數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)一、數(shù)列 1數(shù)列、項(xiàng)的概念：按一定 次序 排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列 ，其中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng) 2數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)： 有序性 ； 確定性 ； 可重復(fù)性 3數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標(biāo)表示數(shù)列的項(xiàng)，其中右下角標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào)，因此數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，（），簡(jiǎn)記作 an 其中an是該數(shù)列的第 n 項(xiàng)，列表法、 圖象法、 符號(hào)法、 列舉法、 解析法、 公式法（通項(xiàng)公式、遞推公式、求和公式）都是表示數(shù)列的方法 4數(shù)列的一般性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性 ；周期性 5數(shù)列的分類：按項(xiàng)的數(shù)量分： 有窮數(shù)列 、 無(wú)窮數(shù)列 ；按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列 、遞減數(shù)列 、常數(shù)列、擺動(dòng)

2、數(shù)列 、其他；按項(xiàng)的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列 6數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式a=f（n）（nn+或其有限子集1，2，3，n） 來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式 數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號(hào)是指數(shù)列中項(xiàng)的位置，是自變量的值由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是 散點(diǎn)圖 ，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 項(xiàng)的序號(hào)值 ，縱坐標(biāo)是 各項(xiàng)的值 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一 7數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)a

3、n-1，an-2，）間關(guān)系可以用一個(gè)公式 an=f（a）（n=2，3，） （或 an=f（a,a）(n=3，4，5，)，）來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 遞推公式 8數(shù)列的求和公式：設(shè)sn表示數(shù)列an和前n項(xiàng)和，即sn=a1+a2+an，如果sn與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式 sn= f（n）（n=1，2，3，） 來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 求和公式 9通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：通項(xiàng)公式an與求和公式sn的關(guān)系可表示為： 二、等差數(shù)列 1等差數(shù)列、公差的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列（又叫算術(shù)數(shù)列），這個(gè)常

4、數(shù)叫做等差數(shù)列的公差根據(jù)公差的范圍可把等差數(shù)列分為以下三種類型：公差范圍d 0d 0d = 0類 型遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列 2等差數(shù)列的性質(zhì)：定義公式：an an-1（n2）= an+1 an = d 通項(xiàng)公式：an=a1+（n1）d=ak+（nk）d 注：a是關(guān)于n的一次型代數(shù)式，即可寫成an= an+b ，其中n的系數(shù)為公差公差公式：公差是等差數(shù)列的圖象的斜率中項(xiàng)公式：a、b、c成等差數(shù)列ba=cb2b=a+cb= b是a與c的等差中項(xiàng)； an 為等差數(shù)列2an=an-1+an+1（n2）（存在性與唯一性）換和公式：m、n、p、qn， m+n=p+qam+an=ap+aq（可推廣）求和公式

5、：sn= （a1+an）n=na1+ n（n1）d=an（n為奇數(shù)）注：sn是關(guān)于n的 二次型 代數(shù)式，且無(wú) 常數(shù)項(xiàng) ，即可寫成sn= an2+bn ，其中n2的系數(shù)為 公差的一半 經(jīng)驗(yàn)公式：ap=q，aq=p (pq) a= 0 ；（方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等思想） sp=q，sq=p (pq)s= (p+q) ； sp=sq (pq)s= 0 3子數(shù)列：若an,bn是等差數(shù)列，公差分別為d1、d2，則以下數(shù)列為an的子數(shù)列：子數(shù)列akn+bsn+k-1-sn-1skn-sk(n-1)pan+qbn公 差kd1kd1kd1d1/2p d+qd首 項(xiàng)assap a+qb（k、b、p、q為常數(shù)，k、

6、bz，且k2+b20，s0=0）4奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和：在有窮等差數(shù)列an中，設(shè)s奇 表示所有奇數(shù)項(xiàng)的和，s偶表示所有偶數(shù)項(xiàng)的和：若項(xiàng)數(shù)為2k1（kn），s奇s偶=a，s奇:s偶= （k1）:k ；若項(xiàng)數(shù)為2k（kn），s偶s奇= kd ，s奇:s偶=ak:ak+15s的最值：若sn=an2+bn，則當(dāng)n為最接近 的正整數(shù)時(shí)，sn最大(a0）在等差數(shù)列an中，若ak0ak+1，則n= k 時(shí)，sn最大；若ak-1ak=0ak+1，則n= k或k1 時(shí)，sn最大；若an0，則n= 1 時(shí)，sn最大在等差數(shù)列an中，若ak0ak+1，則n= k 時(shí)，s最?。蝗鬭k-1ak=0ak-1， 則n=

7、k或k1 時(shí)，sn最??；若an0，則n= 1 時(shí)，sn最小6|an|的前n項(xiàng)的和：若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，用tn表示|an|的前n項(xiàng)和，則：當(dāng)ak0ak+1時(shí)，；當(dāng)an0時(shí)，tn= sn 當(dāng)ak0ak+1時(shí)，；當(dāng)an0時(shí)，tn=sn 7兩個(gè)等差數(shù)列和的比與項(xiàng)的比之間的關(guān)系：若等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為an、bn ，則三、等比數(shù)列 1等比數(shù)列，公比的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列（又叫幾何數(shù)列），這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（在等比數(shù)列中，各項(xiàng)與公比都不為0）根據(jù)公比和首項(xiàng)的范圍可把等比數(shù)列分為以下四種類型：類

8、型 公比 首項(xiàng) q00q1q=1q1a0擺動(dòng)數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列遞增數(shù)列a0擺動(dòng)數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列 2等比數(shù)列的性質(zhì)：定義公式：（n2）= q 通項(xiàng)公式：a=a1 qn-1 = ak qn-k 注：an是關(guān)于n的指數(shù)式與非零常數(shù)的乘積，即可寫成an=abn（ab0），其中指數(shù)式的底數(shù)為 數(shù)列的公比 中項(xiàng)公式：a、b、c成等比數(shù)列b是a與c的等比中項(xiàng)b2=ac；（存在性與唯一性）an為等比數(shù)列 =an+1an-1a= 換積公式：m、n、p、qn，m+n=p+qaman=apaq（可推廣） 求和公式： 注：公比不為1時(shí)，sn是關(guān)于n的指數(shù)式與與非零常數(shù)的乘積，再減去該常數(shù)，即可寫成sn= a

9、bna （ab0），指數(shù)的底數(shù)為 數(shù)列的公比 skn-sk(n-1)sn+k-1-sn-1 3子數(shù)列：若an,bn是等比數(shù)列，公比分別為q1、q2，則以下數(shù)列為an的子數(shù)列：子數(shù)列ank|an|panbn公 比q1q1q1q1q1q2首 項(xiàng)assapab（k、b、p為常數(shù)，p，k、bz，k2+b2，s0=0，有時(shí)要規(guī)定q或q）四、等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系 1非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 2若an是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，則（b為常數(shù)，且b0）為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 ，公比為 b 3若an是首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，則（b為常數(shù)，且b0，b1）為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為

10、 ，公差為 五、數(shù)列問題的常用處理方法 （“降龍十八掌”）1觀察歸納法：由特殊到一般 2迭代遞求法：已知遞推公式和初始條件，求an3逐差疊加法：若anan-1=f（n）（n2），a1=a，求an 4逐商疊乘法：若=f（n）（n2），a1=a，求an5基本參量法：an和sn公式的正用和逆用求基本量用基本量求目標(biāo)量6對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法：已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列7倒序相加法：若an是等差數(shù)列，求a1c+a2c+a3c+anc等8通項(xiàng)分組法：若an=（an+b）+pcn+rtn，求sn（“差”“比”和數(shù)列）9錯(cuò)位相減法：若an=（an+b）cn，求sn（“差”“比”積數(shù)列）10拆項(xiàng)消去法：若a1=

11、a，an=f（n）f（n+k）（k為正整數(shù)常數(shù)），求sn11討論奇偶法：若an=（1）nf（n）或，求snanan-1= an+b，anan-1= pcn（隔項(xiàng)數(shù)列）男女相間、逐和、逐積12構(gòu)造數(shù)列法：倒數(shù)構(gòu)造、平方構(gòu)造、開方構(gòu)造、添數(shù)（加常數(shù)、乘指數(shù)式）構(gòu)造、逐差構(gòu)造、指對(duì)數(shù)構(gòu)造13同構(gòu)相減法：已知sn或sn與an的關(guān)系求an （注意首項(xiàng)）14相除消元法：已知等比數(shù)列sm和sn求an 15整體求解法：換和、換積等 （滑位和、步位和） 子數(shù)列問題16待定系數(shù)法：先設(shè)目標(biāo)形式，再確定系數(shù)17公式求和法：，（可用高次方差、二項(xiàng)式定理推導(dǎo)）18數(shù)學(xué)歸納法：高階等差數(shù)列：數(shù)列中，令，若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱為二階等差數(shù)列；若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱為三階等差數(shù)列；（用遞歸法可定義各階等差數(shù)列）階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的次多項(xiàng)式，反之亦然。通項(xiàng)公式與遞推公式是從不同角度采用不同形式表示數(shù)列的兩種不同方法，但都屬于公式法。只不過通項(xiàng)公式是通過數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的內(nèi)在的函數(shù)關(guān)系反映該數(shù)列的排列規(guī)律的一種直接方法；而遞推公式則是通過數(shù)列的相鄰幾項(xiàng)的相互關(guān)系反映該數(shù)列的排列規(guī)律的間接方法。前者給出了數(shù)列函數(shù)解析式，后者給出了數(shù)列函數(shù)的變換公式。常見拆