射影平面教學(xué)輔導(dǎo)

1、射影平面 教學(xué)輔導(dǎo)一、教學(xué)要求1. 知道無窮遠(yuǎn)元素，平面幾何、射影幾何的基本特征。2. 了解平面射影坐標(biāo)系， 熟練掌握齊次坐標(biāo)與非齊次坐標(biāo)之間的變換、 線坐標(biāo)的計(jì)算。3. 理解并熟練掌握笛沙格透視定理4. 理解平面對(duì)偶原理。 重點(diǎn)：坐標(biāo)變換、笛沙格定理。 難點(diǎn)：建立無窮遠(yuǎn)元素的概念。 二、典型例題講解 1填空選擇題1）射影對(duì)應(yīng)把平行四邊形變成（）.2）射影對(duì)應(yīng)把矩形變成（）.3）射影對(duì)應(yīng)把梯形變成（）.4）射影對(duì)應(yīng)把三角形中位線變成（）.5）射影對(duì)應(yīng)把三角形中線變成（）.解 理論 1）平行性質(zhì)不是射影性質(zhì)，在中心投影下會(huì)改變2）單比不是射影性質(zhì)，在中心投影下會(huì)改變3）距離（長度）不是射影性質(zhì)，

2、在中心投影下會(huì)改變4）角度不是射影性質(zhì)，在中心投影下會(huì)改變答：1）任意四邊形2）任意四邊形3）任意四邊形4）相交于兩腰的任意一條直線5）過這個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上任意一點(diǎn)的直線2 設(shè)OX , OY , OZ為三條定直線， A , B為二定點(diǎn)，其連線過 0，點(diǎn)R為0Z上 的動(dòng)點(diǎn)，且直線 RA, RB分別交OX , 0Y于點(diǎn)P , Q，求證：PQ通過AB上一定點(diǎn).證明關(guān)鍵這個(gè)題目是要證明 PQ的連線通過 AB上一定點(diǎn)，屬于三線共點(diǎn)問題， 只涉及點(diǎn)和直線的結(jié)合性，可以利用“射影到無窮遠(yuǎn)”.1O A B為無窮遠(yuǎn)直線，如圖2所示,第2題圖c4.設(shè)P , Q , R , S為完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn),PS QR A （

3、PS與QR的交點(diǎn)為A ）,理論相交于影消線上的二直線，其象為二平行直線.取OAB所在直線為影消線，經(jīng)過中心投影之后,則&PP2R2，Q1Q2 r2 R1為平行四邊形.于是P| P2 / R1R2, R1R2 / Q1Q2 ,所以 PP2/Q1Q2因此，P1Q1與P2Q2的象交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以，P1Q1與P2Q2相交于AB上一定點(diǎn).3.證明如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).證明理論笛沙格定理：1.如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.2.如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).如圖所示，若三點(diǎn)形 ABC與ABC的對(duì)應(yīng)邊BC與BC的交點(diǎn)

4、X , AC與AC的交點(diǎn)Y , AB與AB 的交點(diǎn)Z共線，考慮三點(diǎn)形 XBB , YAA ,由于XY與AB , AB都交于點(diǎn)Z , 由笛沙格定理，三組對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)C , C , O共線,于是AA , AB , CC共線.B!PR QS B, PQ RS C , BC QR A1, CA RP B1, AB PQ C1，試證:A , B1, C1 共線.證明理論笛沙格定理：1.如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.2.如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).如圖所示在三角形 ABC和PQR中， 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線 AP , BQ , CR共點(diǎn)于 由笛沙格定理

5、，對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn) A1, B1 ,第4題圖5. 試求出下面各點(diǎn)的齊次坐標(biāo).3(1) 以一為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn).4(2) 3x y 10上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn).解 (1)理論一組直線y kx上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為(1,k, 0).3 3于是，以一為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為(1,一,0)4 4(2)理論(p, pk, 0)與(1, k, 0)表示同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，即平行線相交于同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn).(1, k,0)為一組直線y kx上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，因?yàn)?x y 10平行于y 3x ,所以3x y 10上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為(1, 3,0).注意平面內(nèi)一組平行線相交于同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)所以，可以利用y 3x來求3

6、x y 10上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn).6若存在，求下列各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo).A(2, 4, 1) ；B(0, 4,3) ； C(1,8, 0).解關(guān)鍵利用齊次坐標(biāo)(論小2小3)和非齊次坐標(biāo)(x, y)之間的關(guān)系 互 x ,X3生 y，取x30 .X3注意無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有非齊次坐標(biāo).4(2, 4) . (0, ) 由于C(1,8,0)的X30 ,所以C是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有3非齊次坐標(biāo).7.求下列各線坐標(biāo)所表示的直線方程.1,0,1 ; 1,1, 1; 2,2, 2 ； 0,0,1 ； 0,1,1.解關(guān)鍵將線坐標(biāo)5山2,口3 代入直線方程5為u2x2 U3X30即得到直線方程.將1, 0,1代入 U1X1 U2X2 U3X3 0 得直線方程 1 X1 0 X2 1 X30 ,即x1x30同理得到其它線坐標(biāo)的直線方程，依次為6XiX2X30 ;2xi 2x2 2x30 ;X30 ;x2 x307求兩點(diǎn)3u1 4u2 11u3 0與5u1 3u2 u3 0的連線的坐標(biāo).解關(guān)鍵利用兩點(diǎn)A (a1,a2,a3)與B (b1,b2,b3