第一型曲線積分.doc

1、第二十章曲線積分1 第一型曲線積分教學(xué)目的 ：掌握第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式教學(xué)重點(diǎn)：第一型曲線積分的計算 .教學(xué)難點(diǎn)：第一型曲線積分的計算公式.教學(xué)過程一、引言金屬曲線的質(zhì)量問題設(shè)有一根有限的金屬曲線C , 其線密度是不均勻的 , 在 C 上的點(diǎn) (x,y)處的密度為 p (x , y ) , 試問該曲線的質(zhì)量是多少 ?用微分分析來處理之 , 若 p 均勻 , 則好處理 : m=p(C).a) 分割 : 設(shè)曲線 C端點(diǎn)為 A,B, 從 A 到 B 依次插入 A1 , A2 , An 1 , 這樣曲線 C就 分 成 了 一 些 小 弧 段 . 把 Ai 1 Ai （ A 0A, An

2、B ）的弧長記為Si , i 1,2,n , 在每一小弧段數(shù) Ai 1 Ai上都任取一點(diǎn) p ( i , i ) . 顯然 ,當(dāng) Si 很小時 ,Ai 1 Ai 的質(zhì)量 mi 近似等于 p( i , i )Si . 從而整個金屬曲線 C的質(zhì)量 m:mmb) 作和 :m=m ip( i,i)Sii1i1c)取極限 : 令 s=max Si , 則nm=limp( i , i )Sii1上式右端還是分割 , 作和 , 取極限 , 這意外著我們已經(jīng)達(dá)到一種類型的積分 , 這種積分就是第一類曲線積分 .抽去上述問題的實(shí)際背景, 并把它推廣到 中就有下面的定義 :二、第一型曲線積分的概念與性質(zhì)（一）、第

3、一類曲線積分的定義定義設(shè) L 為平面上可求長度的曲線段，f x, y 為定義在 L 上的函數(shù)對曲1線 L 作分割 T ，它把 L 分成 n 個可求長度的小曲線段 Li （ i1,2, , n ）， Li 的弧長 記 為Tmaxsi， 在 Li 上 任 取 一 點(diǎn)i , isi ， 分 割 T 的 細(xì) 度 為1 i n（ i 1,2,n ）若有極限nlimf i , isiT0i 1= J ，且 J 的值與分割 T 與點(diǎn) i ,i的取法無關(guān)， 則稱此極限為 fx, y 在 L 上的第一型曲線積分，記作fx, y dsL（二）、第一型曲線積分的性質(zhì)f ix, y ds, n ）都存在， ci （

4、i,n ），為常數(shù)，則（1）若 L（ i1,2,1,2,nnci fix, y ds= icif ix, y dsL i11L.（2）若曲線段 L 由曲線 L1 ,L 2 Ln ，首尾相接而成， L if x, y ds都存在，則nf x, y dsf x, y dsfx, y dsL也存在，且 L= i 1L i.fx, y dsg x, y dsx, yg x, y ，則（）若L， L都存在，且在 L 上 f3fx, y dsg x, y dsLL.fx, y dsfx, y dsf x, y dsf x, y ds（4）若 L存在，則 L也存在，且 LL.f x, y ds（5）若 L存

5、在， L 的弧長為 s ，則存在常數(shù) c ，使得f x, y dsL=c s ，inff x, ycmax f x, y.這里 LL三、第一類曲線積分的計算2xt ,定理 20.1 設(shè)有光滑曲線 L ： ytx, y 為定義在上的連續(xù)t ,， f函數(shù)，則f x, y ds f t , t2 t2 t dtL=.(3)證明由弧長公式知道， L 上由 tt i 1 到 tti 的弧長 ,t i2 t2t dtsit i 1，由2t2t的連續(xù)性與積分中值定理，有si22t iti 1tiiii，nn22fi , isifi ,ti= i 1ii所以i1，這里 t i1i ,iti設(shè)n2222f,i

6、t iiiiii1，nn22fi ,sif,ti則有iiii，(4)i 1= i1+令 tmaxt1 ,tn1，則當(dāng) T0 時，必有 t 0現(xiàn)在證明lim0t 0.因?yàn)閺?fù)合函數(shù) ft ,t關(guān)于 t 連續(xù)，所以在閉區(qū)間, 上有界，即存在常數(shù)M ，使對一切 t,都有ft ,tM，2222iiii，再由2 t2 t在,上連續(xù)，所以它在,上一致連續(xù)，即對任給的22220，必存在0 ，使當(dāng) t時有iiii，MntiM ba從而lim0.i1,所以 t 03再由定積分定義nf22itift , t2t2t dti ,ii 1=，因此當(dāng)在 (4)式兩邊取極限后，即所要證的式 .當(dāng)曲線 L 由方程 yx ,

7、xa, b 表示，且 yx 在 a,b 上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)b2時， (3) 式成為f x,xt1x dxa.注：1.小參數(shù)值作下限，大參數(shù)值作上限1. 上述公式可能為在替換xx(t). y y(t ).zz(t)下積分 f xy z ds 的變形( , ).c2.注意:ds222x (t )y (t)z (t )dt3. 利用弧長公式 : 把第一類曲線積分化為定積分計算 .4. 特別地 , 如果曲線 C 為一光滑的平面曲線 , 解為 y= (x) (a x b), 那么有2f (x, y)dsf x,( x) 1 ( x)dx .c若曲線 C 方程為 x( y), y c, d ,d2則f xyf

8、yyy dy .) 1( , (),( )cc5. 這個積分的特性在于曲線 C 的方向無關(guān) , 又稱為關(guān)于弧長的積分 .x a c o ts,例 1設(shè)L是半圓ya s i nt,0 t試計算第一型曲線積分x2y 2dsL.x 2y 2dsa2a 2 cos2 tsin2 t dt a3解L= 0.設(shè) L 是 y 24x 從 O0,0 到 A 1,2yds例 2的一段，試計算第一型曲線積分 L.42223y2 2y224ydsy 1dy12 2 10解L= 04343.空間曲線 L 上的第一型曲線積分 :設(shè)空間曲線L : x(t ) , y(t) , z(t) , t , .函數(shù) (t ) ,(t ) ,(t ) 連續(xù)可導(dǎo) ,則對 L 上的連續(xù)函數(shù) f ( x, y, z) ,有f (x, y, z) dsf(t ) ,(t) ,(t)2 (t )2 (t )2 (t)dt .L例 3計算積