數(shù)值分析冪法和反冪法.doc

1、題冪法和反冪法求矩陣特征值目具隨機(jī)產(chǎn)生一對(duì)稱矩陣，對(duì)不同的原點(diǎn)位移和初值(至少取 3 個(gè))分別使用冪體法求計(jì)算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計(jì)算矩陣的按模最小特征內(nèi)值及特征向量，并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收斂。容1.認(rèn)真讀題，了解問題的數(shù)學(xué)原形；要2.選擇合適問題求解的數(shù)值計(jì)算方法；求3.設(shè)計(jì)程序并進(jìn)行計(jì)算；4.對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋說明；對(duì)于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設(shè)計(jì)和流程圖，理論依據(jù)，程序及結(jié)果進(jìn)行闡述該問題。一問題的分析：求 n 階方陣 A 的特征值和特征向量，是實(shí)際計(jì)算中常常碰到的問題，如：采機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問題等。對(duì)于 n 階矩

2、陣 A，若存在數(shù)和用n 維向量 x 滿足Ax=x（1）方則稱 為矩陣 A 的特征值， x 為相應(yīng)的特征向量。法由高等代數(shù)知識(shí)可知，特征值是代數(shù)方程及|I-A|=n +a1n 1 + +a n 1 +a n =0（2）結(jié)的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡(jiǎn)單，只需果求解方程（ 2）的根，就能得到特征值，再解齊次方程組說（I-A ） x=0（3）明的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。上述方法對(duì)于 n 很小時(shí)是可以的。但當(dāng)n 稍大時(shí)，計(jì)算工作量將以驚人的速度增大， 并且由于計(jì)算帶有誤差， 方程（2）未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程（2）與（ 3）的困難了。冪法是一種計(jì)算矩陣主

3、特征值（矩陣按模最大的特征值）及對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，特別是用于大型稀疏矩陣。反冪法是計(jì)算海森伯格陣或三角陣的對(duì)應(yīng)一個(gè)給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二算法設(shè)計(jì)及流程圖1、冪法算法（1）取初始向量 u ( 0 ) （例如取 u( 0) =(1,1,1) T ）, 置精度要求，置 k=1.（2）計(jì)算v ( k ) =Au( k1) ,m k =max(v( k ) ), u (k ) = v ( k) / m k（3）若 | m k = mk 1| ，則停止計(jì)算（ mk作為絕對(duì)值最大特征值1 ，u ( k) 作為相應(yīng)的特征向量）否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（ 2）2、反冪法算法（1）取初始向量

4、 u ( 0 ) （例如取 u( 0) =(1,1,1) T ）, 置精度要求，置 k=1.（2）對(duì) A 作 LU分解，即 A=LU（3）解線性方程組Ly(k ) =u( k 1) ,Uv ( k ) =y (k)（4）計(jì)算mk =max(v(k ) ), u ( k ) = v ( k) / m k（5）若 |m k =mk 1 |，則停止計(jì)算（ 1/m k作為絕對(duì)值最小特征值n ，u ( k) 作為相應(yīng)的特征向量） ; 否則置 k=k+1，轉(zhuǎn)（ 3）.冪法流程圖：開始輸入 A；m,u,index=pow(A,1e-6)k=0;m1=v=A*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);

5、u=v/mabs(m-m1) 1e-6index=1;break;輸出： m，u，index結(jié)束m1=m;k=k+1反冪法流程圖開始輸入 A；m ,u,index=pow_inv(A,1e-6)k=0;m1=0v=invA*um1=m;k=k+1vmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)|2 | | n |則計(jì)算最大特征值與特征向量的迭代格式為v (k ) =Au( k 1),m k =max(v( k) ), u (k ) = v ( k ) / m k（ 1）其中 max(v( k) ) 表示向量 v ( k)絕對(duì)值的最大分量。2、對(duì)于冪法的定理按式（ 1

6、）計(jì)算出 mk 和 u (k ) 滿足lim mk =1 ,lim u ( k) =x1kkmax(x1 )（二）反冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)反冪法是用來計(jì)算絕對(duì)值最小的特征值忽然相應(yīng)的特征向量的方法。是對(duì)冪法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè) A 是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設(shè)特征值為| 1 | | 2 | | n 1 | n | 則按 A 1 的特征值絕對(duì)值的大小排序，有|1 |1| | 1 |nn 11對(duì) A 1 實(shí)行冪法，就可得 A 1 的絕對(duì)值最大的特征值 1/ n 和相應(yīng)的特征向量，即 A的絕對(duì)值最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。由于用 A1代替 A 作冪

7、法計(jì)算，因此該方法稱為反冪法，反冪法的迭代格式為v( k ) = A 1 u ( k1) ,m k =max(v( k) ), u ( k ) = v ( k) / m k（ 2）2、對(duì)于反冪法的定理按式（ 2）計(jì)算出的 m和 u ( k ) 滿足：kxnlim mk = 1 ,lim u (k ) =knkmax(xn )在式（ 2）中，需要用到 A 1，這給計(jì)算帶來很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改為求解線性方程組A v(k ) = u ( k 1)（3）但由于在反冪法中，每一步迭代都需求解線性方程組（3）式，迭代做了大量的重復(fù)計(jì)算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣A 作 LU分解，即

8、A=LU所以線性方程組（ 3）改為L(zhǎng)y( k) =u( k 1) ,Uv ( k ) =y (k)四、算法程序設(shè)計(jì)代碼冪法程序，在 matlab 中建立一個(gè) M 文件并保存。%pow.mfunction m,u,index,k=pow(A,u,ep,it_max)if nargin4it_max=1000;endif nargin3ep=1e-5;endn=length(A);index=0;k=0;m1=0;m0=0;I=eye(n);T=A-m0*I;while k=it_maxv=T*u;vmax,i=max(abs(v);m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)ep;inde

9、x=1;break;endm=m+m0;m1=m;k=k+1;end在 matlab 輸入面板，輸入A=rand （ 4）； %產(chǎn)生一個(gè) 4 維隨機(jī)矩陣B=A+A ；u=1 1 1 1 ;% 設(shè)立初始向量m,u,index,k=pow(B ， u,ep,it_max)% 最多 可省略 2 個(gè)參數(shù)程序結(jié)束。在 M 文件中可以通過改變m0 的值改變?cè)c(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。反冪法程序設(shè)計(jì)代碼：在 matlab 中建立一個(gè) M 文件并保存。%pow_inv.mfunctionm,u,index,k=pow_inv(A,u,ep,it_max)if nargin4it_max=1000;endi

10、f nargin3ep=1e-5;endn=length(A);index=0;k=0;m1=0;m0=0;I=eye(n);T=A-m0*I;invT=inv(T);while k=it_maxv=invT*u;vmax,i=max(abs(v);m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)B=rand(4);A=B+B A =0.26750.57760.63441.31300.57761.15030.76410.13670.63440.76410.02570.41931.31300.13670.41931.2248 u=1 1 1 1; m,u,index,k=pow(A,u) m

11、=2.6813u =0.85760.69340.56231.0000index =1k =49修改 M0=1e-3m =2.6814u =0.85760.69340.56231.0000index =0k =1001修改 M0=0%此時(shí)為冪法m =2.6815u =0.85760.69350.56231.0000index =1k =10修改 U=1 2 3 4修改 M0=1e-4m =2.6813u =0.85760.69340.56231.0000index =1k =9修改 M0=1e-3m =2.6805u =0.85760.69340.56221.0000index =1k =7修改

12、 M0=0m =2.6814u =0.85760.69340.56231.0000index =1k =9修改 U=3 5 6 7修改 M0=1e-4m =2.6819u =0.85770.69370.56241.0000index =1k =7修改 M0=1e-3m =2.6814u =0.85760.69340.56231.0000index =0k =1001修改 M0=0m =2.6820u =0.85770.69370.56241.0000index =1k =7總結(jié)以上 ,冪法如下：Um0muindexk0.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.0000

13、14911110.0012.68140.5876 0.6934 0.5623 1.00000100102.68150.8576 0.6935 0.5623 1.00001100.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.00001912340.0012.68050.8576 0.6934 0.5622 1.00001702.68140.8576 0.6934 0.5623 1.0000190.00012.68190.8577 0.6937 0.5624 1.00001735670.0012.69140.8576 0.6934 0.5623 1.00000100102.6

14、920.8577 0.6937 0.5624 1.000017反冪法結(jié)果顯示：在m0 為 0 時(shí)M0=0.001U=1 1 1 1M0=0.1u=1 1 1 1M0=0 u=1 3 5 7M0=0.1u=1 3 5 7M0=0.5u=1 3 5 7M0=0u=2 3 4 5M0=0.1u=2 3 4 5M0=0.7u=2 3 4 5綜上，反冪法結(jié)果如下：um0muindexk11110.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641150.0010.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411600.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411613570.50.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.23641270.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364120234 50.70.7091-0.6962 -0.4497 0.2196 1.0000150.10.3847-0.8995 1.000