隨機(jī)變量的數(shù)字特征1

1、隨機(jī)變量X的概率分布, 那么X的全部概率特征O第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征p(x)在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了 一也就知道了.但在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.而且在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道 它的某些數(shù)字特征就夠了.評(píng)定一批燈泡的質(zhì)量，主要應(yīng)看這批燈泡的平均壽命和燈 泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差，平均壽命越長(zhǎng),燈泡的質(zhì)量就越好,燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差越小,燈泡的質(zhì)量就越穩(wěn)定因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望和抽象自與平 均值的偏差程度的方差.我們先介紹隨機(jī)

2、變量的數(shù)學(xué)期望.4隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是概率論中最重要的概念之一.它的定義來(lái)自習(xí)慣上的平均值概念.我們從離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望開(kāi)始.、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入:成績(jī)1234555/30251082/30 5/30 10/30 8/30如右表所示，則該班的平均成績(jī) W =(1x2 + 2x5 + 3x10 + 4x8 + 5x5)例1甲班有30名學(xué)生，他們 人數(shù) 的數(shù)學(xué)考試成績(jī)(按五級(jí)記分)頻率定義l（P.98定義4.1）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列是P（Xf）=Q, i=l,2,00如果X i I Pi收斂,則稱(chēng)fXkPk為X的數(shù)學(xué)期望（期望）或均值,1=1oo

3、k=l88E(X,Y)=YYxi-yj-pij,記為即八k=li=l j=l離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的和它是隨機(jī)變量所有取值的以概率為權(quán)的加權(quán)平均例2從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站的途中有3個(gè)交通崗,設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,試求途中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)X為遇到的紅燈數(shù)，則X的分布列為P(X=A) = C1(針層產(chǎn)(A = 0,l,2,3), 叫 0123EX= Ox_7_i_i *54 36 3義 8 _ 6125 1 125 2 125 3 125 5 其概率為2/5,Pk 7/125 54/125 36/125 8/125二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連

4、續(xù)型隨機(jī)變量，其密度為了(X),在數(shù)軸上任取很密的分 點(diǎn)X!X2X3 ,則X落在小區(qū)間xk,4內(nèi)的概率是k+AXkf(x)dx f(xk )Axk.由于人與Xk+Nk很接近,所以區(qū)間4,xk+/ck)中的值可以用xk來(lái)近似代替./(x)I小面積近似為 / f(Xk)Axk yXPkf (x2)Ax2 f (xk) Xk 的積分和式它的數(shù)學(xué)期望是普;因此X弋 取值4、概率為/(“女的離散型隨機(jī)變量,這啟發(fā)我們引進(jìn)如下連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義： 定義2(P.100定義4.2)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為了(X),若加收斂，則稱(chēng)X =:x/(xRx為X的數(shù)學(xué)期望,一。J00-qQ 4 -x

5、yf(xy)dxdy連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值.(x,y)=例4（p00例5）設(shè)隨機(jī)變量X密財(cái)）= 試證E （X）不存在._1_0X+00 , 柯西分布CO!解 Ljx（x）x= LGOIxl oo%（1+爐）%不絕對(duì)收斂7T（1 + X2）=-ln（l+x2）+80=耳蛔加（1+一）*. （X）不存在.若X(4),則EX =1/2 ，這意味著,若從該地區(qū)抽查很多個(gè)成年男子,分別測(cè)量,這些身高平均值的近似是1.68.己學(xué)過(guò)的重要分布的數(shù)學(xué)期望：由期望的定義不難算得 若%3 (%p)，則 EX = np. 若又尸(刀，則EX=A.若XU(a,)，貝!I若XN(JL

6、I, (T2),則 EX = JLI.例 已知某地區(qū)成年男子身高XN (1.68, a2),EX = 11.68三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布如何計(jì)算X的某個(gè)函數(shù)g(X)的期望?一種方法是：g(X)也是隨機(jī)變量，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái). 一旦知道了即的分布，就可以按照期望定義把計(jì)算出來(lái).比較復(fù)雜是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得 g(x)呢?F面的定理指出答案是肯定的.類(lèi)似的推理，可建立如下的定理:定理i(p.ioi to. 1)設(shè)隨機(jī)變量y是隨機(jī)變量x的連續(xù)函數(shù)y=g(x),(1)以x為離散型隨機(jī)變量其允也列為,k=l如果*g(xi)1 Pi 收

7、斂，則 EY = Eg(X) = sg(Xk)Pk ； l-lk=(2)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為/(X),如果Llg(x)l/aMx收斂，貝生y=Eg(x)=芳/面耳X離散型002以左)Pa，EY=Eg(X) = l HX 連續(xù)型J-oo由此公式求g(X)時(shí)，甚至不必知道g(X)的分布，直接利用X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.推廣 設(shè)隨機(jī)變量Z是隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)y招(X,y),y)離散型OO OO加X(jué)Zg(招，如外oOCO則 EZ = g(X,y) = 1-LLg(*，4/(x，y)駟“(“，y)連續(xù)型將g(x)特殊化，可得到多心他的數(shù)1特征卜蠢怒下二腑E(

8、Xk) 一 %階原點(diǎn)距，卜氏警E(Xk)上階絕對(duì)原點(diǎn)距，EX-E(X)lk左階中心距，E(lX-EXlk)左階絕對(duì)中心距,例5設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求(2X 1), E(X2).X-1012Pk0.10.20.40.3解 E(2X1) =2x(1) lx0l+ (2x0-l)x0.2+ (2xl-l)x0.4+ (2x3-l)x0.3 =1.4;EX2 =(-l)2x0.1 +02x0.2 + l2x0.4 + 22x0.3 =1.9.例6設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y) =2-x-y, 0x2? 0j X/獨(dú)立若X1W,則 ex1ex2；6 . EX V ER對(duì)值性質(zhì)/對(duì)

9、值的f分 扇奉7 .若EX2, 丫2都存在,則(xy)存在,且E(XV) 220 ,. A = 4(jy)2 4X2.Ey2 0= E(XY)YEX2 EY2五、期望及其性質(zhì)的應(yīng)用例&P.105例12）對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊,直到命中次為止.設(shè)每次命中率 為P,求消耗子彈數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.解 設(shè)乂表示從第次命中后至第i次命中時(shí)所消耗的子彈數(shù)， 則x=x1+x2+.+x,且&的分布列為尸（乂 =幻=（1加1-1雙=才（）1。正號(hào)心川，.EX = EXi = t i=l這種將X分解為有限多個(gè)隨機(jī)變量之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望的方法是較常見(jiàn)的基本方法.P.120請(qǐng)自讀舉例例7某種商品每周的需求量XU

10、10, 30,而商場(chǎng)每銷(xiāo)售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價(jià)處理，每單位 商品虧損100元；若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每單位商 品可獲利300元.要使商場(chǎng)獲得最大的收益，問(wèn)應(yīng)進(jìn)貨多少？解 設(shè)應(yīng)進(jìn)貨量為。（1至30間的某一整數(shù)），利潤(rùn)為匕則、4, 10 X 30,/、y(x)= j zuY=g(X) =0, 其他，4一連續(xù):.EY=Eg(X) =；：+ g)4x 500a+300(X-a), aX30, l500X-100(a-X), 10cf300X+200”，a X 30, 1600X-100a, 10Xq,p+q=l.為了補(bǔ)償 乙的不利地位,另行規(guī)定兩人下的賭注不相等,

11、甲為生乙為仇ab.EX = EY現(xiàn)在的問(wèn)題是：a究竟應(yīng)比b大多少,才能做到公正?解 設(shè)甲贏的錢(qián)數(shù)為X,乙贏的錢(qián)數(shù)為匕 依題意EX =b p+Ca)q EY = a q+ (-b)p .= bp_ q -為對(duì)雙方公正，應(yīng)有 bp_(iq=aq_bp, = a期望與風(fēng)險(xiǎn)并存數(shù)學(xué)家可以從期望值來(lái)觀察風(fēng)險(xiǎn)，分析風(fēng)例如，一個(gè)體戶(hù)有資金一筆，想經(jīng)營(yíng)西瓜,險(xiǎn)，以便作出正確的決策來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn).風(fēng)險(xiǎn)大但利潤(rùn)高（成功的概率為0.7,獲利2000元）,如經(jīng)營(yíng)工藝品,風(fēng)險(xiǎn)小但獲利少（95%會(huì)賺,但利潤(rùn)為1000元）.該如何決策?于是計(jì)算期望值:若經(jīng)營(yíng)西瓜的期望值 昂=0.7 X2000 = 1400元,而經(jīng)營(yíng)工藝品的期

12、望值 & = 0.95X1000 = 950元.所以權(quán)衡下來(lái)情愿“搏一記”去經(jīng)營(yíng)西瓜，因它的期望值高.小結(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.EX=jXkPk， X 離散型 k=lX=二 x/(x)dx, X 連續(xù)型豈g(Xk)pX離散型EY = Eg(X) = IrgMf(x)dx, x連續(xù)型七條性質(zhì)：保線(xiàn)性運(yùn)算獨(dú)立性與積保序性絕對(duì)值性質(zhì)柯西一許瓦茲不等式田(XF)2X2y24.2隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差我們已經(jīng)介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,它體現(xiàn)的是隨機(jī)變量取值的平均水平,是隨機(jī)變量的一個(gè)重要數(shù)字特征. 但很多場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的

13、.成績(jī)12345人數(shù)251085上節(jié)的例1甲班有30名學(xué)生， 他們的數(shù)學(xué)考試成績(jī)（按五級(jí) 記分）如右表所示，成績(jī)12345人數(shù)001460則該班的平均成績(jī)可=3.3乙班有20名學(xué)生，他們 的數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缬冶硭?，你認(rèn)為兩個(gè)班的成績(jī)一樣嗎?為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的一、方差的定義定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若e(x-ex)2DYf A兩人技術(shù)水平相當(dāng),但乙的技術(shù)比甲穩(wěn)定.計(jì)算方苦的一個(gè)簡(jiǎn)化公式 DX = EX2-(EX)2DX = E(X-EX)2= E_X2-2XEX + (EX)2 T= EX2-2(EX)2+ (E

14、X)2- = EX2-(EX)2常見(jiàn)分布的方差：若X5(,p),則 DX = np (lp).若*P(4),貝| DX=A.若XU (,5)，則。X =.若X(丸)，則DX = 1/22若XN(4，/),則 ux = b2.展開(kāi) 上利用期望性質(zhì)若X的取值比較集中則方差較小例2 （p.109例3）設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布,概率函數(shù)為求和與求導(dǎo)交換次無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式記夕=1-p EX= Nkpq k=lp(x=k) =pQ-p)k-1 左=1,2,其中 ovpvl, 求OX.1 =pAqk) =p(qk)，=p(Fy =，EXJ=$；k 2pqkl =pk(k-l)qkl +YJkqkx

15、k 2=k(k -1+1) k=lk=lk=l=)+(*) =qp(2-P1 =組+上= p p2 p pk=lqp +(1-夕尸：.DX = EX2-（EX）2 =上烏一占=上？/?2 p2 p2例3 （P.108例2） y連續(xù)型隨機(jī)變量的例子 請(qǐng)自讀二、切比雪夫不等式定理（P-124）設(shè)隨機(jī)變量X有期望和方差，貝估計(jì)尸魚(yú)川2JP（IXXlN）W器， 或尸（IXXI0,（.X）2 1P（ IX 一.2 =1% /公I(xiàn).盧公息四尸一加尸）公工普由切比雪夫不等式可看出：OX越小,則事件|x-X|ve的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可體會(huì)方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值

16、的離散程度X取值偏離EX超過(guò)3CT的概率切比雪夫不等式尸(IX-EXI*)察在未知分布的情形下估計(jì)P(IX-EX3cr) 猶 x 0.111Vo zcr = l/41一小于0.111.1=1/2U0L = l/8可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要 期望和方差存在，則隨機(jī)變量例4（P.124例1）已知某廠(chǎng)的周產(chǎn)量是均值為50的隨機(jī)變量,若已知周產(chǎn)量的方差為25,則一周產(chǎn)量在40 60之間的概率至少有多大?解 設(shè)X為周產(chǎn)量，尸(40X60) o P(IX 50110). P(IX-501l-1 = 1.則一周產(chǎn)量在40 60之間的概率至少有3/4 .例5在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫

17、 不等式求：多大時(shí),才能使得在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn) 的頻率在0.74 0.76之間的概率至少為0.90?解 設(shè)X為次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，貝!I X5 (% 0.75), EX = 0.75 n, DX = 0.75 X 0.25 n = 0.1875 n, 所求為滿(mǎn)足尸(0.740.90的最小的.P(0774令 v0.76) =P(-0.01 vX-0.75 v0.01 )=P(IX-EXP(0.74fl-?=_ 01875一 - 0.0001 2依題意取1-之0.9,解得n 59 = 18750即取18750時(shí),可以使得在n次獨(dú)立重套試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的 頻率在0.74 0.76

18、之間的概率至少為0.90 .三、方差的性質(zhì)定理(P.10也二j常值的方差為0(1)若C是常數(shù)，則0(。)= 0廠(chǎng)施立時(shí)。(x+y)=? 一(2)若C是常數(shù)，則D(CX) =。歲邑系:和要求獨(dú)立性I 若x 與y 獨(dú)立,貝。(X y )=dx+dy ；可推廣為：若Xi*,園相互獨(dú)立，則DlCiXi=ic?DXi證。(xy) = z)x+zy 2后(xex) (yT) ex=c“=：若。X=0,由切比雪夫不等式：對(duì)任意的 N1,V = = P(X-EX)0) = 0, = P(XEX) = 1.“U”：若存在常數(shù)c,使得P(x=c)=l =EX = C P(x=x) = DX = E(X-EX)2 = E(C-C)2 =0.1下面舉例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用-0| C例0 設(shè)隨機(jī)變量的期望和方差都存在，且ox o令丫 =X-EX證明：y=o, oy=i .標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量-U的數(shù)字特征JP(X-EX) DX 1-DX DXDXD (X-EX)