相似原理和因次分析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 相似原理和因次分析相似原理和因次分析 第六章 相似原理和量綱分析 汽車風(fēng)洞試驗(yàn) 返回 第1頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 水力大壩試驗(yàn) 返回 第2頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 輪船水洞試驗(yàn) 返回 第3頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 u怎么做模型試驗(yàn)？ 1. 如何根據(jù)實(shí)物正確的設(shè)計(jì)和布置模型實(shí)驗(yàn)？ 2. 模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如何推廣到原型上去，并進(jìn)行推廣應(yīng)用？ 第4頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 u一個(gè)流動(dòng)某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)由另一個(gè)流動(dòng)相應(yīng)點(diǎn) 的同名參數(shù)乘以對(duì)應(yīng)點(diǎn)均相同的因子得到，稱兩 流動(dòng)相似。 一、流動(dòng)相似的定義 具體的說兩流動(dòng)相似應(yīng)滿足幾何相似、運(yùn)

2、動(dòng)相似和動(dòng) 力相似三個(gè)條件。 A kvA v B v B kv 原型 模型 A B A B 第5頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 1.幾何相似 幾何相似是指模型與原型的全部對(duì)應(yīng)線性長度成比 例，且對(duì)應(yīng)的特征角度相等。 C l l k p m l 長度比例系數(shù)： 2 l p m A k A A k面積比例系數(shù)： 3 l p m V k V V k體積比例系數(shù)： 二、相似的條件 第6頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 2.運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似） 運(yùn)動(dòng)相似是指：模型與原型的流場(chǎng)中所有對(duì)應(yīng)點(diǎn) 上對(duì)應(yīng)時(shí)刻的流速方向相同，且對(duì)應(yīng)流速的大小 的比例相等，即它們速度場(chǎng)相似。 原型 模型 第7頁/共

3、47頁 第六章 相似原理和量綱分析 p m t t t k 時(shí)間比例系數(shù)： t v pp mm a k k tv tv k 加速度比例系數(shù)： C v v k p m v 速度比例系數(shù)： 由上述比例系數(shù)可推出： 1 tlv kkk 2 tla kkk 第8頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 3.動(dòng)力相似 動(dòng)力相似是指模型與原型的流場(chǎng)所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)上作用在 流體微團(tuán)上的各種力彼此方向相同，且它們大小的比 例相等，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。 C F F k p m F 力比例系數(shù)： 2223 )( vltllamF kkkkkkkkkk 也可寫成： 第9頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 u 綜上

4、所述： 第10頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 第二節(jié) 相似定理 什么是相似準(zhǔn)則 ？ P a m a P b m b 兩個(gè)矩形要相似必滿足： m P m P b b a a m m P P b a b a 相似準(zhǔn) 則數(shù) * L 一、動(dòng)力相似準(zhǔn)則 第11頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 2213 vltvl pppp mmmm p m F kkkkkkk tvV tvV F F k maF 1 22 vl F kkk k 2 ppp p 2 mmm m vl F vl F 或 動(dòng)力相似準(zhǔn)則的推導(dǎo) 第12頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 Ne vl F 22 令： Ne稱為

5、牛頓數(shù)， 它是作用力與慣 性力的比值。 u Ne稱為牛頓數(shù)，它是某種作用力與慣性力的比值， 是無量綱數(shù)。由此可知，模型與原型的流場(chǎng)動(dòng)力相似， 它們的牛頓數(shù)必相等。 u 作用在流體微團(tuán)上的作用力有各種性質(zhì)的力，如重 力、粘滯力、壓力等，根據(jù)上式可導(dǎo)出單項(xiàng)力相似準(zhǔn) 則。 第13頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 在粘滯力作用下相似的流動(dòng)，其粘滯力場(chǎng)相似。 lv pyppp mymmm p m F kkk Addv Addv F F k 1 k kk k kkk lv lv u p pp m mm lvlv Re雷諾數(shù)，慣性力與粘滯力的比值。 1、粘滯力相似準(zhǔn)則 1 22 vl F kkk k

6、 代入 Re 第14頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 在重力作用下相似的流動(dòng)，其重力場(chǎng)相似。 gl ppp mmm gp gm F kkk gV gV F F k 3 2、 重力相似準(zhǔn)則 1 22 vl F kkk k 1 21 gl v kk k 2121 pp p mm m lg v lg v Fr-弗勞得數(shù)，慣性力與重力的比值。 代入 Fr 第15頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 在壓力作用下相似的流動(dòng)，其壓力場(chǎng)相似。 2 lp pp mm pp pm F kk AP AP F F k 代入1 22 vl F kkk k 1 2 v p kk k 22 pp p mm m

7、 v p v p Eu-歐拉數(shù)，壓力與慣性力的比值。 3、壓力相似準(zhǔn)則 Eu 第16頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 4、其它的相似準(zhǔn)則數(shù) 彈性力相似準(zhǔn)則 對(duì)于可壓縮流體的模型試驗(yàn)，由壓縮引起的 彈性力場(chǎng)相似。（Ca柯西數(shù) Ma馬赫數(shù) ，慣性力與彈性力的比值）。 非定常相似準(zhǔn)則 對(duì)于非定常流動(dòng)的模型試驗(yàn)，模型與原型的 流動(dòng)隨時(shí)間的變化必相似。（Sr 斯特勞哈爾 數(shù)，當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值）。 第17頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 二、相似定理 1.相似第一定理 第18頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 2.相似第二定理 第19頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分

8、析 3.應(yīng)用舉例 1）如果模型比例尺為1:20，考慮粘滯力相似， 采用模型中流體與原型中相同，模型中流 速為50m/s，則原型中流速為多少？ 查看答案 第20頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 解：由粘滯力相似準(zhǔn)則知模型與原型中的雷諾數(shù)應(yīng)相等： pm ReRe lm p p m kl l v v1 pm smvp/5 . 2所以： p pp m mm lv lv 雷諾數(shù)： 20 1 l ksmvm/50因?yàn)椋?返回 第21頁/共47頁 第六章 相似原理和量綱分析 2）設(shè)模型比例尺為1:100，符合重力相似準(zhǔn)則，如果模型流量為100 cm3/s ，則原型流量為多少 cm3/s ? A：0.

9、01 B：1000 C：10 D：10000 答案: c 第22頁/共47頁 【例】【例】 如圖所示，為防止當(dāng)通過油池底部的管道向外輸油時(shí)，如圖所示，為防止當(dāng)通過油池底部的管道向外輸油時(shí)， 因池內(nèi)油深太小，形成油面的旋渦將空氣吸入輸油管。需要通因池內(nèi)油深太小，形成油面的旋渦將空氣吸入輸油管。需要通 過模型實(shí)驗(yàn)確定油面開始出現(xiàn)旋渦的最小油深過模型實(shí)驗(yàn)確定油面開始出現(xiàn)旋渦的最小油深 min h 。已知輸油管已知輸油管 內(nèi)徑內(nèi)徑 d=250mmd=250mm，油的流量，油的流量 q qv v=0.14m=0.14m 3 3/s /s，運(yùn)動(dòng)粘度，運(yùn)動(dòng)粘度 sm2 5 105 . 7 。 倘若選取的長度

10、比例尺倘若選取的長度比例尺 51 1 C，為了保證流動(dòng)相似，模型輸出管為了保證流動(dòng)相似，模型輸出管 的內(nèi)徑、模型內(nèi)液體的流量和運(yùn)動(dòng)粘度應(yīng)等于多少？在模型上的內(nèi)徑、模型內(nèi)液體的流量和運(yùn)動(dòng)粘度應(yīng)等于多少？在模型上 測(cè)得測(cè)得 mmh50min ，油池的最小油深油池的最小油深 min h 應(yīng)等于多少？應(yīng)等于多少？ 油池模型 第23頁/共47頁 【解】【解】按長度比例尺得模型輸出管內(nèi)徑按長度比例尺得模型輸出管內(nèi)徑 ）（mmdCd l 50 5 250 在重力場(chǎng)中在重力場(chǎng)中 gg ， 由弗勞德數(shù)相等可得模型內(nèi)液體的流由弗勞德數(shù)相等可得模型內(nèi)液體的流 速和流量為速和流量為 vv h h v 2121 5 1

11、 ）（smqv d vdq VV 3 25212 2 0025. 0 9 .55 14. 0 5 1 5 1 54 4 由雷諾數(shù)相等可得模型內(nèi)液體的運(yùn)動(dòng)粘度為由雷諾數(shù)相等可得模型內(nèi)液體的運(yùn)動(dòng)粘度為 ）（smvv vd dv v 26 5 23 10708. 6 18.11 105 . 7 5 1 油池的最小油深為油池的最小油深為 ）（mm C h h l 250505 min min 第24頁/共47頁 1.完全相似和不完全相似 動(dòng)力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示，若原型和模型 流動(dòng)動(dòng)力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)應(yīng)均相等，如果滿足 則稱為完全的動(dòng)力相似。但是事實(shí)上，不是所有的相 似準(zhǔn)數(shù)之間都是相容的，滿足

12、了甲，不一定就能滿足 乙。所以通常考慮主要因素忽略次要因素，只能做近 似的模型實(shí)驗(yàn)。 第25頁/共47頁 例如： 粘滯力相似：由 得 重力相似：由 得 p pp m mm lv lv pm lm p p m kl l v v1 pm ReRe pm FrFr pp p mm m lg v lg v pm gg l m p p m kl l v v1 由此可以看出，有時(shí)要想做到完全相似是不可能的，只能考慮主要因素做近似模型實(shí)驗(yàn)。 第26頁/共47頁 以相似原理為基礎(chǔ)的模型實(shí)驗(yàn)方法，按照流體 流動(dòng)相似的條件，可設(shè)計(jì)模型和安排試驗(yàn)。這些條 件是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似。 前兩個(gè)相似是第三個(gè)相似的

13、充要條件，同時(shí)滿 足以上條件為流動(dòng)相似，模型試驗(yàn)的結(jié)果方可用到 原型設(shè)備中去。 第27頁/共47頁 在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn)，好多只能滿足部分相似準(zhǔn) 則，即稱之為。如上面的粘性不可壓定常流動(dòng) 的問題，不考慮自由面的作用及重力的作用，只考慮粘 性的影響，則定性準(zhǔn)則只考慮雷諾數(shù)Re，因而模型尺寸 和介質(zhì)的選擇就自由了。 有壓粘性管流中，當(dāng)雷諾數(shù)大到一定數(shù)值時(shí)，繼 續(xù)提高雷諾數(shù)，管內(nèi)流體的紊亂程度及速度剖面幾乎 不再變化，沿程能量損失系數(shù)也不再變化，雷諾準(zhǔn)則 已失去判別相似的作用。稱這種狀態(tài)為自?；癄顟B(tài)， 稱自?；癄顟B(tài)的雷諾數(shù)范圍為自?；瘏^(qū)。 第28頁/共47頁 第五節(jié) 量綱分析 1、 量綱 量綱是物

14、理量的一種本質(zhì)屬性，是同一物理量各種不同單位的集中抽象。 如： s單位：km，m，cm，mm 等 t單位：hour，min，second 等 s-具有長度的量綱L t-具有時(shí)間的量綱T V-具有速度的量綱 T L V 第29頁/共47頁 同時(shí)還有,如質(zhì)量量綱M，力的量綱F等。 基本量綱-相互獨(dú)立，不相互依賴，如M，L，T等。 導(dǎo)出量綱-由基本量綱導(dǎo)出,如 密度：dim=ML -3 表面張力：dim =MT -2 壓強(qiáng)：dimp=ML -1T-2 體積模量：dim K=ML -1T-2 速度：dimv=LT -1 動(dòng)力粘度：dim =ML -1T-1 加速度：dima =LT -2 比定壓熱容：

15、dim p c L 2T-2 -1 運(yùn)動(dòng)粘度：dim=L 2T-1 比定容熱容：dim v cL 2T-2 -1 力：dimF=MLT -2 氣體常數(shù)：dim R= L 2T-2 -1 第30頁/共47頁 一個(gè)合理的物理方程等號(hào)兩端的量綱必須相同。 2、方程量綱一致性 2 0 at 2 1 tVs 221 TLTTLTL LLL -方程兩端具有相同量綱 量綱式中各基本量綱指數(shù)均為零-無量綱量。 第31頁/共47頁 1.定義： 根據(jù)量綱量一致性原則，確定相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系。 312 123 . n aaaa n ykx x xx 假定物理量y是x1、x2等的函數(shù)。則 關(guān)鍵的問題是怎么根據(jù)量綱一致性

16、原則確定各個(gè)x的指數(shù)。 第32頁/共47頁 【例】 已知三角堰流的流量v q 主要與堰頂水頭H、三角堰 堰角、流體密度和重力加速度g有關(guān)，試用瑞利法導(dǎo)出三 角堰流量的表達(dá)式。 2. 舉例： 三角堰 第33頁/共47頁 【解】 按照瑞利法可以寫出體積流量 Hgfqv, （a） 選取 gH, 為量綱無關(guān)量，則有 cba v Hgfq)( 即： 3132 abc LtMLLtL 解得： 2 5 ; 2 1 ;0cba 即： fHgqv 2 5 2 1 當(dāng)取 2 時(shí)， constf 2 當(dāng)重力加速度g不變時(shí)，三角堰流量與堰 頂水頭H的關(guān)系為： 2 5 2 5 HCHqv 其中c只能用實(shí)驗(yàn)方法或其他方法

17、確定。 第34頁/共47頁 【例】 不可壓縮粘性流體在粗糙管內(nèi)定常流動(dòng)時(shí)，沿管道 的壓強(qiáng)降 p 與管道長度L，內(nèi)徑d，絕對(duì)粗糙度，流體的平均 流速v，密度和動(dòng)力粘度有關(guān)。試用瑞利法導(dǎo)出壓強(qiáng)降的表 達(dá)式。 【解】 按照瑞利法可以寫出壓強(qiáng)降 654321 aaaaaa vdkLp （b） 如果用基本量綱表示方程中的各物理量，則有 654 321 113121 aaa aaa TMLMLLTLLLTML 根據(jù)物理方程量綱一致性原則有 對(duì)L 654321 31aaaaaa 對(duì)T 64 2aa 對(duì)M 65 1aa 第35頁/共47頁 六個(gè)指數(shù)有三個(gè)代數(shù)方程，只有三個(gè)指數(shù)是獨(dú)立的、待定的。例六個(gè)指數(shù)有三個(gè)

18、代數(shù)方程，只有三個(gè)指數(shù)是獨(dú)立的、待定的。例 如取如取31,a a 和和6 a 為待定指數(shù)，聯(lián)立求解，可得為待定指數(shù)，聯(lián)立求解，可得 64 2aa , ,65 1aa , ,6312 aaaa 代入代入式（式（b b） ，可得） ，可得 2 6 31 v vddd L kp a aa （c c） 由于沿管道的壓強(qiáng)降是隨管長線性增加的，故由于沿管道的壓強(qiáng)降是隨管長線性增加的，故 1 1 a 。式（。式（c c）右）右 側(cè)第一個(gè)零量綱量為管道的長徑比，第二個(gè)零量綱量為相對(duì)粗糙側(cè)第一個(gè)零量綱量為管道的長徑比，第二個(gè)零量綱量為相對(duì)粗糙 度，第三個(gè)零量綱量為相似準(zhǔn)則數(shù)度，第三個(gè)零量綱量為相似準(zhǔn)則數(shù)1/Re

19、1/Re，于是可將式（，于是可將式（c c）寫成）寫成 2 Re, 2 v d L d fp （d d） 令令 d f Re, ，稱為，稱為沿程損失系數(shù)沿程損失系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，則式（，由實(shí)驗(yàn)確定，則式（d d）變）變 2 2 v d L p 第36頁/共47頁 三、定理 由于方程量綱一致性，用其中任意一項(xiàng)去除方 程兩端，都可將有量綱函數(shù)式變成無量綱函數(shù) 式。 1 at 2V at 2s ; 2V at 1 tV s 0 2 00 2 0 at 2 1 tVs 但這些無量綱函數(shù)式可以互相推導(dǎo)： 0 0 2 2 1 0 2V at s tV 2s at 2V at 第37頁/共47頁 柏金漢（B

20、uckingham）定理： 如果與某一物理問題有關(guān)的物理量有n個(gè)，這n個(gè)量的量綱 指數(shù)矩陣的秩為r，則表達(dá)這一問題規(guī)律性的n個(gè)量之間的函數(shù) 關(guān)系，可以用這n個(gè)量組成的n-r個(gè)獨(dú)立無量綱量的函數(shù)式來表 示： 2m2r,4n;0a),t,V,f(s 0 0) V as , s tV ( 2 0 0 第38頁/共47頁 1.選取影響流動(dòng)的 n 個(gè)物理量并寫出下述函數(shù)關(guān)系如 求解過程： 12 (.)0 n F x xx 2.選擇 m 個(gè)獨(dú)立變量，原則是要既相互獨(dú)立，又包 含三個(gè)基本量綱. 一般選 : 幾何尺度 幾何尺度 速度 質(zhì)量 l v 1 3 L LT ML 1 2 n n n x x x 第39

21、頁/共47頁 3.用 n m 個(gè)無量綱量寫出準(zhǔn)則方程 12 (.)0 n m f 4.求 i 21 21 iii iii abc iinnn i i abc nnn xxxx x xxx 5.將 帶入準(zhǔn)則方程式求得 結(jié)果。 i 第40頁/共47頁 【例】【例】 試用試用定理導(dǎo)出不可壓縮粘性流體在粗糙管內(nèi)的定常定理導(dǎo)出不可壓縮粘性流體在粗糙管內(nèi)的定常 流動(dòng)壓強(qiáng)降的表達(dá)式。流動(dòng)壓強(qiáng)降的表達(dá)式。 【解】【解】 根據(jù)與壓強(qiáng)降有關(guān)的物理量可以寫出物理方程式根據(jù)與壓強(qiáng)降有關(guān)的物理量可以寫出物理方程式 0,vdLpF 式中有式中有7 7個(gè)物理量，選取個(gè)物理量，選取 ,vd 為基本量，可以用它們組成為基本量，

22、可以用它們組成4 4個(gè)零個(gè)零 量綱量，即量綱量，即 111 1 cba vd p ， 222 2 cba vd ， 333 3 cba vd L ， 444 4 cba vd 用基本量綱表示用基本量綱表示 1 中的各物理量，得 中的各物理量，得 11 1 3121 cb a MLLTLTML 根據(jù)物理方程量綱一致性原則有：根據(jù)物理方程量綱一致性原則有： 對(duì)對(duì)L L 111 31cba 對(duì)對(duì)T T 1 2b 對(duì)對(duì)M M 1 1c 第41頁/共47頁 解得解得 1, 2, 0 111 cba ，故有，故有: : Eu v p 2 1 用基本量綱表示用基本量綱表示2 中的各物理量，得中的各物理量，得 22 2 3111 cb a MLLTLTML 根據(jù)物理方程量綱