數(shù)學(xué)物理方程與特征函數(shù)-01

1、數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 課程的內(nèi)容：解偏微分方程 拉普拉斯方程： 熱傳導(dǎo)方程： 波動方程： 0 2 u ua t u 22 ua t u 22 2 2 哈密爾頓算子，讀作del k z j y i x 2 2 2 2 2 2 2 zyx ， 2 2 2 2 2 y u x u u uugradAA divAA rot 拉普拉斯算子 三類偏微分方程 兩種特殊函數(shù) 貝賽爾 0)( 222 ynxyxyx 勒讓德 0) 1(2)1 ( 2 ynnyxyx )(xJn )(xP n 2 2 2 2 2 2 xyx 為什么要專門研究這三類方程 拉普拉斯方程： 熱傳導(dǎo)方程： 波動方程： 空間的靜電場分布

2、熱傳導(dǎo)中的溫度分布 琴弦的振動 靜磁場分布、穩(wěn)定溫度場分布 流體的擴散、粘性液體的流動 桿、膜、液體、氣體等的振動 電磁場的振蕩 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 其它原因 這些方程是如何導(dǎo)出的 確定所要研究的物理量u，比如位移、場強、溫度 根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程 對方程進行化簡，工程近似 靜電場 電勢u 確定所要研究的物理量： 根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程： Eu / E )(uE / 2 u0 2 u 對方程進行化簡： uu 2 / 拉普拉斯方程 泊松方程 非齊次的拉普拉斯方程 次、階、元 熱傳導(dǎo) 確定所要研究的物理量：溫度 ),(tzyxu 根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程并化簡： 在dt時間內(nèi)從dS流入V

3、的熱量為： tS n u kQddd 從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 tSukQ t t S d d 2 1 1 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） tSnukddtSukd d VS VSd dAA tVuk t t V dd 2 1 2 tVuktSukQ t t V t t S ddd d 2 1 2 1 1 tVukQ t t V dd 2 1 2 1 ),( 1 tzyxu),( 2 tzyxu VtzyxutzyxucQ V d),(),( 122 21 QQ 流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 2 1 2 1 dddd 2 t t V t t V tV

4、 t u ctVuk t u cuk 2 u c k t u 2 0 2 ufua t u 22 流入的熱量： 溫度發(fā)生變化需要的熱量為： Vt t u c V t t dd 2 1 2 1 dd t t V tV t u c ua 22 彈簧的振動 x txu ExT ),( )( x txu E x txxu ExTxxT ),(),d( )()d( maF 2 2 2 2 ),( d ),( d t txu x x txu xE 2 2 2 2 ),( x txuE t u 2 2 ),( d x txu xE x x txu x txxu xE d ),(),d( d xkF x tx

5、u ExT ),( )( 弦的振動 橫向位移為 u 橫向速度為 t u 橫向加速度為 2 2 t u 2 2 dsinsin t u xTT maF coscosTT 0 ! 4! 2 1cos 42 1cos1cos TT 2 2 dsinsin t u x T 橫向 縱向 2 2 dsinsin t u x T 2 tan1 tan sin x u 2 2 2 2 2 2 2 x u a x uT t u f x u a t u 2 2 2 2 2 tan x txu x txxu t u x T ),(),d( d 2 2 x x txu x txxu x d ),(),d( d 2 2

6、 ),( d x txu x 什么是方程的解 古典解：如果將某個函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成 為恒等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的解，也 就古典解。 通解： 如果解中含有相互獨立的和偏微分方程階數(shù)相同的 任意常數(shù)，稱為通解。 特解： 通過約束條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的為特解。 形式解：未經(jīng)過驗證的解為形式解。 方程分類 階數(shù)：拉普拉斯方程、熱傳導(dǎo)方程、波動方程 0 2 uua t u 22 ua t u 22 2 2 次數(shù)： 線性方程、非線性方程，齊次方程、非齊次方程 0 111 fcuubua iji x n i i n j n i xxij x x u a t u 2 2 2

7、 2 2 22 2 22 uu au xt 2 2 2 uu axu xt 2 22 11 0 uu 2 22 11 sin( ) sin uu rr rrrr 線性方程具有疊加特性 ii fLu ffi uui fLu 0 i Lu uui 0Lu 定解條件 初始條件： 邊界條件： 初始位置、初始溫度 )0 ,(xu 初始速度 t xu)0 ,( 第一類邊界條件，固定端、恒溫端、恒壓端 0|),( Sax uutauftau),( 第二類邊界條件，自由端、絕熱端 0 ),( x tau 第三類邊界條件，彈性支承端、熱交換端 ),( ),( taku x tau T 0),( ),( ),( ),( tau x tau tau T k x tau 1 d d x u Cxu3)0(u3 xu 定解問題 波動