數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學解題中的應用

1、數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學解題中的應用（湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002）1.引言數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學知識的本質(zhì)之一、基礎之一，也是重點之一，它為分析、處理和解決數(shù)學問題提供了指導方針和解題策略。所謂數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關(guān)系，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，并且解法簡便。在國內(nèi)，我國數(shù)學方法論的倡導者、數(shù)學

2、家徐利治陸續(xù)發(fā)表了淺談數(shù)學方法論、數(shù)學方法論宣講等論著，并提出了很多創(chuàng)新性的觀點，在數(shù)學界中引起了強烈的共鳴；在國外，日本著名數(shù)學家、教育家米山國藏發(fā)表了數(shù)學的精神、思想與方法，系統(tǒng)論述了貫穿于整個數(shù)學的數(shù)學精神、重要數(shù)學思想與若干有效的數(shù)學方法?？v觀國內(nèi)外數(shù)學思想方法方面研究的現(xiàn)狀，可以看出，雖然很多數(shù)學專家對于數(shù)學思想方法的含義及教學有過很深層次的探討，且有了較為明顯的成效，但在新課程改革不斷發(fā)展的今天，這方面的研究工作還有待于完善，更重要的是要真正的實踐到教學中去。作為一名高中數(shù)學教師，在近兩個多月親身高中數(shù)學教學實踐中，我發(fā)現(xiàn)高中學生大多數(shù)把數(shù)形結(jié)合等同于“借助圖象來解題”，對數(shù)形結(jié)合

3、的背景知識知道的非常少。而且有些老師只重視知識的傳授或是進行大運動量的習題訓練，一些數(shù)學思想往往會被忽視。由此引發(fā)了我的思考，同時我也在學術(shù)期刊網(wǎng)上下載了幾十篇進行研讀。根據(jù)近期我所研讀的材料可以概括出數(shù)形結(jié)合主要包含“以形助數(shù)”、“以數(shù)輔形”和“數(shù)形互動”三個方面。數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，能否有意識地運用數(shù)形結(jié)合思想方法解答數(shù)學問題，是衡量學生數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力的重要指標，而讓學生真正掌握、熟練的運用才是最終的目的。通過研讀材料以及在高中數(shù)學教學中的了解和親身實踐，于是從便于學生解題方面以及培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想方面確定了論文方向。本論文是在概括搜集材料的基礎上

4、，自己進行歸納小結(jié)，主要介紹數(shù)形結(jié)合在集合、不等式、求方程的根、函數(shù)、解析幾何、向量問題中的應用。2.數(shù)型結(jié)合方法概述中學數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系（數(shù)）和空間形式（形），數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，而形則是空間形式的體現(xiàn)。“數(shù)”和“形”常依一定的條件相互聯(lián)系，抽象的數(shù)量關(guān)系常有形象與直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質(zhì)也常用數(shù)量關(guān)系加以精確的描述。數(shù)和形也可依一定條件相互轉(zhuǎn)化，互相溝通。我們在研究數(shù)量關(guān)系時，有時要借助于圖形直觀地去研究，而在研究圖形時，又常借助于數(shù)量關(guān)系趨探求。“數(shù)”和“形”是研究數(shù)學的兩個側(cè)面，利用數(shù)形結(jié)合能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，可以使所要解決的問題化難為易，化繁為簡，思

5、維廣闊。華羅庚教授對此有精辟概述：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微。”數(shù)形結(jié)合源于數(shù)學，是數(shù)學思想方法中的一種。它是中學數(shù)學中的一個重要的思想方法，它不僅在數(shù)學解題中有著強大的功能，更在數(shù)學教學中發(fā)揮著巨大的作用。“形”的直觀與“數(shù)”的精確相輔相成，能優(yōu)化解題，化解難點知識，學生易于理解接受。對于數(shù)形結(jié)合思想方法的專題研究很多，各類數(shù)學雜志上都能見到，但對數(shù)形結(jié)合思想方法沒有完整的、深刻的認識。伴隨著社會的發(fā)展，數(shù)形結(jié)合的應用范圍越來越廣。人們不但使其在數(shù)學學科中原有的應用發(fā)揮地淋漓盡致，而且還不斷挖掘它新的應用；不但開始嘗試它在其他學科中的應用，并試圖總結(jié)出一些應用規(guī)律，而且也在摸索它在生活

6、實際中的應用。這說明，數(shù)形結(jié)合的應用不再僅限于數(shù)學學科中，也不限于在其他學科中，它有更廣的使用范圍。那數(shù)形結(jié)合為什么應用如此之廣呢？這值得我們思考?？梢钥隙ǖ卣f，它本身具有一定的教育意義和教育價值。因此要根據(jù)解決問題的需要，把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題來研究，也可把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來研究，數(shù)形結(jié)合才能真正發(fā)揮其作用。我們希望，運用數(shù)形結(jié)合的教育意義和教育價值也能帶來數(shù)學解題能力的提高。因此，我們把中學數(shù)學中運用數(shù)形結(jié)合提高解題能力作為研究的課題是從數(shù)形結(jié)合的教育意義及教育價值視角出發(fā)的。3.數(shù)形結(jié)合的應用在中學階段，有許多的代數(shù)題，學生總是拘泥于代數(shù)求法，結(jié)果導致布什

7、很繁雜，就、被認為超出其范圍不能求解。其實，代數(shù)與幾何是有著密切聯(lián)系的。在代數(shù)中若能充分聯(lián)想題設與結(jié)論中的“幾何背景”恰當構(gòu)造圖形，實施命題變更，不但能夠激發(fā)學生的學習興趣，而且往往探索出新思路，找到解題的關(guān)鍵，優(yōu)化解題方法。它不僅對于溝通代數(shù)、三角與幾何內(nèi)在聯(lián)系具有指導意義，而且更重要的是對于開闊學生的思路，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維，提高學生的思維品質(zhì)有著重要作用。因此本論文主要介紹主要介紹數(shù)形結(jié)合在集合、不等式、求方程的根、函數(shù)、解析幾何、向量問題中的應用。3.1數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應用在解決集合問題時，有一些常用的方法如數(shù)軸發(fā)取交并集、文氏圖法以及借助函數(shù)圖像等，是中學數(shù)學中的一類重要的題

8、型，處理這類問題的常用方法是先觀察題目已知條件，若能充分注意到集合的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想，形象地表示出各數(shù)量間的聯(lián)系，從而求解，則往往可以形成較為簡潔的解法。 3.1.1 借助文氏圖文氏圖主要適用于離散型（元素各自孤立）的集合以及單純的抽象型集合，但仍要注意問題的全面性，考慮問題要面面俱到，緊抓已知條件，準確的畫出文氏圖，簡便解題。例1:已知集合，求集合。 分析：由題目已知條件可以很明顯的看出，此題是交并集集合問題，首先我們應該依此解出集合，觀察可知解出集合里都是數(shù)字，那么自然而然的，我們采取文氏圖法來解決問題。 解：； ； 如右圖，易得。3.1.2 借助數(shù)軸 數(shù)軸主要適用于解決與不等式相關(guān)

9、的集合問題，數(shù)軸是學生很早就已經(jīng)接觸比較簡便的圖形，但是此類題型在用數(shù)軸的時候，最容易忽視空集的情況，這里做出強調(diào)。例2:已知集合，A=B，求集合。分析：由題目的已知條件可以看出，題目是與不等式相關(guān)的集合問題，并且也是集合的交并集問題，我們很容易想到要借助數(shù)軸解題，但需要進行非空的討論，往往空集的情況是學生最容易忽視的。 解：(1)當時A=B=此時 。 (2)當a、b不滿足(1)時由A=B得 a=3,b=5此時 ，利用數(shù)軸如右圖求得 。3.1.3 借助函數(shù)圖象 函數(shù)圖像主要適用于解決與函數(shù)相關(guān)的集合問題，函數(shù)是中學的重點知識也是難點，那么此類題目需要學生有良好的函數(shù)基礎，往往此時要求集合的交并

10、集時就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的交點，于是我們畫出函數(shù)圖像問題就迎刃而解。 例3:集合，已知只有一個子集，那么k的取值范圍是（ ）。（A） （B） (C) （D） 分析：由題目已知條件可知，本題是與函數(shù)相關(guān)的集合問題，所以我們輕而易舉的想到將集合問題轉(zhuǎn)化為直線與指數(shù)函數(shù)的圖象的交點問題，根據(jù)題意作出圖形，運用數(shù)形結(jié)合的思想，合理求解。在作圖時，應注意y= 的圖象始終在直線上方。解：集合P表示直線，集合Q表示曲線y= . 由只有一個子集可知所以 直線y=k與曲線y= 沒有交點。不妨設a1,（當0a1時，情況同理）在同一坐標系縱作出y=k與y= 圖象如右圖，由圖象可知所以k的取值范圍是，選（B）。3.2數(shù)

11、形結(jié)合在不等式問題中的應用在解決不等式問題時，運用數(shù)形結(jié)合更為形象直觀，簡潔明快，特別是在解決含參數(shù)的不等式時，由于涉及到參數(shù)，往往需要討論，導致演算過程繁瑣，若用數(shù)形結(jié)合的方法，問題會大大簡化，有時在確定不等式中的參數(shù)的范圍時，幾何圖形能使問題直觀化。3.2.1 借助函數(shù)圖象函數(shù)圖像適用于不等式中含的不等式，可以將其看作函數(shù)并畫出函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化成為幾何問題，從圖像直觀地觀察出特點，然后進行計算，即準確又快速。例4:解不等式。分析：由已知條件可知，利用數(shù)形結(jié)合解含的不等式，看做函數(shù)或者曲線，作出圖象，根據(jù)范圍和圖像特點解題。解：令 可得 它們的圖象如右圖所示因為，所以 原不等式的解集為 。3.

12、2.2 借助二次方程實根分布若已知實系數(shù)一元二次方程實根的分布范圍，則可根據(jù)“判斷式，對稱軸,區(qū)間端點值”確定相應二次函數(shù)的某些性質(zhì)。因此利用二次方程實根分布范圍處理不等式，可使其解法簡捷巧妙。例5:設，又設B是關(guān)于x的不等式的解集，且，試確定的取值范圍。分析：由已知條件可知實系數(shù)一元二次方程實根的分布范圍，于是我們可以根據(jù)“區(qū)間端點值”確定相應二次函數(shù)的性質(zhì)，利用實根分布范圍處理不等式，從而使問題得到解決。解： 記f(x)=x2-2x+a,B1為不等式（1）的解集；記g(x)= x2-2bx+5,B2為不等式（2）的解集。則 ,又因為 所以如右圖則有： 且 即 且 解得： 3.2.3 借助線

13、性規(guī)劃線性規(guī)劃適用于解決不等式組解集區(qū)域問題，也可通過一個不等式轉(zhuǎn)化成不等式組區(qū)域，總而言之，此類題目，應該根據(jù)不等式畫出可行區(qū)域，然后用線性規(guī)劃的知識進行求解不等式問題，但需強調(diào)的是不能忽略一些特殊點情況。例6：解不等式分析：由已知條件我們可以觀察出，不能運用兩邊同時平方或是直接求解，于是我們想到通過“雙換元”將不等式轉(zhuǎn)化為混合組，在可行域內(nèi)根據(jù)幾何意義先求出輔元的范圍，使不等式得到巧妙解決，這種方法簡單直觀具有創(chuàng)新性。解：令, 則 解得 ，根據(jù)約束條件畫出可行域，如右圖則可行區(qū)域為圓在第一象限內(nèi)的弧(包含)不含點B )由 解得 。 3.2.4 借助向量圖形 向量圖形適用于與根式相關(guān)的不等式

14、問題，當根號下是一個單純的數(shù)字的時候，往往我們優(yōu)先考慮借助向量解題，我們可以構(gòu)造向量模型，例如圓，然后由圖形的范圍求出不等式的解。例7：求證：。分析：由已知條件可以想到構(gòu)造向量模型或圖形的方法，比其常規(guī)解法都要簡捷、巧妙，達到事半功倍的效果。證明：不妨構(gòu)造向量，設，則 即向量，的中點在圓O：上如右圖示，設圓與x正半軸交于點A，在第一象限與直線y=x交于點B由得 所以 即 則有 故 3.3數(shù)形結(jié)合在求方程的根問題中的應用在求方程的根問題中，我們也優(yōu)先考慮數(shù)形結(jié)合的方法解題。對于一元二次方程實根的分布問題，可借助二次函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想對問題做等價轉(zhuǎn)換，從頂點、判別式、對稱軸、自變量去一些

15、關(guān)鍵值時函數(shù)值的符號，從而列出相應的方程或是不等式，使問題得到解決。3.3.1 相關(guān)參數(shù)的取值 適用于求方程的表達式及根的取值范圍，先推導出相應的二次函數(shù)的大致圖象，然后觀察圖像特征，再依據(jù)圖象直觀形象地得到結(jié)論，為求參數(shù)m的值提供依據(jù)。例8：關(guān)于的二次方程有兩個實數(shù)根，一個大于-1，另一個小于-1，則應滿足（ ）。 分析：由已知條件可知，要求方程相關(guān)參數(shù)的取值，可以立刻想到運用數(shù)形結(jié)合的思想，先設出方程和根，然后根據(jù)已知條件畫出圖像，進而觀察圖像的特點以及結(jié)合范圍進行求解。解：設方程的兩實數(shù)根為且令 因為 所以，其函數(shù)圖象的開口向上。又根據(jù)題意知此拋物線與x軸的兩個交點的左右兩側(cè)因此，此函數(shù)

16、的大致圖象如右圖所示觀察分析圖象可知 即 解得： 本題答案應選C。3.3.2 結(jié)合二次函數(shù)圖象 適用于求一元二次方程的解類型的題目，先根據(jù)題目已知條件畫出二次函數(shù)的圖象，然后觀察圖像，根據(jù)圖像的各類特征，再依據(jù)圖象直觀形象地得到關(guān)系式或是結(jié)論，從而求出方程的解。例9：已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為_.分析：由題目已知條件和圖像可知，應該將數(shù)形結(jié)合起來進行解題，首先要讀清題意，觀察圖像，然后根據(jù)函數(shù)圖像對稱軸的性質(zhì)直觀形象地得到關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的相互關(guān)系得出方程的根。解：觀察右圖可知：這個二次函數(shù)函數(shù)圖象與根據(jù)拋物線與軸的兩個交點關(guān)于對稱軸互相對稱

17、的性質(zhì)由 所以 即 按照二次函數(shù)與一元二次方程的相互關(guān)系即知 再由方程的根與系數(shù)的關(guān)系得： 所以，解方程得：3.3.3 標根解不等式適用于解不等式和分式不等式，用標根的方法在數(shù)軸上標出方程的根。需要強調(diào)的是，當不等式是分式不等式時，要特別注意分母不能為零的情況，這也是做題中經(jīng)常被忽略的地方；其次要注意是取數(shù)軸的上方還是下方，要根據(jù)不等式的符號來確定。例10：解不等式。分析:由題目可以直接觀察出不等式是分式不等式，那么在解題過程中應該優(yōu)先想到用標根方法來借不等式，但此題要注意分母的情況。解：因分母的最高次項的系數(shù)是所以不等式變形為 將分子與分母的相除變?yōu)橄喑耍瑫r注意分式有意義，分母不為0即 標

18、根，如圖所示： 因，所以X軸上方向的圖象有兩部分：一部分在-1和之間，一部分在4的右側(cè)所以 的解集為 3.3.4 方程根的個數(shù)討論有關(guān)方程根的個數(shù)問題時，通常把方程問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決。在設函數(shù)時，一般一個函數(shù)中不含參數(shù)，另一個函數(shù)中含有參數(shù)，進而觀察函數(shù)圖象在運動過程中交點的變化情況。例11：試就實數(shù)取值情況，討論關(guān)于的方程的解得個數(shù)。分析：由題意可知，此題是討論方程的解的個數(shù)，即方程根的個數(shù)，于是我們要把方程問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題來解決，即將等式兩邊設成兩個函數(shù)，從而根據(jù)討論的范圍來確定兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)，從而求得方程的解的個數(shù)。解：在同一坐標系中

19、做出它們的函數(shù)圖象由右圖可知：當時兩圖象只有一個交點，原方程有唯一解；當0m1時兩圖象有兩個不同的交點，原方程有兩解；當m0時 兩圖象無交點，原方程無解。3.3.5 方程所有根的和求方程所有根的和時應該采用整體思想以及借助數(shù)形結(jié)合的思想，再根據(jù)函數(shù)圖像的特征簡化題目，將方程的所有根作為一個整體根據(jù)圖像性質(zhì)進行求解，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合解題的優(yōu)越性。例12： （ ）。 分析：本題是求，即應該采用整體思想，同時該結(jié)構(gòu)特征使我們聯(lián)想到對稱的用處，根據(jù)對稱我們可以順利解決問題。解：將已知條件變形有： 構(gòu)造函數(shù)做出以上三個函數(shù)及圖像如右圖,由題意知函數(shù)和圖像關(guān)于直線對稱又由 直線與垂直且 圖像交點的橫坐標為根

20、據(jù)圖像的對稱性知。3.4數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問題中的應用 在解決函數(shù)問題中，我們應該根據(jù)題型的不同分析并優(yōu)先考慮數(shù)形結(jié)合的方法解題。比如在遇到求函數(shù)的最值和值域、函數(shù)的自變量和變量的取值范圍、函數(shù)的系數(shù)等問題時應該優(yōu)先選擇結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想將題目簡化，從而快速準確地解題。3.4.1 最值和值域在求函數(shù)最值和值域的題型中，我們應該立馬想到運用數(shù)形結(jié)合的方法簡化解題，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，然后根據(jù)圖像和題目已知條件進行解題。例13：求函數(shù)的最值。分析：由題目可知要求函數(shù)的最值，觀察函數(shù)是根式形式，于是我們用數(shù)形結(jié)合的方法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，使復雜根式問題的最值簡單化，形如均可轉(zhuǎn)化為“三角形中的

21、兩邊之和（差）大于（小于）第三邊”求最值。解：把函數(shù)化為 則原問題轉(zhuǎn)化為求上點到兩定點 的距離的和的最值如右圖所示：根據(jù)幾何定理易知PA+PB有最小值而無最大值點A關(guān)于對稱的點從而可得所以原函數(shù)的最小值為3.4.2 圖象與系數(shù)的關(guān)系圖像與系數(shù)的關(guān)系一般來說都已經(jīng)明確指出要用圖形解題，我們可以根據(jù)圖形的性質(zhì)，包括開口方向、頂點、對稱軸、判別式、交點等，由此判斷函數(shù)的系數(shù)符號或是大小，也可根據(jù)系數(shù)的符號和大小判斷函數(shù)圖像的形狀和位置. 例14：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為，下列結(jié)論正確的是（ ） 分析：題目已經(jīng)給出了函數(shù)圖像，我們只需觀察函數(shù)圖像，用字母表示出函數(shù)的對稱軸、判別式、開口向下

22、，從而求出系數(shù)的符號或是大小關(guān)系。解：拋物線開口向下，；拋物線與y軸交于正半軸，所以 排除A 對稱軸而 故 排除B拋物線與x軸有兩個交點,排除C。對稱軸為,從而，選D3.4.3求函數(shù)定義域在求函數(shù)的定義域的題目類型中，我們首先根據(jù)求函數(shù)定義域的基本方法進行判斷是否能夠使用，當一般遇到三角函數(shù)、根式、分式等較復雜的函數(shù)的時候，我們就應該想到運用數(shù)形結(jié)合的方法，有時還需要靈活轉(zhuǎn)化，方便解題。例15：試求函數(shù)的定義域。分析：由題目看出，函數(shù)是由根式以及三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)組成的復合函數(shù)組成的，是個較為復雜的函數(shù)，所以我們用一般的求自變量定義域的方法相當復雜，于是我們想到借助函數(shù)圖像，將復合函數(shù)分別求出

23、定義域，然后根據(jù)求交集來求出復合函數(shù)的定義域。解：求函數(shù)定義域就是求不等式組的解集利用三角函數(shù)圖象求解 畫出圖象如下圖: 由圖象可知： 即函數(shù)定義域為： 3.5 數(shù)形結(jié)合在解析幾何問題中的應用學習平面解析幾何時，一方面，需要深刻理解數(shù)形結(jié)合，掌握數(shù)形結(jié)合的基礎知識；另一方面，要能夠運用數(shù)形結(jié)合思想解決具體問題。在中學代數(shù)的許多問題研究過程中，若能有效地結(jié)合“幾何模型”把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題，常會使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。3.5.1 構(gòu)造基本公式模型 解析幾何中的基本公式常用來作為幾何模型解題，如：（1）定比分點公式；（2）兩點的距離公式；（3）點到直線的距離公式等。 例15：

24、已知實數(shù)，求的最小值。 分析：題目所求是最小值，我們進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)可以看成與兩點的距離，于是畫出直線和兩點，根據(jù)圖像可以得出結(jié)果。 解：在直線上運動 表示與兩點的距離 如右圖所示： 由點到直線的距離定義可知： 3.5.2 構(gòu)造直線和圓的模型 在涉及某些二元一次方程和二元二次方程，比如，涉及形和中，我們常常建立直線和圓的解析幾何模型，利用有關(guān)元素的幾何意義和位置關(guān)系簡捷而巧妙地解決問題。 例16：如果實數(shù)滿足等式,求的最大值。 分析：此題求的最大值，我們可以將其轉(zhuǎn)化為直線的斜率，設，于是轉(zhuǎn)化成了涉及到和的直線和圓的幾何模型，于是我們根據(jù)題意畫出圖像，依據(jù)表示直線的斜率可以求出的最大值。 解：

25、建立直線和圓的模型：表示P（x,y)是以（2,0）為圓心，半徑為的圓上一點如右圖所示： 表示直線OP的斜率由解析幾何知識易得 3.5.3 曲線模型 在解代數(shù)問題中常涉及到形如這樣的二次方程我們常通過建立拋物線、橢圓、雙曲線的模型來解題。 例17：已知復數(shù)滿足和，求。 分析：此題目中的和可以由復數(shù)運算的幾何意義轉(zhuǎn)化為橢圓和雙曲線，再由圖像可以求出。 解：由復數(shù)運算的幾何意義可知：表示中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為10的橢圓；表示中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的下支；如右圖所示：由圖形以求得： z=-4i3.6 數(shù)形結(jié)合在向量問題中的應用向量是集數(shù)與形于一身的數(shù)學概念，是數(shù)學中屬性集合思想的

26、典型體現(xiàn)。我們知道向量可以按照一定的運算率進行加減乘及數(shù)量積運算，很多同學會認為向量是屬于代數(shù)范疇，但是我們知道以上運算都有它的幾何意義，因而向量實際上是屬于幾何范疇。我們在解題時，若能巧妙地結(jié)合向量的幾何意義，可以將許多復雜問題簡單化，抽象問題直觀化。3.6.1 計算長度或夾角 若題目需要求的是向量的長度或是夾角，那么我們應該優(yōu)先考慮運用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合向量圖形解題。 例18：已知均為單位向量，它們的夾角為60o ，那么=（ ）A. B. C. D.4 分析：題目要求的是的向量和的模長，所以我們運用數(shù)形結(jié)合進行解題，畫出向量組成的平行四邊形，然后借助余弦定理可得到等式，從而得出答案。 解

27、：構(gòu)造如右所示平行四邊形設60o 則 又由余弦定理的得： 120o 2=2+2-2cos120o )所以得到：=故選C 例19：已知=，且+=0，求三向量兩兩間夾角。 分析：題目要求的是向量之間的夾角，那么我們首先畫出向量圖形，使之組成一個三角形，右圖形直接得出夾角是120o。 解：由于 =且+=0將三向量首尾相連，必可以構(gòu)成一個正三角形如右圖所示：設=則三向量的夾角恰為三角形的三外角故三向量之間兩兩夾角為120o3.6.2 最值類問題 若題目需要求的是與向量相關(guān)的最值問題，那么我們結(jié)合向量圖形進行解題，還可以將向量轉(zhuǎn)化到其他幾何圖形中進行求解，常用到的是將向量轉(zhuǎn)化到圓內(nèi)進行解題。 例20：已

28、知向量，則的最大值、最小值分別是（ ）。A、 B、 C、16,0 D、4,0 分析：由題目已知條件我們可以得出=2，且=2，轉(zhuǎn)化為終邊都在一個半徑為2的圓上，然后B為定點，A為動點，那么可以求出當A在圓上移動時的=的最值。 解：由可知=2，且=2將向量、起點移到原點則 終邊都在一個半徑為2的圓上如右圖所示：設則 其中B為定點，A為動點于是當A在圓上移動時可知：=的最大值為4，最小值為0.故選D。結(jié) 語通過本課題的研究，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學思想方法是理論聯(lián)系實際的一步棋子，是由知識轉(zhuǎn)化為能力的一架橋梁。數(shù)學方法與數(shù)學思想互為表里，它們都建立在一定的知識基礎上，反過來又促進知識的深化提高和逐步向能力的轉(zhuǎn)化。還有人把數(shù)學比喻為一個人：問題是數(shù)學的“心臟”，知識是數(shù)學的“軀體”，方法是數(shù)學的“行為”，而思想是數(shù)學的“靈魂”。不管怎樣比喻，都可以清楚的知道中學解題中數(shù)學思想方法的有效滲透有多么重要，作為一名教師，要樹立終身學習的愿望，認真?zhèn)湔n，備教材、備方法，為學生的一切著想，為自身的數(shù)學素養(yǎng)著想，將關(guān)注數(shù)學思想方法作為教學的追求，讓數(shù)學思想方法在平實的教學課堂中隨意的流淌。此課題的研究還存在很多不足的地