平面幾何中的向量方法

1、2.5.1平面幾何中的向量方法一、教學目標重點：用向量方法解決平面幾何問題的基本方法和基本步驟.難點：如何構(gòu)建向量模型將平面幾何問題化歸為向量問題.知識點：運用向量方法解決平面幾何問題三步曲.能力點：發(fā)展創(chuàng)新意識，提高轉(zhuǎn)化與化歸能力.教育點：通過對新方法的探求，滲透教學內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點.自主探究點：三角形四心的向量表示.考試點：利用向量的幾何意義進行向量的線性運算與數(shù)量積運算.易錯易混點：向量基底的選擇.拓展點：利用向量證明有關(guān)不等式.二、引入新課【師生活動】我們學習了向量的線性運算與數(shù)量積運算，1 .你能說出它們的幾何意義嗎？這與平面幾何哪些內(nèi)容可以相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化？(

2、1)向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則(2)向量減法的法則：三角形法則與平行四邊形法則3 )平面向量基本定理:如果e , e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù) %, %使 a = % 0 +% e2.(4)向量的數(shù)量積及其幾何意義:數(shù)量積abo等于a的長度與b在a方向上投影cos0的乘積.數(shù)量積的作用求模求夾角證垂直.(5)向量的模:a =、（X X2）2 +（必 一丫2）22、向量的代數(shù)身份是通過什么來實現(xiàn)的？答：坐標表示.當向量與平面坐標系結(jié)合以后，向量的運算就可以完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)”的計算.【設計說明】 教師設問，學生思考畫圖，教師在多媒

3、體實物展示學生的復習成果.【設計意圖】 設置問題，點明主題，讓學生回顧學過的知識，明確探究方向，有利于本節(jié)課的探究.三、探究新知【情境引入】長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系?答：AB2 BC2 CD2 DA2 = AC2 BD2【師生活動】 教師設問，學生畫圖，集體回答，教師教師在多媒體書寫公式結(jié)論.【設計意圖】 長方形是特殊的平行四邊形，公式結(jié)論是學生已知的，為研究平行四邊形這個一般問題 奠定了基礎(chǔ)，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學思想.探究1 .例1平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖AC=AB.ADDB=AB-AD,類比長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的上述關(guān)系，你能發(fā)

4、現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條 鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？思考1 :題中的幾何問題可轉(zhuǎn)化為向量問題嗎？, &、 T 4Td【師生活動】 分析：不妨設設 AB=a,AD=b,(選擇這組基底，其它線段對應向量用它們表示.)AC =a+b,DB =ab,AB12 舉:電 $12.涉及長度問題常?？紤]向量的數(shù)量積，為此，我們計算ac,2,db12.解:AC2=ACK=（a 混；）bib；4 4 H二aLa a_bi）同理十觀察(1),(2)兩式的特點，我們發(fā)現(xiàn)， (1) + (2)得AC2.DB2=2(a2b2)-2=2( AB2+ AD即平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.【設計說明】 教

5、師引導學生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系，利用類比的 思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系.指導學生猜想出結(jié)論：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和，并運用向量方法進行證明.【設計意圖】 借助平行四邊形這個向量加法與減法的幾何模型，引導學生用向量的數(shù)量級證明與長度 有關(guān)的幾何問題，加強向量方法的“三步曲”的應用.思考2:向量也可以坐標運算，那么本題可以如何建立直角坐標系，設點的坐標轉(zhuǎn)化為向量的坐標進 行運算呢？解:如圖建立平面直角坐標系，設B(a,0), D(b,c),則C(a+b,c)Ab =(a,0), Ad =(b,c),AC =(a b,c),DB =

6、(a -b,-c)| AB|=a,| AD|= ；b2 c2,.| AC 卜(a b)2 c2,| DB | =、(a -b)2 c2c22222222AB2 BC2 CD2 DA2 2(| AB| |AD|)=2(a b c ),AC2 BD2 =| AC |2 | DB |2 = 2(a2 b2 c2)22l22222AB +BD| =2|AB +2AD = | AB |2 十 | BC |2 十 | DC |2 十 | AD |2【師生活動】 教師可引導學生思考探究，利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題，可否利用向 量的坐標運算呢？這需要建立平面直角坐標系，找出所需點的坐標，如果能比

7、較方便地建立起平面直 角坐標系，如本例中圖形，很方便建立平面直角坐標系，且圖形中的各個點的坐標也容易寫出，是否利 用向量的坐標運算能更快捷地解決問題呢？教師引導學生建系、找點的坐標，然后讓學生獨立完成.【設計意圖】 進一步調(diào)動學生的思維，引導學生應用不同的向量方法解決典型問題，有利于培養(yǎng)學生 的發(fā)散思維能力.思考3:如果不用向量方法，你能用其他方法證明上述結(jié)論嗎？證明：作CF_LAB于F, 口_1人8于,口.“則 RTAADE mRTABCF ,- AD = BC, AE = BF ,/：/：由于 AC2=AF2 CF2=(AB BF)2 CF2E=AB2 BF2 2ABLBF CF2=AB2

8、 BC2 2ABUBFBD2 =BE2 DE2 =(AB -AE)2 DE2 = AB2 -2ABLAE AE2 DE2= AB2-2ABUAE AD2 =AB2-2ABlJAE BC2AC2 BD2 =2( AB2 AD2).【師生活動】 教師可引導學生思考探究，學生作輔助線，利用平面幾何勾股定理解決問題.【設計意圖】 教師充分讓學生對以上各種方法進行分析比較，在培養(yǎng)學生發(fā)散思維的同時，讓學生體 會向量法解決幾何問題的優(yōu)越性，適時引導學生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟.四、理解新知【師生活動】 師：通過以上問題的解決，我們總結(jié)一下運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個 步驟？生：

9、運用向量方法解決平面幾何問題“三步曲” ：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.師生共同簡述：形到向量二 向量的運算二向量和數(shù)到形.【設計意圖】 總結(jié)解題方法，加深對用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟的理解，突破重難點.五、運用新知探究2.例2如圖，平行四邊形 ABCD中，點E,F分別是AD, DC邊的中點，BE, BF分別與AC交于R,T兩點，你能發(fā)現(xiàn) AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎?猜想：AR=RT=TC【師生活動】 分析：由于R,T

10、是對角線AC上的兩點，要判斷 AR, RT,TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR, RT,TC與AC的關(guān)系即可解：第一步，建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向 量問題：設AB=a,AD=b,ARj,則 AC=a+b.第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系 由于AR與AC共線，所以我們設AR = r = nAC = n(a b), n R又因為1EB = AB - AE =a -b2ER與EB共線，所以我們設ER=mEB=m(agb)因為AR AE E所以. 1, 1。r 二一b m(a -b)22因此1 1 r 1 1、n(a b) b m(a b),

11、22m m 1 T (n - m)a (n )b =0 .2由于向量a,b不共線，要使上式為0,必須n -m = 0解得1n = m =一3所以1AR AC.3同理1 TC = 一 AC .31 RT = AC .3第三步，把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系A(chǔ)R = RT =TC .【設計說明】 此題對學生而言有一定難度，先用幾何畫板動態(tài)演示并展示測量的數(shù)據(jù)，讓學生觀察猜 想出結(jié)論，師生共同分析，指導學生如何將幾何問題化歸為向量問題，突破本題難點，引導學生用待 定系數(shù)法表示兩平行向量，進而解答出此題.通過“舉一反三”，讓學生熟練應用此題中的數(shù)學思想和方法.【設計意圖】 通過此題進一步熟悉向量法的“三

12、步曲”的應用，同樣重要的是此題應用到了平行向量 基本定理和平面向量基本定理，用向量的數(shù)乘表示其平行向量的重要數(shù)學思想，和待定系數(shù)法這個重 要的數(shù)學方法.通過此題啟發(fā)學生靈活運用向量工具解幾何問題.變式練習1 .已知AC為圓O的一條直徑，NABC為圓周角.求證：/ABC =90，.證明：設 AO =a =OC,OB =b, a = bT T 1 . T -4AB = AO +OB =a +b, BC =a -b ,AB=(aa -b) = a.AB _ BC , . . ABC = 90 .【設計意圖】讓學生學會靈活的利用圓的特性、線段垂直的關(guān)系等知識巧妙地將幾何問題化歸為向量 問題.T T T

13、OA=(0, a), BA=(c,a),OC =(c,0), BC =(2c,0).因為BB,CC 都是中線,3c aBC BA) = (3c,-) =1所以BB = 1 (2同理 CC =(-3c,a),2 2因為BB_LCC,所以9 2-c4所以cosAAB *AC22-22a - c 9c - c 222| AB | AC | a c 9c c22a2一 =0 , a4【設計說明】教師可引導學生思考探究，上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題.可否利用向量的坐標運算呢？這需要建立平面直角坐標系,找出所需點的坐標.如果能比較方便地建立起平面直找點的坐標，然后讓學生獨立完成.角坐標系，

14、如本例中圖形，很方便建立平面直角坐標系，且圖形中的各個點的坐標也容易寫出，是否 利用向量的坐標運算能更快捷地解決問題呢？教師引導學生建系、【設計意圖】 本例利用的方法與探究 2有所不同，但其本質(zhì)是一致的，比較兩種解法的異同，找出其 內(nèi)在的聯(lián)系，以達融會貫通，靈活運用.課堂練習:1 .向量OA = a, OB=b,且不共線，則NAOB的平分線OM可表示為（ D ）C.B.b a +|a bD.g導+舟2.如圖，已知 AD, BE,CF是AABC三條高.求證:AD,BE,CF 交于一點.分析：設AD與BE交于H ,只須證CH _L AB由此可設CA = aCB = b CH = h如何證CH 1

15、AB ?如何證CH AB = 0 ?利用AH CB , BHCA.(解答過程由學生完成)六、課堂小結(jié)1.用向量法解平面幾何問題的基本思路 用向量方法解決平面幾何的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系簡述：形到向量 二向量的運算 二 向量和數(shù)到形.2.本節(jié)課用到了哪些思想方法 ？平面向量的基本定理如果0,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對實數(shù)說明：(1)作為基底的兩個向量必須不共線(2)用

16、基底可以表示平面內(nèi)任意一個向量(3)基底給定時，分解形式唯一.當要表示同一平面內(nèi)的多個向量時，要想到向量基底化”思想.【設計意圖】 使學生把解題過程中的思想方法總結(jié)出來，達到思維能力的提升，從而更廣泛的應用于 以后的學習中.七、布置作業(yè)1.必做題：課本P113 A組1、22 .選做題：設過MOB的重心G的直線與邊OA,OB分別交于點 P,Q ,設 OP = xOA,OQ = yOB , AAOB與AOPQ的面積分別是S,T ,111 一 1 一證明：(1) _L+_L=3;(2) _LswTeS.x y92【設計意圖】 鞏固基礎(chǔ)知識，設置分層作業(yè)，滿足每一位學生，增強學生學習數(shù)學的愿望和信心3.課后練習 自主學習叢書2 .5八、教后反思本節(jié)知識容量較大，思維量較高，相比較向量的代數(shù)運算，向量的幾何運算學生往往感到比較困 難，