可知,若f(x)在-L,L上是奇函數(shù) 或偶函數(shù),則計(jì)算傅里葉系數(shù)就簡單些.它只是正 弦級數(shù),或者是余弦級數(shù). 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 如果函數(shù)f(x)在-L,L上沒有奇,偶性特性,則可經(jīng)過 (2)準(zhǔn)確掌握函數(shù)f(x

7、)的傅里葉系數(shù)和傅里葉級數(shù)的 坐標(biāo)變換由函數(shù)f(x)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù)F(x), 然后把F(x)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù),再經(jīng)過逆 變換得到原來函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù). 公式 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 ,.)2,1 ,0(cos)( 1 ndx l xn xf l a l l n 設(shè)函數(shù)f(x)在-L,L上可積,則f(x)的傅里葉系數(shù) 以這些系數(shù)組成的函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)為 1 0 )sincos( 2 )( n nn l xn b l xn a a xf ,.)2,1(sin)( 1 ndx l xn xf l b l l n 高等數(shù)

8、學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 對于以2L為周期的函數(shù)g(x),由定積分的周期性性 la a l l dxxgdxxg 2 )()( 常常把以2L為周期的周期函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù) 質(zhì)可知,不論a是什么值,都有 中積分化為從0到2L的積分.這樣使積分簡單. 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (3)不要把函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)與f(x) )(xS )(xfx為f(x)的連續(xù)點(diǎn) x為f(x)的第一類間斷點(diǎn) x為區(qū)間的邊界點(diǎn) 本身相混同. 當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間-L,L上滿足狄里克雷定理?xiàng)l件 時(shí),它的傅里葉

9、級數(shù)必定收斂,且其和函數(shù)S(x) )0() 0( 2 1 xfxf )0() 0( 2 1 lflf 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 因?yàn)楦道锶~級數(shù)通項(xiàng)的周期性,所以傅里葉級數(shù)必 能以2L為周期延拓到-L,L之外,使其對任何實(shí)數(shù)x 都收斂,因此它的和函數(shù)S(x)也是定義在實(shí)數(shù)軸上 以2L為周期的函數(shù),即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定 義在-L,L上,則-L,L之外的f(x)的傅里葉級數(shù)的 和函數(shù)S(x)與函數(shù)f(x)無關(guān). 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (4)利用給定函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)展開式

10、可以求某些數(shù)項(xiàng) 例 ),0(sin)(),0(, 0)(xxxfxxf設(shè) 級數(shù)的和值.在某個(gè)傅里葉級數(shù)等于其和函數(shù)的等式中,令 變量x取某個(gè)特定值,即得到所求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和值 .)().()2(的傅里葉級數(shù)試求且xfxfxf 在整個(gè)實(shí)數(shù)軸的周期函數(shù)周期為顯然分析)(2,:xf 它的傅里葉級數(shù)的系數(shù)上連續(xù). 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 nxdxxfancos)( 1 00 ) 1sin() 1sin( 2 1 cossin 1 dxxnxnnxdxx , 3 , 2 , 0 ) 1( ) 1(1 1 ) 1cos( 1 ) 1cos( 2 1 2 1

11、0 n nn xn n xn n 0 1 0cossin 1 xdxxa 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 0 , 3 , 2, 0sinsin 1 sin)( 1 nnxdxxnxdxxfbn 在求傅里葉系數(shù)an,bn時(shí),發(fā)現(xiàn)在n=1時(shí)沒有意義,故要 0 1 2 1 sinsin 1 xdxxb xnx n xxf n n cos ) 1( ) 1(1 sin 2 11 )( 2 2 再單獨(dú)計(jì)算. 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 二二 定義在區(qū)間定義在區(qū)間0,L0,L上函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開上函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開

12、 定義在區(qū)間0,L上函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)展開,通常有以 下幾種情況: (1)把f(x)在0,L上展開成正弦級數(shù). 這時(shí),要把f(x) x0,L,奇延拓到-L,0上,在-L,L上構(gòu)造一個(gè)奇函 數(shù)F(x),把該奇函數(shù)F(x)在-L,L上展開為傅里葉級數(shù), 然后限制在0,L上. 即為所求的正弦級數(shù). 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (2)把f(x)在0,L上展開成余弦級數(shù). 這時(shí),應(yīng)把f(x), x0,L,奇延拓到-L,0上,在-L,L上構(gòu)造一個(gè)偶函數(shù) F(x), 在-L,L上展開為傅里葉級數(shù),然后限制在0,L上. 即為所求的余弦級數(shù). (3)把f(x)

13、在(0,L)內(nèi)展開為以周期為2L的傅里葉級數(shù). 這時(shí),在區(qū)間-L,L上構(gòu)造一函數(shù)F(x),使它在0,L上 F(x)=f(x),在-L,0)上可以定義F(x)為任意函數(shù),特別定義 F(x)=0,即 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 )(xF 00 0)( xl lxxf 當(dāng)然,也可定義 )(xF lxl lxxf 20 0)( 把擴(kuò)充后的函數(shù)F(x)在-L,L上展開為傅里葉級數(shù),然后 限制在(0,L)上即為所求的傅里葉級數(shù),往往它既含有正 弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng). 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (4)把f(x)在0,

14、L上展開為以L為周期的傅里葉級數(shù). , 2 , 1 , 0 2 cos)( 2 0 nx L n xf L a L n 它與前三項(xiàng)工作不同的是:前面的函數(shù)展開工作是以2L 為周期; 這里以L為周期,且所得到的傅里葉級數(shù)既含有 正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng). 本項(xiàng)工作只要注意到f(x)的以L 為周期的周期性,便得到相應(yīng)的傅里葉系數(shù)公式為 , 2 , 1 2 sin)( 2 0 nx L n xf L b L n 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例2 把圖所示的函數(shù)展開成正弦級數(shù) y 2 0 2 l x px y(x)是定義在0,L上的函數(shù),要把它展開成 正弦級數(shù)

15、,必須對y(x)進(jìn)行奇延拓,我們計(jì)算延 拓后的函數(shù)的傅立葉系數(shù) 0 x y 2 l 4 pl L 解: lx lxlp 2 , 2 )( 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 dx l xn xy l b l n 0 sin)( 2 sin 2 )( sin 2 2 2 2 0 dx l xnxlp dx l xnpx l l l l 則令對上式右端的第二項(xiàng),xlt )( sin 2 sin 2 2 2 0 2 0 dt l tlnpt dx l xnpx l b ll n sin 2 )1(sin 2 2 2 0 1 2 0 dt l tnpt dx l

16、xnpx l l n l 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 .0,.6,4,2 n bn時(shí)當(dāng) dx l xn x l p bn l n 2 0 sin 2 4 ,.5,3, 1 時(shí)當(dāng) 2 sin 2 22 n n pl .) 5 sin 5 13 sin 3 1 (sin 2 )( 222 l x l x l xpl xf )0(lx 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例3 設(shè)f(x)=x2 (0 x), 把f(x)在0,上分別 )3 , 2 , 1 , 0(0nan 先把f(x)作奇延拓,則 展開成正弦級數(shù)和余弦

17、級數(shù) 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 0 2 0 sin 2 sin)( 2 nxdxxnxdxxfbn )cos2|cos) 1 ( 2 0 0 2 nxdxxnxx n 0 0 2 sin 2 |sin 2 ) 1( 2 nxdx n nxx nn n 33 1 44 ) 1( 2 ) 1( nnn nn 0 3 1 |cos 42 ) 1(nx nn n ), 0sin) 2 () 1( 2 2 )( 2 3 1 3 xnx nnn xf n n 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 其次把f(x)作偶延拓 x

18、dxxa 2 0 2 0 3 22 xnxdxxnxx n nxdxxan 0 0 2 0 2 sin2|sin 2 cos 2 0 2 0 2 4 ) 1(cos|cos 4 n nxdxnxx n n nx n xf n n cos 4 ) 1( 3 )( 1 2 2 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 上面把f(x)=x2在0,上展開成正弦級數(shù)或余弦級 數(shù),是把f(x)作奇延拓或偶延拓,所以得到的正弦級數(shù) 或余弦級數(shù)都是以2為周期的傅里葉級數(shù).如果要 把f(x)=x2在0,)上展開成以為周期的傅里葉級 數(shù),解法就不同,這時(shí)傅里葉系數(shù)為 2 0 2 0

19、 0 3 22 )( 2 1 dxxdxxfa 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 nxdxxdx xn xfan2cos 2 2 cos)( 2 1 0 2 0 0 0 2 2sin2|2sin 1 nxdxxnxx n 0 0 2cos 1 |2cos 1 1 nxdx n nxx nn 2 0 2 1 2sin 2 1 1 n nx nn 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 0 0 2 0 2 2cos2|2cos 1 2sin 2 nxdxxnxx n nxdxxbn 0 0 2 2sin 1 |2sin 1 1 nxdx n nxx nn n nx nn 0 2 2 |2cos 2 1 1 ), 0()2sin2cos 1 ( 3 )( 1 2 2 xnx n nx n xf n 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 由本例可見,對于同一個(gè)函數(shù),可根據(jù)需要 采用不同的方式展開為相應(yīng)形式的傅里 葉級數(shù).盡管上述的形式不同,但在(0,) 上都表示同一個(gè)函數(shù)f(x)=x