平面幾何中的向量方法

1、2.5.1平面幾何中的向量方法一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：用向量方法解決平面幾何問題的基本方法和基本步驟.難點(diǎn)：如何構(gòu)建向量模型將平面幾何問題化歸為向量問題.知識(shí)點(diǎn)：運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題三步曲.能力點(diǎn)：發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，提高轉(zhuǎn)化與化歸能力.教育點(diǎn)：通過對(duì)新方法的探求，滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).自主探究點(diǎn)：三角形四心的向量表示.考試點(diǎn)：利用向量的幾何意義進(jìn)行向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算.易錯(cuò)易混點(diǎn)：向量基底的選擇.拓展點(diǎn)：利用向量證明有關(guān)不等式.二、引入新課【師生活動(dòng)】我們學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，1 .你能說出它們的幾何意義嗎？這與平面幾何哪些內(nèi)容可以相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化？(

2、1)向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則(2)向量減法的法則：三角形法則與平行四邊形法則3 )平面向量基本定理:如果e , e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) %, %使 a = % 0 +% e2.(4)向量的數(shù)量積及其幾何意義:數(shù)量積abo等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影cos0的乘積.數(shù)量積的作用求模求夾角證垂直.(5)向量的模:a =、（X X2）2 +（必 一丫2）22、向量的代數(shù)身份是通過什么來實(shí)現(xiàn)的？答：坐標(biāo)表示.當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)”的計(jì)算.【設(shè)計(jì)說明】 教師設(shè)問，學(xué)生思考畫圖，教師在多媒

3、體實(shí)物展示學(xué)生的復(fù)習(xí)成果.【設(shè)計(jì)意圖】 設(shè)置問題，點(diǎn)明主題，讓學(xué)生回顧學(xué)過的知識(shí)，明確探究方向，有利于本節(jié)課的探究.三、探究新知【情境引入】長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系?答：AB2 BC2 CD2 DA2 = AC2 BD2【師生活動(dòng)】 教師設(shè)問，學(xué)生畫圖，集體回答，教師教師在多媒體書寫公式結(jié)論.【設(shè)計(jì)意圖】 長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，公式結(jié)論是學(xué)生已知的，為研究平行四邊形這個(gè)一般問題 奠定了基礎(chǔ)，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.探究1 .例1平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖AC=AB.ADDB=AB-AD,類比長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的上述關(guān)系，你能發(fā)

4、現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條 鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？思考1 :題中的幾何問題可轉(zhuǎn)化為向量問題嗎？, &、 T 4Td【師生活動(dòng)】 分析：不妨設(shè)設(shè) AB=a,AD=b,(選擇這組基底，其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示.)AC =a+b,DB =ab,AB12 舉:電 $12.涉及長(zhǎng)度問題常?？紤]向量的數(shù)量積，為此，我們計(jì)算ac,2,db12.解:AC2=ACK=（a 混；）bib；4 4 H二aLa a_bi）同理十觀察(1),(2)兩式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)， (1) + (2)得AC2.DB2=2(a2b2)-2=2( AB2+ AD即平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.【設(shè)計(jì)說明】 教

5、師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系，利用類比的 思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系.指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，并運(yùn)用向量方法進(jìn)行證明.【設(shè)計(jì)意圖】 借助平行四邊形這個(gè)向量加法與減法的幾何模型，引導(dǎo)學(xué)生用向量的數(shù)量級(jí)證明與長(zhǎng)度 有關(guān)的幾何問題，加強(qiáng)向量方法的“三步曲”的應(yīng)用.思考2:向量也可以坐標(biāo)運(yùn)算，那么本題可以如何建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)進(jìn) 行運(yùn)算呢？解:如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B(a,0), D(b,c),則C(a+b,c)Ab =(a,0), Ad =(b,c),AC =(a b,c),DB =

6、(a -b,-c)| AB|=a,| AD|= ；b2 c2,.| AC 卜(a b)2 c2,| DB | =、(a -b)2 c2c22222222AB2 BC2 CD2 DA2 2(| AB| |AD|)=2(a b c ),AC2 BD2 =| AC |2 | DB |2 = 2(a2 b2 c2)22l22222AB +BD| =2|AB +2AD = | AB |2 十 | BC |2 十 | DC |2 十 | AD |2【師生活動(dòng)】 教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，利用向量的幾何法簡(jiǎn)捷地解決了平面幾何問題，可否利用向 量的坐標(biāo)運(yùn)算呢？這需要建立平面直角坐標(biāo)系，找出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，如果能比

7、較方便地建立起平面直 角坐標(biāo)系，如本例中圖形，很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也容易寫出，是否利 用向量的坐標(biāo)運(yùn)算能更快捷地解決問題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生建系、找點(diǎn)的坐標(biāo)，然后讓學(xué)生獨(dú)立完成.【設(shè)計(jì)意圖】 進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不同的向量方法解決典型問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生 的發(fā)散思維能力.思考3:如果不用向量方法，你能用其他方法證明上述結(jié)論嗎？證明：作CF_LAB于F, 口_1人8于,口.“則 RTAADE mRTABCF ,- AD = BC, AE = BF ,/：/：由于 AC2=AF2 CF2=(AB BF)2 CF2E=AB2 BF2 2ABLBF CF2=AB2

8、 BC2 2ABUBFBD2 =BE2 DE2 =(AB -AE)2 DE2 = AB2 -2ABLAE AE2 DE2= AB2-2ABUAE AD2 =AB2-2ABlJAE BC2AC2 BD2 =2( AB2 AD2).【師生活動(dòng)】 教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，學(xué)生作輔助線，利用平面幾何勾股定理解決問題.【設(shè)計(jì)意圖】 教師充分讓學(xué)生對(duì)以上各種方法進(jìn)行分析比較，在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的同時(shí)，讓學(xué)生體 會(huì)向量法解決幾何問題的優(yōu)越性，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟.四、理解新知【師生活動(dòng)】 師：通過以上問題的解決，我們總結(jié)一下運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個(gè) 步驟？生：

9、運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題“三步曲” ：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.師生共同簡(jiǎn)述：形到向量二 向量的運(yùn)算二向量和數(shù)到形.【設(shè)計(jì)意圖】 總結(jié)解題方法，加深對(duì)用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟的理解，突破重難點(diǎn).五、運(yùn)用新知探究2.例2如圖，平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AD, DC邊的中點(diǎn)，BE, BF分別與AC交于R,T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn) AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎?猜想：AR=RT=TC【師生活動(dòng)】 分析：由于R,T

10、是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷 AR, RT,TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR, RT,TC與AC的關(guān)系即可解：第一步，建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向 量問題：設(shè)AB=a,AD=b,ARj,則 AC=a+b.第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系 由于AR與AC共線，所以我們?cè)O(shè)AR = r = nAC = n(a b), n R又因?yàn)?EB = AB - AE =a -b2ER與EB共線，所以我們?cè)O(shè)ER=mEB=m(agb)因?yàn)锳R AE E所以. 1, 1。r 二一b m(a -b)22因此1 1 r 1 1、n(a b) b m(a b),

11、22m m 1 T (n - m)a (n )b =0 .2由于向量a,b不共線，要使上式為0,必須n -m = 0解得1n = m =一3所以1AR AC.3同理1 TC = 一 AC .31 RT = AC .3第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系A(chǔ)R = RT =TC .【設(shè)計(jì)說明】 此題對(duì)學(xué)生而言有一定難度，先用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示并展示測(cè)量的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生觀察猜 想出結(jié)論，師生共同分析，指導(dǎo)學(xué)生如何將幾何問題化歸為向量問題，突破本題難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用待 定系數(shù)法表示兩平行向量，進(jìn)而解答出此題.通過“舉一反三”，讓學(xué)生熟練應(yīng)用此題中的數(shù)學(xué)思想和方法.【設(shè)計(jì)意圖】 通過此題進(jìn)一步熟悉向量法的“三

12、步曲”的應(yīng)用，同樣重要的是此題應(yīng)用到了平行向量 基本定理和平面向量基本定理，用向量的數(shù)乘表示其平行向量的重要數(shù)學(xué)思想，和待定系數(shù)法這個(gè)重 要的數(shù)學(xué)方法.通過此題啟發(fā)學(xué)生靈活運(yùn)用向量工具解幾何問題.變式練習(xí)1 .已知AC為圓O的一條直徑，NABC為圓周角.求證：/ABC =90，.證明：設(shè) AO =a =OC,OB =b, a = bT T 1 . T -4AB = AO +OB =a +b, BC =a -b ,AB=(aa -b) = a.AB _ BC , . . ABC = 90 .【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活的利用圓的特性、線段垂直的關(guān)系等知識(shí)巧妙地將幾何問題化歸為向量 問題.T T T

13、OA=(0, a), BA=(c,a),OC =(c,0), BC =(2c,0).因?yàn)锽B,CC 都是中線,3c aBC BA) = (3c,-) =1所以BB = 1 (2同理 CC =(-3c,a),2 2因?yàn)锽B_LCC,所以9 2-c4所以cosAAB *AC22-22a - c 9c - c 222| AB | AC | a c 9c c22a2一 =0 , a4【設(shè)計(jì)說明】教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，上例利用向量的幾何法簡(jiǎn)捷地解決了平面幾何問題.可否利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算呢？這需要建立平面直角坐標(biāo)系,找出所需點(diǎn)的坐標(biāo).如果能比較方便地建立起平面直找點(diǎn)的坐標(biāo)，然后讓學(xué)生獨(dú)立完成.角坐標(biāo)系，

14、如本例中圖形，很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也容易寫出，是否 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算能更快捷地解決問題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生建系、【設(shè)計(jì)意圖】 本例利用的方法與探究 2有所不同，但其本質(zhì)是一致的，比較兩種解法的異同，找出其 內(nèi)在的聯(lián)系，以達(dá)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用.課堂練習(xí):1 .向量OA = a, OB=b,且不共線，則NAOB的平分線OM可表示為（ D ）C.B.b a +|a bD.g導(dǎo)+舟2.如圖，已知 AD, BE,CF是AABC三條高.求證:AD,BE,CF 交于一點(diǎn).分析：設(shè)AD與BE交于H ,只須證CH _L AB由此可設(shè)CA = aCB = b CH = h如何證CH 1

15、AB ?如何證CH AB = 0 ?利用AH CB , BHCA.(解答過程由學(xué)生完成)六、課堂小結(jié)1.用向量法解平面幾何問題的基本思路 用向量方法解決平面幾何的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系簡(jiǎn)述：形到向量 二向量的運(yùn)算 二 向量和數(shù)到形.2.本節(jié)課用到了哪些思想方法 ？平面向量的基本定理如果0,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)說明：(1)作為基底的兩個(gè)向量必須不共線(2)用

16、基底可以表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量(3)基底給定時(shí)，分解形式唯一.當(dāng)要表示同一平面內(nèi)的多個(gè)向量時(shí)，要想到向量基底化”思想.【設(shè)計(jì)意圖】 使學(xué)生把解題過程中的思想方法總結(jié)出來，達(dá)到思維能力的提升，從而更廣泛的應(yīng)用于 以后的學(xué)習(xí)中.七、布置作業(yè)1.必做題：課本P113 A組1、22 .選做題：設(shè)過MOB的重心G的直線與邊OA,OB分別交于點(diǎn) P,Q ,設(shè) OP = xOA,OQ = yOB , AAOB與AOPQ的面積分別是S,T ,111 一 1 一證明：(1) _L+_L=3;(2) _LswTeS.x y92【設(shè)計(jì)意圖】 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，設(shè)置分層作業(yè)，滿足每一位學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望和信心3.課后練習(xí) 自主學(xué)習(xí)叢書2 .5八、教后反思本節(jié)知識(shí)容量較大，思維量較高，相比較向量的代數(shù)運(yùn)算，向量的幾何運(yùn)算學(xué)生往往感到比較困 難，