第六章--插值計算與插值多項式模型PPT課件

1、1 第六章 插值計算與插值多項式模型 插值計算是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析及建立實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭谐Ｓ玫幕A(chǔ)方法之一，是用一個 簡單的表達(dá)式近似表達(dá)某一函數(shù)，使它們在給定的若干點(diǎn)處有相同的函數(shù)值，利 用這一表達(dá)式來分析和研究函數(shù)的形態(tài)或計算試驗(yàn)點(diǎn)以外點(diǎn)的試驗(yàn)取值。 插值計算的數(shù)學(xué)描述： 設(shè)y=f（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，且已知它在a，b上n個不同的點(diǎn)x1，x2， x3xn上取值為y1，y2，y3yn，求一個函數(shù)P（x），使它在x1，x2，xn各 點(diǎn)處的函數(shù)值和f(x)相同，即P（xi）=f(xi)=yi（I=1，2，n）。 上述各點(diǎn)x1，x2，xn稱為插值結(jié)點(diǎn)或稱結(jié)點(diǎn)；P（x）稱為插值函數(shù)；f(x) 稱為被研究函數(shù)

2、或被插函數(shù)；以兩個相距最遠(yuǎn)的結(jié)為端點(diǎn)的區(qū)間稱為插值區(qū)間。 在區(qū)間a，b上用函數(shù)P(x)近似描述f（x），除了結(jié)點(diǎn)處以外均有誤差，余項： R（x）=f（x）一P（x） 表示誤差的大小。通常愈少，則表明插值函數(shù)愈接近被插函數(shù)。 本章重點(diǎn)討論常用的拉氏插值，牛頓插值和近代的樣條插值方法。 2 線 性 插 值 線性插值是最簡單的插值方法，設(shè)已知函數(shù)y=f(x)，在x0、x1處的值分別 為y0，y1，則過點(diǎn)（x0，y0），(xl，y1)的連線方程為 )( 0 01 01 0 xx xx yy yy x。,x1內(nèi)任一點(diǎn)的插值為 )1( 0 01 01 0 xx xx yy yy 也可以推廣為 )( 1 1

3、 1 1 i ii ii i xx xx yy yy ii xxx 1 這樣處理實(shí)際上是將n十1個點(diǎn)（x。，y。），（xl，y1（x。，yn）順序連接成折線 近似代替原來的曲線y=f(x)。只有當(dāng)線性關(guān)系非常好的時候，計算才較準(zhǔn)確。 3 63拉格朗日插值 6.3.1 插值多項式模型 已知函數(shù)y=f(x)在n個點(diǎn)xi上的值f(xi)（記作yif（xi），i=l，2，n），求一 個 低于n的插值多項式Ln-1（x），使 Ln-1（xi）yi （i1,2，n） 拉格朗日插值法求多項式 Ln-1（xi）模型為 n i iinnn yxyxyxyxxL 1 22111 )()()()()( )()()(

4、 )()()( )( 1121 1121 niiiiiii njj i xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx x )( )( )( 1 ij xx xx ji j n j 這是一組n1次多項式、其分母是n1個一次式之積，分子每一個因子都是（x-xi） 形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在內(nèi)，且xl， x2，xn是互不相同的，所以分母不為零。 數(shù)學(xué)上可以證明這種多項式可以滿足Ln-1（x）= y的要求，而且是唯一的。 當(dāng)n=2，拉格朗多項式即為線性插值。 4 當(dāng)n=3，上述多項式即為典型的拋物線插值多項式，為常用公式之一。 拉格朗日多項式形式簡單、對稱

5、，便于計算機(jī)編程計算；但計算工作量較大，而且當(dāng) 全部點(diǎn)作插值時，舍人誤差也大，多項式次數(shù)較高，曲線的波動較大，一般計算時，取距 插值點(diǎn)j較近的幾個點(diǎn)進(jìn)行插值計算。 )( )( )( )( )( )( 2313 21 3 3212 31 2 3121 32 1 xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx yy 5 拉氏插值模型的余項估計 用拉氏插值多項式模型表示函數(shù)f(x)時，引起的誤差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)給出。 或?qū)懗扇缦滦问?n f K n )( )()()()( 1 211i n i nn xxKxxxxxxKxR K值由微分中值定理

6、導(dǎo)出 式中滿足：min（x1，x2，xn）max （x1，x2，xn） 故余項可表達(dá)為 )( )( )( 1 )( 1i n i n n xx n f xR 如果f（x）的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)在區(qū)間xl，xn的絕對值最大值或上界為Mn（常數(shù)），則導(dǎo) 出 )()( 1 1i n i n n xx n M xR 由此可知，余項大小不僅與f(x）的n階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，而且還與插值點(diǎn)的位置密切有關(guān)。 6 例6l已知一氧化碳在溶液中的溶解度為： t（） 0 1 3 5 溶解度xi 0.3346 0.3213 0.2978 O.2774 求4時溶解度為多少？ 解：取二次拉格朗日模型進(jìn)行插值計算。 8 )5)(

7、3( )51)(31 ( )5)(3( )( )( )( 3121 32 1 xxxx xxxx xxxx x )5)(1( 4 1 )( )( )( 3212 31 2 xx xxxx xxxx x ) 3)(1( 8 1 )( )( )( 2313 21 3 xx xxxx xxxx x Ln-1（x）模型為 3322112 )()()()(yxyxyxxL 當(dāng)X=4時 8 )34)(14( 2774. 02879. 0 4 )54)(14( 8 )54)(34( 3213. 0)4( 2 L 2872. 02774. 0 8 3 2978. 0 4 3 8 3213. 0 7 例題6l的

8、Excel解法 依次將原始數(shù)據(jù)輸人表格的前面兩列；然后輸人插值點(diǎn)；按照公式依次輸人Wi和Wj： 乘 Yl的計算公式。由于 Excel具有輸人公式，自動顯示計算結(jié)果的能力，所以可以直接在 屏幕上看到相應(yīng)的計算結(jié)果，最后在最下面的一行中輸人求和計算公式：=SUM（E3： E5）得到預(yù)料中的計算結(jié)果數(shù)值0.287213。 溫度t溶解度x插值點(diǎn)*y 00.3346 10.3213-0.125-0.04016 30.297840.750.22335 50.27740.3750.104025 0.287213 8 牛頓插值 牛頓插值多項式的數(shù)學(xué)模型 如果將函數(shù)f(x)在諸點(diǎn)x0，x1，xn滿足：xi=xi

9、-1十h上的函數(shù)值f(x0)，f(x0 h)，f（x0十2h），f（x0十3h）f（x0nh）簡記為f0，f1，f2fn 將相鄰兩數(shù)相減得 1231201 , nn ffffffff 簡記為 010 fff 121 fff 11 nnn fff 上述各式稱為一階差分；類似地，二階差分 010 2 fff 121 2 fff 212 2 nnn fff 0 2 1 2 0 3 fff 1 2 2 2 1 3 fff3 2 2 2 3 3 nnn fff i階差分為 0 1 1 1 0 fff iii 1 1 2 1 1 fff iii 或簡記為 m j m j m jm fcf 0 10 ) 1

10、( 9 差商是設(shè)函數(shù)f(x)以及自變量的一系列互不相等的值為： x0， x1，xn，所謂不相等，即在fj時，有xixj， 此時稱 )( )()( ),(ji xx xfxf xxf ij ij ji 為一階差商。同樣二階差商： )( ),(),( ),(ki xx xxfxxf xxxf ki kjji kji 其余類推。 如果x0，x1，x2，xn是等步長的，且步長為h，即x1=x0十h；x2=x02h， xn=x0十 nh；則 m階差商與差分的關(guān)系為 m m m mh f xxxf 0 10 ),( 注意：等式右邊為常數(shù)！ 若各數(shù)據(jù)點(diǎn)m階差商為常數(shù)，則說明已不用再計算更高一階差商 值。 1

11、0 牛頓插值多項式為 )( 2 )( 1 10 2 0 2 0 0 0 xxxx h f xx h f yf )()( 110 0 n n n xxxxxx hn f 當(dāng)n=3點(diǎn)計算時；上式可寫成： )( 2 )( 10 2 0 2 0 0 0 xxxx h f xx h f yy 11 例：6.2某流體實(shí)測溫度與粘度的關(guān)系如下表所示；試求出t=25時的粘度值。 解：用牛頓插值計算首先求一階差分，二階差分并列入表中： T234 201.0051-0.04720.0035-0.0003-0.0001 220.9579-0.04370.0032-0.0004-0.0000 240.91442-0.

12、04050.0028-0.004 260.8737-0.03370.0024 280.8360-0.0353 300.8007 由表可以看出，3已接近常數(shù)，故代人牛頓插值公式 y00=1.0051；x020，x122; y；x=25，hx1-x02 所以 0035. 0 124 )2225(5 )0472. 0( 2 2025 0051. 1 25 )( 2 )( 10 2 0 2 0 0 0 xxxx h f xx h f yy 12 例6.3某二元物質(zhì)，溶質(zhì)在溶劑中的溶解度C與溶劑組成X的關(guān)系如下表。試用差分法確定 兩者之間的模型關(guān)系。 XCC2C3CC計算 0.10.2120.2510.

13、580.140.211 0.20.4630.3090.720.190.463 0.30.7220.3810.910.190.771 0.41.1530.4720.1100.181.152 0.51.6250.5820.1280.211.625 0.62.2070.7100.1490.142.207 0.72.9170.8590.1630.182.918 0.83.7760.10220.1813.775 0.94.7980.1023/4.797 1.06.001/6.001 解：設(shè)所求的多次式模型為 3 3 2 210 xaxaxaaC 13 此時h=0.1，并將求得的 0 3 0 2 0 ,C

14、CC 代人式中，即有 )2 . 0)(1 . 0( 1 . 02 058. 0 ) 1 . 0( 1 . 0 25100. 0 212. 0 2 xxxC )3 . 0)(2 . 0)(1 . 0( 1 . 023 0014. 0 3 xxx 展開化簡得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3 對于內(nèi)在數(shù)學(xué)規(guī)律復(fù)雜的數(shù)據(jù)，要使插值函數(shù)P（xi）盡量接近真實(shí)函數(shù)f(xi)，減小在 插值點(diǎn)上的誤差，插值多項式的次數(shù)則應(yīng)高一些為好。但插值多項式的次數(shù)高了又會造成 誤差積累過大。 為解決這一矛盾，可以將原始數(shù)據(jù)分段，分布采用次數(shù)較低的多項式插值。但在不同 數(shù)據(jù)段接點(diǎn)上，由于

15、插值函數(shù)不同，會造成曲線不光滑。在很多實(shí)際應(yīng)用場合，這又是不 允許的。如時間設(shè)備的外形尺寸放樣等問題。 因此又出現(xiàn)了新的插值方法。如能保證P（xi）=f(xi)=yi， P（xi）=f(xi)=yi的Hemit 插值，保證P（xi）=f(xi)=yi， P（xi）=f(xi)=yi， P（xi）=f(xi)=yi的樣條函數(shù)插值等。 14 65樣條插值 上用多項式插值時，當(dāng)插值結(jié)點(diǎn)很多時，作一個高次插值多項式是不理想的，通常采用分段插 值法。然而分段插值只能保證插值曲線連續(xù)，不能保證光滑，即節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。樣條插值就是 既能夠保證結(jié)點(diǎn)處曲線連續(xù)，又能保證光滑的一種計算方法。 本節(jié)只討論常用的

16、三次樣條插值,其特點(diǎn)是 它可保證擬合曲線一階及二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 插值多項式次數(shù)不高，為三次。 一階及二階導(dǎo)數(shù)可不通過求導(dǎo)計算 設(shè)曲線y=f(x)通過平面上n個點(diǎn)（xi，yi），假定ax1x2xn=b，于是，三次樣條插值函 數(shù)S（x）就是滿足如下條件的函數(shù)。 （1）S（xi）=yi （i=1，2，n） （2）S（x）在插值區(qū)間a，b上有一階及二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，以保證曲線的光滑。 （3）在每個子區(qū)間xi，xi-1上,s(x)均為三次多項式。 可見，三次樣條插值函數(shù)是一個分段函數(shù)，它在每個子區(qū)間上都是x的三次多項式，但通常又是 不相同的，同時，它在各分段結(jié)點(diǎn)處又都有一階及二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 15 子區(qū)間xi，xi1三次樣條插值公式為： 1 3 3 2 2 3 1 3 2 1 2 )( 2 )( 3 )( 2 )( 3 )( ii i i i ii i i i yxx h xx h yxx h xx h xS 1 3 3 2 2 3 1 3 2 1 2 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ii i i i iii i i i i mxx h xx h hmxx h xx h h (i=1,2,n-1) 式中hi=xi1xi；是任一子區(qū)間xi，xi1的長度。 Mi，Mi1為f(x)在結(jié)點(diǎn)xi，xi1處的導(dǎo)數(shù)值。并由下式求得： )( 3 1 1 1